2026-2027学年高二数学上学期期中自编练习卷（广东省深圳市适用）

2026-2027学年高二数学上学期期中自编练习卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】首先根据，可得，再根据向量垂直的判定条件即可求出参数的值. 【详解】根据题干条件，可知，即满足， 解得：. 故选：A. 3．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 【答案】C 【分析】数形结合，利用当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点 与点 的距离为：. 当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段 的斜率为 ，直线 垂直于 ，直线 的斜率为 . 故选：C 4．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 5．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】C 【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则．所以面积的最大值是 故选：C． 6．在正方体中，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以，，所在直线分别为，，轴，直接可得直线的方向向量和平面的法向量， 【详解】以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，， 显然平面，所以是平面的一个法向量， 所以与平面所成角的正弦值为， 故所求角的余弦值为. 故选：D. 7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可画出曲线C图象，结合直线过定点与图形可得答案. 【详解】曲线即表示如图所示的半圆， 又过定点：. 当与半圆相切时，圆心到直线距离为1，则， 当直线过如图点时，斜率为：， 则实数的取值范围是. 故选：B 8．在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记的重心为，点是的中点，点是的中点，进而求得，利用空间向量加减、数乘的几何意义，将化为，数形结合求最小值. 【详解】记的重心为，点是的中点，点是的中点，    在正三棱锥中，所以， 平面，又平面，所以，则. 又， 所以 ， 所以当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个结论正确的是（    ） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 10．已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有两个交点 C．若不经过第三象限，则 D．圆与圆恰有条公切线 【答案】ACD 【分析】选项A，将直线方程分离参数求出直线恒过的定点；选项B，可取时圆心到直线距离大于半径，以此反例否定；选项C，把直线化为斜截式，根据不过第三象限，讨论斜率、截距的数量关系；选项D，求出两圆心距离与两圆半径的数量关系，判断两圆位置关系，从而确定公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为. 对于A，把直线的方程变形得，令且，解得，，所以直线恒过定点，A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，取，得，此时直线与圆没有交点，B错误； 对于C，直线的方程变形为，若不经过第三象限，则，解得，C正确； 对于D，圆，即，其圆心为、半径为， 两圆圆心距为，而两圆半径分别为2，3，由知两圆外切，恰有3条公切线，D正确. 11．已知正三棱台 有内切球O（球O位于三棱台的内部且与各个面均有且只有一个公共点），且 若过O，A，B三点的平面截该三棱台所得截面为α，则（   ） A．三棱台ABC - A₁B₁C₁的高为2 B．平面OAB⊥平面OA₁B₁ C．截面α的面积为12 D．该三棱台被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 【答案】BCD 【分析】对 A，先利用正三角形面积、边心距公式算出上下底相关参数，结合正棱台存在内切球时斜高等于上下底边心距之和求出斜高，再通过轴截面直角三角形勾股定理求出棱台实际高，与选项给出高 对比判断；对 B，取上下底中点构造轴截面，证明两平面同垂直于轴截面，二面角平面角为​，用余弦定理算出夹角，证得面面垂直；对 C，先 分析得到截面即截面，通过解三角形算出​的面积进行判断；对 D，分别算出棱台体积与三棱锥体体积，作差得到剩余部分体积，比较判断. 【详解】对于A：已知下底边长，上底边长，设三棱台上底面积为，下底面积为， 则， 正棱台有内切球的性质：斜高（为上下正三角形中心到边的距离），因为，故斜高。 由勾股定理，棱台高满足：，得，即， 所以三棱台的高为，A错误； 对于B：取中点，中点，则截面为棱台轴截面， 因为为正三棱台内切球球心，所以， 所以，又，，所以平面， 所以平面平面，同理可证平面平面， 所以是平面与平面所成二面角的平面角， 因为棱台的高为，所以，又， 所以， 所以，平面平面，B正确； 对于C：过作底面，垂足为，则 设外心为，外心为， 则，， 因为，所以截面即截面， 因为，所以， 所以， 所以，C正确； 对于D：因为， ，剩余部分体积， 所以较小部分与较大部分体积比： ，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 【答案】2 【详解】直线与直线平行， 则它们之间的距离是 13．已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为___________. 【答案】 【分析】求出直线与圆的交点坐标，再求出两交点连线段的中垂线方程，由中垂线与直线联立方程组求得圆心坐标后，再求得半径可得圆方程． 【详解】由，解得或. 不妨令，， 则弦的垂直平分线的方程为. 由，解得， ∴，半径， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 14．体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 【答案】 【分析】先构造一个正方体，再用正方体截成一个正四面体，从而可得正四面体棱长，再通过等体积法计算内切球的半径及外接球的半径，再由向量的运算得，从而可得所求值. 【详解】由题意，球是正四面体的内切球，设正四面体棱长为，所以截四面体的正方体的棱长为， 正四面体的体积由正方体的体积减去个体积相等的三棱锥的体积得到， 所以正四面体的体积，因此，解得. 设正四面体的内切球半径为，正四面体表面积​​， 由等体积法：，即​​，解得. 因为球面上两点的最大距离为球的直径， 因此当最大时，是球的一条直径，此时. 因为中点即球心，有，，且， 因此： ， 因为点在正四面体表面上，正四面体的内切球心到正四面体顶点的距离（即外接球半径）， 也是正方体的外接球半径​​， 即正四面体表面上的点到的最大距离为，所以， 所以. 因此的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知在平面直角坐标系中，点，，． (1)求在中边上的高所在直线的斜截式方程； (2)求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出边上的高所在直线的斜率，进而根据直线的斜截式方程即可求解． （2）分截距不为和截距为两种情况讨论，结合直线的截距式方程和斜截式方程即可求解． 【详解】（1）由，， 则边所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高所在的直线过， 所以边上的高所在直线的方程为． （2）当截距不为时，设其截距式方程为，代入，得，此时其方程为； 当截距为时，直线过原点，设其方程为，代入，得，此时其方程为． 综上，过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为，或． 16．（15分）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． (1)求与平面的夹角的正弦值 (2)求点到平面的距离 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出和平面的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （2）根据（1）中的坐标系和法向量并结合点到平面的距离公式即可得到答案． 【详解】（1）以A为坐标原点，、所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，， ∴，，，， 设平面的法向量为， 则，即，取得， 则， 则与面的夹角的正弦值为. （2）由（1）知，， ∴点到平面的距离为． 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知. (1)求的外接圆方程 (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)若圆与（1）中的外接圆关于直线对称．求圆的方程． 【答案】(1)（或） (2)和 (3) 【分析】（1）设圆的一般方程，代入点的坐标，通过待定系数法求外接圆方程； （2）结合切线性质分情况求切线方程； （3）利用点关于直线对称的性质求对称圆方程即可. 【详解】（1）设外接圆的一般方程为，将三点坐标分别代入： 代入得：①， 代入得：②，①-②得，解得， 代入②得，代入得：，解得， 故外接圆方程为， 或外接圆标准方程为. （2）设的圆心为， 先判断点与圆的位置关系：， 故在圆外，存在两条切线：①斜率不存在时，切线为，圆心到直线距离为 ，符合要求； ②斜率存在时，设切线方程为 ，整理为， 由圆心到切线距离等于半径得：，平方化简得， 解得，代入得切线方程， 综上，切线方程为和； （3）两圆对称则半径相等，故，仅需求关于直线的对称点， 设，由对称性质：线段与对称轴垂直，故，即； 又中点在对称轴上，代入得，联立解得， 即，因此圆的方程为. 18．（17分）如图①，在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图②． (1)求证：． (2)求证：． (3)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)由，可得，， 翻折前，即、，因此为等腰直角三角形， 因为为中点，所以， 将沿折起为后，，对应为中点，垂直关系保持不变，即， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，即； (2)由（1）知， 依题意可知，，，平面， 所以平面，又平面，所以. 因为，平面， 所以平面. 又平面，所以. (3) 【分析】（1）先用翻折前后保持，再与结合，得到平面，最后由平面推出； （2）先证平面得，结合，得到平面，从而； （3）根据题设条件和（2）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，由求得，再分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意，得，， 由（2），所以. 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，. 所以，，. 设，即， 则，， 若存在点，使得，则，解得，则， 设平面的法向量为，则，， 令，得，所以， 设平面的法向量为，则，， 令，得，所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知、，动点满足，记动点的轨迹为.已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、. (1)求曲线的方程； (2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由； (3)设直线、、的斜率分别为、、.证明：存在常数，使得恒成立. 【答案】(1) (2)是；定点坐标为. (3)由，，，， 得，，. 由直线的方程与圆的方程联立得 ，消去得. ， 所以， 因为，所以，，即都不在轴上. 所以. 又因为，即， 所以. 所以存在常数，使得恒成立. 【分析】（1）设，利用得到，化简即可得到曲线的方程； （2）设，，，利用过圆上一点的切线方程得到两条切线、的方程即可得的方程，再利用直线方程的特点即可得直线过定点； （3）由，，，，可得，，，由直线的方程与圆的方程联立消去，利用韦达定理得到，将其代入化简即可得，从而证明结论成立. 【详解】（1）设， 又因为、，， 所以， 整理得. 所以曲线是以原点为圆心，半径的圆，方程为. （2）设，， 因为，所以点恒在圆外. 设切点，则切线方程为，将点代入，得； 同理，对切点，有. 所以直线的方程为，即. 则，解得. 所以直线恒过定点. （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中自编练习卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（   ） A．0 B． C． D． 2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 4．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（   ） A． B． C． D． 5．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（    ） A． B． C．6 D．4 6．在正方体中，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个结论正确的是（    ） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 10．已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有两个交点 C．若不经过第三象限，则 D．圆与圆恰有条公切线 11．已知正三棱台 有内切球O（球O位于三棱台的内部且与各个面均有且只有一个公共点），且 若过O，A，B三点的平面截该三棱台所得截面为α，则（   ） A．三棱台ABC - A₁B₁C₁的高为2 B．平面OAB⊥平面OA₁B₁ C．截面α的面积为12 D．该三棱台被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 13．已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为___________. 14．体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知在平面直角坐标系中，点，，． (1)求在中边上的高所在直线的斜截式方程； (2)求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 16．（15分）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． (1)求与平面的夹角的正弦值 (2)求点到平面的距离 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知. (1)求的外接圆方程 (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)若圆与（1）中的外接圆关于直线对称．求圆的方程． 18．（17分）如图①，在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图②． (1)求证：． (2)求证：． (3)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值：若不存在，说明理由． 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知、，动点满足，记动点的轨迹为.已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、. (1)求曲线的方程； (2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由； (3)设直线、、的斜率分别为、、.证明：存在常数，使得恒成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $