2026-2027学年高三数学上学期期中自编练习卷（广东省深圳市适用）

2026-2027学年高三数学上学期期中自编练习卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，然后根据并集的定义判断答案. 【详解】由题意可知，， 又因为集合 所以 故选：C 2．已知，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以． 3．已知等差数列的公差为，若，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意知，，又，故． 故选：C 4．设函数，则（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】C 【分析】先根据函数的定义域排除A、B，再结合对数型函数的单调性判断其他选项. 【详解】函数定义域为，故排除A、B， 对于C，D，由复合函数的单调性知在上单调递增， 且在上单调递增， 则在单调递增，C正确，D错误； 故选：C. 5．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据正四棱台及其外接球的性质，可知球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上，垂直于上下底面，结合已知条件求出上下底面的面积及，根据已知条件结合体积公式得出正四棱台的高，因为，设，根据勾股定理构造关于的方程，求出从而计算出值，根据求出外接球的表面积. 【详解】 如图所示，正四棱台的外接球半径，设， 根据正四棱台及其外接球的性质可知，球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上， 垂直于上下底面，且上下底面均为正方形，则 ，， ，， 设正四棱台的高为，则. 所以. 因为，设，则， 根据勾股定理. 所以外接球表面积. 故选：C. 7．若圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，根据题意可得，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 若圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 8．已知正实数满足和．则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定的关联，最后结合题给条件求解． 【详解】， ，即， ， ，即， 令，则在上单调递增， 方程有唯一解， ， ． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B．直线是的图象的一条对称轴 C．在区间上单调 D．在区间上有5个零点 【答案】AB 【分析】由辅助角公式可得函数，根据平移规则可判断A正确，将代入检验可得B正确，由可得，结合正弦函数图象性质可知在区间上不单调，即C错误，分别画出函数与在同一坐标系下的图象，求出交点个数可得结论，即D错误. 【详解】由可得， 对于A，由的图象向右平移个单位长度可得到，即A正确； 对于B，将代入可得， 即函数在取得最大值，即直线是的图象的一条对称轴，即B正确； 对于C，当时，可得， 根据正弦函数图象性质可知当时，即时，函数单调递增， 当时，即时，函数单调递减， 因此在区间上不单调，即C错误； 对于D，画出函数与在同一坐标系下的图象如下图所示：    根据图象可知两函数图象共有6个交点，因此在区间上有6个零点，即D错误. 故选：AB 10．在正方体中，下列说法正确的是（   ） A． B．与共线 C． D．直线与平面ABCD所成角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明判断A；利用共线向量的定义及空间向量的数量积判断BC；利用线面角的向量法求解判断D. 【详解】在正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 对于A，，则，即，A正确； 对于B，，由 ，得与不共线，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于 D，平面的法向量为，，设直线与平面所成的角为， 则，，D正确. 11．如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，， ，直线与月牙形有且仅有两个公共点，则（　　）（参考数据：） A． B．圆的方程为 C．的取值范围为 D．月牙形的面积约为 【答案】ABD 【分析】对于AB，可通过确定圆心坐标即可判断，对于C，设直线，分别计算直线过点时，直线与圆相切时，直线与圆相切时的取值，即可判断，对于D，连接，求得的面积为，通过向量夹角公式求得，结合图形对称性即可求解. 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， ，且中点坐标为，得的垂直平分线方程为， 设圆心坐标为，且，所以， 解得，所以圆C的方程为，， 故选项A正确，选项B正确.. 设直线，当直线过点时，，此时也过点， 当直线与圆相切时，，解得， 当直线与圆相切时，， 解得或， 因为直线与月牙形只有两个交点， 结合图象可知的取值范围为，故选项C错误.    连接， 直线方程为：，点到的距离为， 又，所以的面积为， 设，，，所以， 所以，由对称性可知月牙形的面积约为： ，故选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中,的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【详解】该展开式的通项为,则的系数为. 13．已知数列的前项和为，，则_________． 【答案】324 【分析】分为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和即可． 【详解】由， 当为奇数时，为偶数， 则，， 两式相减得； 当为偶数时，为奇数， 则，， 两式相加得， 则 ． 14．若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】整理可得，构造函数，利用导数判断的单调性，根据单调性可得在上恒成立，构造函数，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意，可得，恒成立， 整理变形得，恒成立. 构造函数，，故在上单调递增. 因此原不等式转化成，在上恒成立. 在上恒成立. 令，即. ，令，得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. . ，即实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 (1)将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关； (2)在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关. (2)的分布列为： 0 1 2 数学期望（或1.2）. 【分析】（1）注意和作比较； （2）利用超几何分布进行计算. 【详解】（1）由题意得：男生体质测试不达标为人，女生合计为人， 女生体质达标为人，体质测试达标合计人，体质测试不达标合计人，列联表如下： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关。 （2）体测不达标的男女比例为，所以抽取男生2人，女生3人， 所以抽取2人，女生的人数为，则可能取值为， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 16．（15分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)若，求； (2)若点在边上且，求的取值范围． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）先用余弦定理求出边长，再结合正弦定理求；（2）先利用向量关系表示出，再两边平方化简可得，最后结合三角形三边关系求出取值范围即可. 【详解】（1）由，，则由余弦定理可得， 所以，即，解得或（舍），则， 在中，，由正弦定理可得， 即，解得； （2）由，则，两边同时平方得， 化简整理得，又，所以， 由余弦定理可得，所以， 由三角形三边关系满足，则，所以，则， 所以，即，所以的取值范围为. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，、分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． (3)若，动点在平面内，且，求的最大值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为分别为的中点，所以，所以， 又因为，所以，又，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为，平面，所以平面，    又因为平面，所以平面平面； (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量方法表示夹角的余弦值，然后利用二次函数求解即可； （3）连接交于点，连接，过作于，由几何关系得到动点的轨迹后可得. 【详解】（1）略. （2） 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，    则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 又因为，所以， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围为. （3）连接交于点，连接，过作于， 因为，为的中点，所以为的中点，且为的中点， 又为的中点，所以，，又， 所以，又因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以， 由（1）知平面平面，平面平面，， 所以平面，又动点在平面内，所以平面， 所以， 所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，所以在圆上，所以的最大值为. 18．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点，，分别为椭圆的左、右顶点．，是椭圆上异于，的两点，满足，直线与交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)求的取值范围，并求外接圆面积的最小值． 【答案】(1) (2)设，当直线斜率存在时，设方程为， 联立方程组得，消去得， 可知时，可得， 可知椭圆左右顶点，则， 可得，即，化简得，解得或， 当时，直线过，不符合题意， 即直线方程为，即直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线轴，此时点， 则， 可得，消去得， 解得或（舍），即直线方程为，过， 综上：原命题得证 (3)， 【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆上的点，列出方程组，求出参数，写出标准方程即可； （2）设出点的坐标，根据斜率的情况进行分类讨论，设出直线方程，联立方程组，根据韦达定理和题目条件，求出参数之间的关系，证明直线过定点. （3）设出点的坐标和直线方程，联立方程组，求出动点的轨迹，进而根据向量的数量积求出角的余弦值的范围，进而求出角的范围，再根据圆的一般式方程，求出外接圆的半径的表达式，根据基本不等式，求出半径的范围，进而写出外接圆面积的最小值. 【详解】（1）由题可知，则，得，解得， 因为椭圆过点，得， 联立方程组得，解得，所以椭圆标准方程为. （2）略 （3）设，则直线方程为， 因为，所以，则直线方程为， 联立方程组得，消去得， 解得（与点重合），所以，则， 则，则直线方程为， 联立方程组得，解得，即点， 则， 则， 令 ，因为是椭圆上异于，的两点，所以，即， 可得，代入得， 因为，所以，可知在时取得最大值， 所以，即，所以； 此时，设外接圆一般式方程为， 可得，解得， 设外接圆半径为，则， 可知，当且仅当，即时取等号， 所以，即，所以外接圆面积的最小值为. 19．（17分）已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求的值； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)若，则. 令，，则. 令，则， 因为，所以，则在上单调递减. 因为，，所以存在唯一的，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立； (3). 【分析】（1）利用切点在函数图象上，也在切线上即可； （2）令，求导后判断导函数的单调性，并根据零点存在性定理确定存在唯一的，使得，判断函数的单调性，并利用单调性证明即可； （3）令，则，原不等式可转化为存在使得成立，根据符号进行参变分离，然后构造函数，，求导后分析其单调性即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由，得， 又因为点在切线上， 所以，所以. （2）略 （3）令，因为，则，则. 因为存在，不等式成立， 即存在使得不等式成立， 当时，即时，不等式为，则不等式不成立； 当时，即时，则成立， 令，，则， 因为，，故； 令，，则， 所以在上单调递增，所以，即. 又当时，，所以， 所以当时，， 所以在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且， 所以，即实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期期中自编练习卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的公差为，若，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 4．设函数，则（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在单调递增 D．在单调递减 5．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 7．若圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知正实数满足和．则的值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B．直线是的图象的一条对称轴 C．在区间上单调 D．在区间上有5个零点 10．在正方体中，下列说法正确的是（   ） A． B．与共线 C． D．直线与平面ABCD所成角的余弦值为 11．如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，， ，直线与月牙形有且仅有两个公共点，则（　　）（参考数据：） A． B．圆的方程为 C．的取值范围为 D．月牙形的面积约为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中,的系数为__________.（用数字作答） 13．已知数列的前项和为，，则_________． 14．若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 (1)将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关； (2)在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)若，求； (2)若点在边上且，求的取值范围． 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，、分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． (3)若，动点在平面内，且，求的最大值． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点，，分别为椭圆的左、右顶点．，是椭圆上异于，的两点，满足，直线与交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)求的取值范围，并求外接圆面积的最小值． 19．（17分）已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求的值； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使不等式成立，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $