精品解析：黑龙江绥化市第九中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027绥化九中初四第三次质量检测数学试卷 一．选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从左边看，可得如图所示． 2. 如图，直线，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 3. 如图，中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数，先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 、，原选项不正确，不符合题意； 、，原选项不正确，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项不正确，不符合题意； 故选：． 4. 如图，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由，可得，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方．即可求得的值，继而求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 6. 如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形，可知，，然后根据平行线分线段成比例，可知，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，即， ， 故选：C． 7. 下列物体的光线所形成的投影是平行投影的为（ ） A. 壁灯 B. 手电筒 C. 太阳 D. 吸顶灯 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断光源是否为平行光线，确定投影是否为平行投影． 【详解】解：太阳光线可近似看作平行光线，所形成的投影是平行投影.． 壁灯、手电筒、吸顶灯的光线均从一点发出，所形成的投影为中心投影． 8. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 9. 年多地中小学迎来春假，同学们走进博物馆，在历史与文化中收获成长．如图，是某博物馆大厅电梯的示意图，若的长为米，与的夹角为，则高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：，， ，即米． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，与是第一象限内以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与以原点为位似中心，以及，得出位似比为，再结合点A的坐标为，点D在第一象限，进而求出点D的坐标． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与位似比为， ∵点A的坐标为，点D在第一象限， ∴点D的坐标是，即． 11. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP cos∠A=10cos50°海里． 【详解】 解：如图，由题意可知∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，AP=10海里， ∴AB=AP•cos∠A=10cos50°海里． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义． 12. 把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的面积为，根据三角形中位线定理得到，相似比为，的面积为，的面积为，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，过C点作， ∵是等边三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， ∵的面积为， ∴的面积为， 同理，的面积为， 则的面积为． 二．填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知： . 14. 如图，四边形四边形，，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、余弦的定义． 根据勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图： ， 在中，，，， 由勾股定理得AB= 所以． 故答案为：． 16. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：过点C作 由题意可得， 故答案为：． 17. 如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据展开图的意义，圆锥的体积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆锥底面圆的半径为3， 故圆锥的高为， 故圆锥的体积为：． 18. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键． 根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵坡的斜坡坡度， ∴，而， 即， 解得，， 经检验符合题意， 由勾股定理得，（米）， 故答案为：． 19. 如图，在中，，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查根据正弦值求边长，根据正弦的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：6． 20. 在平行四边形中，，，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对边相等的性质可得，通过作边上的高构造直角三角形，结合直角三角形的性质与勾股定理求解的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 过点作，垂足为． ∵，， ∴． ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴， 在中，由勾股定理得． 21. 如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且，在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有两个，则m的值为______． 【答案】3或4 【解析】 【分析】本题考查作图—相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，延长，作点E关于的对称点，连接，交于点，连接、，以为直径作圆交于点、， 由矩形的性质可得， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∴， 当时， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴，即图中圆的直径为5， 作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴此时图中所作圆的圆心到的距离为，等于所作圆的半径，和重合， 此时，， ∴， 即当时，符合条件的F有2个，为，； 当时，图中所作圆和相离，此时和不存在了，即此时符合条件的只有个，为， 当时， 当时， 要使，需，即， 解得或3， 当时， 要使，需，即， 解得，即当时，符合条件的F有2个； 当且时，由所作图形可知，符合条件的F有3个， 综上所述：当且时，有3个，当时，有2个，当时，有2个，当时，有个， 故答案为：3或． 22. 如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则以下结论：①；②；③平分；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】通过证明，可得，故①错误；由，故②错误；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可求，即平分，故③正确；通过证明，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ，， ， ，故①错误； ，故②错误； ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 垂直平分，， ， ， ， 平分，故③正确； ，， ， ， ， ， ，故④正确， 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形的知识，角平分线的定义，平行线的性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 三．解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后代数求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）利用线段和差关系求出，利用勾股定理求出，然后得到即可解答． 【小问1详解】 解： ， ， 在中， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， 在中， ， ． 24. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼楼底的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（，结果取整数）？ 【答案】这栋楼有米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，根据题意得出 ，解得出，根据，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意可得， ∴，， ∴， ∴． 答：这栋楼有米． 25. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 【答案】 （1）证明：∵DB平分， ，且， ， ， ； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得，可得结论； （2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长． 【详解】证明：（1）略 （2）， ， ，且， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， 且， ． 【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键． 26. 【知识回顾】 （1）如图1，和都是等腰直角三角形，， ，可以绕点旋转，连接，，求证． 【变式应用】 （2）①如图2，在（1）的条件下，当旋转到点在线段上，且，时，求的长； ②如图3，在和中，，，，，绕点旋转，使点落在内部，连接，，，当时，求的长． 【答案】 （1）证明：和都是等腰直角三角形，， ，，． ． 由勾股定理得，，， ，． ． ． （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据和都是等腰直角三角形，可得，，，即可求证； （2）①由，对应边成比例，即可求出，的长，在中，由勾股定理即可求出的长； ②证明，可得，点在上，设，则，在中，由勾股定理求出的值，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ． ． ，． 在中，由勾股定理，得， ． ②解：，， ，，． ∴，． ． ． ，． ． 如图，设与交于点， ，， ． ． 点在上． ． 设，则， 在中，， ，解得（负值舍去）． ． 27. 如图，中，，，经过、两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，则根据圆周角定理可知，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证； （2）连接，由题意可设，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 28. 如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． （1）求二次函数的解析式； （2）求的值； （3）如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，先由勾股定理求解，然后运用等积法求解，再由勾股定理求解，即可求解； （3）过点作轴交、轴于点，可得，为等腰直角三角形，设，则，设，则，表示出，将点代入，整理得，那么得到，整理得，，再由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴将点代入，则 解得 ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作于点 对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴对称轴为直线 ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴在中，； 【小问3详解】 解：过点作轴交、轴于点， 由（2）知， ∵ ∴， ∴，为等腰直角三角形 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 设，则， 同理设，则 ∴ ∴， 将点代入， 则， 整理得，， ∵ ∴ 整理得， 设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点， ∵ ∴， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴当点与点重合时，则点Q与抛物线顶点重合，则点D为抛物线对称轴与线段的交点， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， ∴最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027绥化九中初四第三次质量检测数学试卷 一．选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 6. 如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 7. 下列物体的光线所形成的投影是平行投影的为（ ） A. 壁灯 B. 手电筒 C. 太阳 D. 吸顶灯 8. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 年多地中小学迎来春假，同学们走进博物馆，在历史与文化中收获成长．如图，是某博物馆大厅电梯的示意图，若的长为米，与的夹角为，则高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，与是第一象限内以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 12. 把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. _________． 14. 如图，四边形四边形，，，，则________. 15. 在中，，，，则__________． 16. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于________ ． 17. 如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为________（结果保留）． 18. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________． 19. 如图，在中，，，，则______． 20. 在平行四边形中，，，，则的长度为________． 21. 如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且，在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有两个，则m的值为______． 22. 如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则以下结论：①；②；③平分；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 三．解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的值． 24. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼楼底的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（，结果取整数）？ 25. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 26. 【知识回顾】 （1）如图1，和都是等腰直角三角形，， ，可以绕点旋转，连接，，求证． 【变式应用】 （2）①如图2，在（1）的条件下，当旋转到点在线段上，且，时，求的长； ②如图3，在和中，，，，，绕点旋转，使点落在内部，连接，，，当时，求的长． 27. 如图，中，，，经过、两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 28. 如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． （1）求二次函数的解析式； （2）求的值； （3）如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $