第3章 一元一次不等式单元自测培优卷- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第3章 一元一次不等式单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：浙教版八年级单元基础测试、周测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列不等式变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】结合不等式乘除的符号规则及平方项的非负性判断变形正误． 【详解】解：A、未明确的正负，无法由直接得到，故该项错误； B、由得，则，故该项错误； C、当时，，不满足，故该项错误； D、， ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ，故该项正确． 2．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据数轴确定不等式的解集，再根据不等式有3个非负整数解，确定该不等式的非负整数解，从而确定的取值范围． 【详解】解：由数轴可得该不等式的解集为， ∵该不等式恰好有3个非负整数解， ∴该不等式的非负整数解为0，1，2， ∴． 3．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值是（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】将看作已知数，先解出方程中的表达式，再根据解是非负数的条件列出关于的不等式，求解不等式得到的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：解方程，得， ∵方程的解是非负数， ∴， 解得， ∴的最小值为． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）若为正整数，且二元一次方程组有整数解，已知关于的不等式的非正整数解有且仅有5个，则的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先消元解二元一次方程组，根据m为正整数、方程组有整数解的条件求出m的值，再结合不等式非正整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：， ，得 解得， 把代入，得， 方程组有整数解，是正整数， 是10和15的正公约数， ∵10和15的正公约数为1和5， ∴只有符合条件， ∴， 把代入不等式，得 解得， 不等式的非正整数解有且仅有5个， ∴这5个非正整数为， ， ∴． 5．（2024·浙江温州·一模）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵不等式的负整数解只有, ∴符合题意的m取值范围如图所示， ∴， 故选B． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解、解不等式组等知识点，根据在实数范围内有解列出关于a的不等式是解题的关键． 先解关于x的不等式，再根据不等式在实数范围内有解，即两个不等式的解集有公共部分，据此列出关于a的不等式，进而求得a的范围即可． 【详解】解， 解不等式①得：， 解不等式②得：． 因为关于x的不等式组在实数范围内有解， ∴，解得：． 故选：B． 7．（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【答案】D 【分析】先根据三边关系确定第三边的取值范围，再分情况讨论符合“倍长”定义的边长，舍去不能构成三角形的情况即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 若第三条边是已知边的2倍： 当，满足，符合题意； 当，，不满足三边关系，舍去； 若已知边中有一条是第三条边的2倍： 当，得，不满足，不能构成三角形，舍去； 当，得，满足，符合题意； 综上，第三条边的长为或． 8．（25-26七年级下·云南昆明·期末）受《乌鸦喝水》故事的启发，小官设计了利用量筒估算小球体积的实验．如图，估计量筒中有水溢出时，量筒内相同体积的小球个数至少是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先根据放入个小球水面上升的高度，求出每个小球使水面上升的高度，再设放入个小球时水溢出，根据量筒总高度列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：由图可知，放入个小球后，水面从上升到， 故每个小球使水面上升， 设放入个小球时量筒内有水溢出， ∵量筒总高度为，初始水位为， ∴， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， 故量筒内相同体积的小球个数至少是个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26八年级上·山东青岛·期末）比较大小：___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，观察到两个分数分母相同且为正数，只需比较分子的大小，再依据分母相同的正分数的大小比较法则即可得出结论． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（26-27八年级上·山东烟台·期中）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为__________ 【答案】 且 【分析】先通过去分母解分式方程得到用表示的，再结合解为正数、分式方程分母不为0的限制条件列不等式，排除增根对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为，分式有意义的条件为，即， ∴方程两边同乘最简公分母去分母，得， ∴整理得整式方程的解为， ∵方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程的解不能为增根，即， ∴， 解得， ∴综合可得的取值范围为且． 11．（25-26八年级下·河南开封·期中）若关于x的不等式组 的整数解共有3个，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，根据整数解的个数得到对应整数解，即可求出的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式， 移项得， 系数化为得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有个， ∴不等式组的整数解为， 可得． 12．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）课余时间，小张同学利用计算器设计了一个如图所示的计算程序，输入一个整数值，相应地会输出一个值． （1）若输入一个负奇数，且输出的值大于，则_______； （2）若输出的值大于22，则输入的最小值为_______． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解计算程序，正确建立不等式是解题关键． （1）根据计算程序建立不等式，解不等式可得，根据为负奇数即可得； （2）分两种情况：①当为奇数时，②当为偶数时，分别根据计算程序建立不等式，求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得， ∵为负奇数， ∴， 故答案为：． （2）①当为奇数时，则， 解得， 此时输入的最小值为13； ②当为偶数时，则， 解得， 此时输入的最小值为6； ∵， ∴输入的最小值为6， 故答案为：6． 13．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）设表示在两实数，中取较大的一个数，如，则不等式的解集为__________． 【答案】或 【分析】根据的定义，分两种情况讨论，分别求解一元一次不等式，再将两种情况的解集取并集，即可得到原不等式的解集． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 当，即时，， ∴原不等式化为， 解得， ∵， ∴的解集为； ② 当，即时，， 原不等式化为， 解得， ∵， ∴的解集为； 综上所述：原不等式的解集为或． 14．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【详解】解：， 当时，， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）下面是小李同学求不等式解集并在数轴上表示解集的解答部分过程： 第一步：； 第二步：________； 第三步：； 第四步：； 第五步：________． (1)请将第二步、第五步补充完整． (2)在数轴上表示这个不等式的解集： 【答案】(1)， (2)解：如图所示，即为所作， 【详解】（1）解：第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：． （2）略 16.（8分）（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中x是不等式组的正整数解． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式的加减混合运算，再计算除法运算得到化简的结果，再解不等式组结合分式有意义的条件确定，最后代入求值即可． 【详解】解： ； ∵， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的正整数解为， ∵分式有意义， ∴，， ∴当时，原式． 17.（8分）（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）按要求完成各题： (1)解不等式组：． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分别解两个不等式，综合即可求得不等式组无解． （2）对方程可变形为，分别代入两个不等式中，分别求解后，综合答案即可． 【详解】（1）解：解不等式， 解得：； 解不等式：， 解得：； 故不等式组无解． （2）解：对方程去分母，即， 整理得：， 解不等式， 整理得：， 将代入上式，即， 解得：， 解不等式， 整理得：， 将代入上式，即， 解得：， 综上可得，的取值范围为． 18.（8分）（25-26七年级下·吉林·期末）2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 【答案】(1)甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价元； (2)9 (3)①；②共4种方案 【分析】（1）题目给出两组甲乙搭配购买的总价等量关系，可设单价建立二元一次方程组求解； （2）设甲采购数量为未知数，结合总件数表示乙的数量，根据总预算低于元列不等式，取满足条件的最大整数； （3）①甲采购7件超出5件，分段计算甲的费用，再结合乙的采购数量算出乙费用，两者相加得到总花费；②分甲采购量不超过5件、超过5件两种优惠情况列出总费用表达式，结合资金范围解不等式，筛选合法整数取值得到方案数． 【详解】（1）解：设甲种模型的销售单价为、乙种模型的销售单价为， ， 解得：， 答：甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价为元； （2）解：设购进甲种模型件，则购进乙种模型件， 由题意得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最大值为； （3）解：①当购买甲模型为7件时， 前5件按原价：元； 超出的2件每件优惠6元：元； 乙模型的数量为， 费用：元， 所花费用需要：元； ②设购买甲种模型件，则乙种模型件， 当时， ， 解得：， ， 故此情况无解； 当时， ， 解得：， 为正整数，故，共4种方案． 19.（8分）（25-26七年级下·吉林·期末）已知关于，的二元一次方程组（其中是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得_________；（用含的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)整数的值为，， 【分析】（1）将方程组两个方程左右两边相加，直接得到的表达式． （2）利用（1）的结论求出，代入不等式求解的取值范围． （3）根据不等式解集的不等号方向判断系数的正负，结合（2）的范围确定整数的值． 【详解】（1）解：∵， ∴得，． （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， 解得． （3）解：由得， ∵不等式的解集为，不等号方向改变， ∴， 解得 由（2）知， ∴ ， ∴整数的值为，，． 20.（8分）（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 21.（10分）（2026·浙江杭州·二模）综合与实践 【新知理解】 对于任意实数x，y，都有． 证明方法如下： 因为，所以． 【类比发现】 小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法进行探究： 小亮： 小敏： (1)请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确． (2)【简单应用】已知正实数x，y满足，求证：． 【答案】(1)解：选择小亮的方法探究，过程如下： ∵x、y为正实数， ∴，且， ∴， 即， ∴，小聪的猜想正确． 选择小敏的方法探究，过程如下： ， ∵x、y为正实数， ∴，且， ∴， 即， ∴，小聪的猜想正确． (2)证明：由（1）可知，任意正实数x、y都满足， 不等式两边同时除以正实数，不等号方向不变，可得： 化简左边得， 化简右边得， 即， ∵正实数x、y满足， ∴， ∴． 【分析】（1）先因式分解得到，然后利用非负数性质得到，进而可判断小聪的猜想正确； （2）根据不等式的性质得到，进而推导出，利用得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次不等式单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：浙教版八年级单元基础测试、周测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列不等式变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值是（     ） A． B． C．2 D．3 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）若为正整数，且二元一次方程组有整数解，已知关于的不等式的非正整数解有且仅有5个，则的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 5．（2024·浙江温州·一模）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （     ）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 8．（25-26七年级下·云南昆明·期末）受《乌鸦喝水》故事的启发，小官设计了利用量筒估算小球体积的实验．如图，估计量筒中有水溢出时，量筒内相同体积的小球个数至少是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26八年级上·山东青岛·期末）比较大小：___________． 10．（26-27八年级上·山东烟台·期中）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为__________ 11．（25-26八年级下·河南开封·期中）若关于x的不等式组 的整数解共有3个，则m的取值范围是___________． 12．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）课余时间，小张同学利用计算器设计了一个如图所示的计算程序，输入一个整数值，相应地会输出一个值． （1）若输入一个负奇数，且输出的值大于，则_______； （2）若输出的值大于22，则输入的最小值为_______． 13．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）设表示在两实数，中取较大的一个数，如，则不等式的解集为__________． 14．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）下面是小李同学求不等式解集并在数轴上表示解集的解答部分过程： 第一步：； 第二步：________； 第三步：； 第四步：； 第五步：________． (1)请将第二步、第五步补充完整． (2)在数轴上表示这个不等式的解集： 16.（8分）（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中x是不等式组的正整数解． 17.（8分）（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）按要求完成各题： (1)解不等式组：． (2)已知，求的取值范围． 18.（8分）（25-26七年级下·吉林·期末）2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 19.（8分）（25-26七年级下·吉林·期末）已知关于，的二元一次方程组（其中是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得_________；（用含的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 20.（8分）（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 21.（10分）（2026·浙江杭州·二模）综合与实践 【新知理解】 对于任意实数x，y，都有． 证明方法如下： 因为，所以． 【类比发现】 小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法进行探究： 小亮： 小敏： (1)请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确． (2)【简单应用】已知正实数x，y满足，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $