指数与指数型函数 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册专项训练 指数与指数幂的运算、指数型函数的定义域问题、值域问题、单调性问题专项训练 考点目录 指数与指数幂的运算 指数型函数的定义域问题 指数型函数的值域问题 指数型函数的单调性问题 考点一 指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算解题技巧 （1）先把根式与分数指数幂互化，统一写成幂的形式，再用指数幂法则运算。 （2）运算法则：同底数幂相乘指数相加、幂的乘方指数相乘、积的乘方分别乘方。 （3）注意偶次根式结果非负，并区分 与 的不同。 （4）负指数幂化为倒数处理，注意底数不能为 0。 （5）运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后合并。 例1．（26-27高一上·上海静安·阶段检测）用有理数指数幂的形式来化简：_____． 例2．（26-27高一上·上海虹口·阶段检测）已知，，则_______． 例3．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）计算或化简： (1)； (2). 变式1．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）计算__________. 变式2．（26-27高一上·江西赣州·阶段检测）已知，则________________． 变式3．（26-27高一上·甘肃定西·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，求的值． 考点二 指数型函数的定义域问题 指数型函数的定义域问题解题技巧 （1）纯指数函数 的定义域为 ；指数型 的定义域由指数部分 的定义域决定。 （2）同时含有分母、根式等结构时，逐项列出限制条件后取交集。 （3）底数满足 且 ，含字母底数时要分类讨论。 （4）定义域统一写成集合或区间形式。 例1．（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）函数的定义域为___________. 变式1．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·山东滨州·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）函数的定义域为___________. 考点三 指数型函数的值域问题 指数型函数的值域问题解题技巧 （1）用换元法：令 ，先求出 的取值范围，再由 求值域。 （2）牢记 恒大于 0，值域的下界常为 0 且取不到。 （3）指数为二次函数时，先求二次函数的值域，再过渡到指数函数。 （4）注意 的范围端点能否取到，对应 的端点取舍。 （5）结合单调性判断函数值的变化方向，避免直接凭感觉写范围。 例1．（25-26高一上·浙江丽水·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）函数（）的值域是________． 变式1．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，，则的值域为______. 考点四 指数型函数的单调性问题 指数型函数的单调性问题解题技巧 （1）先拆分内外层：外层 ，内层 ，并先确定定义域。 （2）按“同增异减”判断： 时单调性与 相同， 时与 相反。 （3）所求单调区间必须是定义域的子区间，不能脱离定义域。 （4）含参数时分别讨论 与 两种情况。 （5）多个单调区间分开书写，不随意用并集连接。 例1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 例3．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）设，，，则 a、b、c 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·福建厦门·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册专项训练 指数与指数幂的运算、指数型函数的定义域问题、值域问题、单调性问题专项训练 考点目录 指数与指数幂的运算 指数型函数的定义域问题 指数型函数的值域问题 指数型函数的单调性问题 考点一 指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算解题技巧 （1）先把根式与分数指数幂互化，统一写成幂的形式，再用指数幂法则运算。 （2）运算法则：同底数幂相乘指数相加、幂的乘方指数相乘、积的乘方分别乘方。 （3）注意偶次根式结果非负，并区分 与 的不同。 （4）负指数幂化为倒数处理，注意底数不能为 0。 （5）运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后合并。 例1．（26-27高一上·上海静安·阶段检测）用有理数指数幂的形式来化简：_____． 【答案】 【详解】原式. 例2．（26-27高一上·上海虹口·阶段检测）已知，，则_______． 【答案】/ 【详解】因为，，所以，则 例3．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）计算或化简： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)-7 【解析】（1）根据n次根式的性质化简即可； （2）根据实数指数幂的运算法则计算即可． （1）解：原式． （2）解：原式 ． 变式1．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）计算__________. 【答案】/ 【详解】 变式2．（26-27高一上·江西赣州·阶段检测）已知，则________________． 【答案】 因为，所以．因为，则，所以，因此． 【解析】略 变式3．（26-27高一上·甘肃定西·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】 （1）；（2）. 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算； （2）将完全平方算出的值，再完全平方即可求出的值． 【详解】（1）原式 . （2）因为，所以， 所以，所以， 所以. 考点二 指数型函数的定义域问题 指数型函数的定义域问题解题技巧 （1）纯指数函数 的定义域为 ；指数型 的定义域由指数部分 的定义域决定。 （2）同时含有分母、根式等结构时，逐项列出限制条件后取交集。 （3）底数满足 且 ，含字母底数时要分类讨论。 （4）定义域统一写成集合或区间形式。 例1．（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由被开方数不小于0可得． 【详解】由，得，即． 故选：B 例2．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域列不等式组求解. 【详解】由题意，，得，所以. 故选：A 例3．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）函数的定义域为___________. 【答案】＃＃ 【分析】根据偶次被开方数大于等于零，以及指数函数的单调性即可解出． 【详解】由题意可得，，所以，即． 故答案为：． 变式1．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】解：由题意得：， 故，故， 解得：， 故函数的定义域是， 故选：B． 变式2．（25-26高一上·山东滨州·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 变式3．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）函数的定义域为___________. 【答案】且 【分析】求得使函数式有意义的自变量的范围． 【详解】由题意，即，所以定义域为且． 故答案为：且． 考点三 指数型函数的值域问题 指数型函数的值域问题解题技巧 （1）用换元法：令 ，先求出 的取值范围，再由 求值域。 （2）牢记 恒大于 0，值域的下界常为 0 且取不到。 （3）指数为二次函数时，先求二次函数的值域，再过渡到指数函数。 （4）注意 的范围端点能否取到，对应 的端点取舍。 （5）结合单调性判断函数值的变化方向，避免直接凭感觉写范围。 例1．（25-26高一上·浙江丽水·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质，求得，即可得到的值域. 【详解】由指数函数的性质，可得，所以，即的值域是. 故选：A． 例2．（25-26高一上·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及二次函数的单调性得出值域. 【详解】当时，单调递增，， 当时，． 综上所述，的值域是． 例3．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）函数（）的值域是________． 【答案】 【分析】利用指数函数单调性即可求解作答. 【详解】因函数在R上单调递增，当时，，则有，即， 所以所求值域是. 故答案为： 变式1．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 变式2．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的取值集合，再利用指数函数的单调性求解作答. 【详解】函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则， 所以函数的值域为. 故选：A 变式3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，，则的值域为______. 【答案】 【分析】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 考点四 指数型函数的单调性问题 指数型函数的单调性问题解题技巧 （1）先拆分内外层：外层 ，内层 ，并先确定定义域。 （2）按“同增异减”判断： 时单调性与 相同， 时与 相反。 （3）所求单调区间必须是定义域的子区间，不能脱离定义域。 （4）含参数时分别讨论 与 两种情况。 （5）多个单调区间分开书写，不随意用并集连接。 例1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解． 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 例2．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且在其定义域内单调递增， 的单调递减区间为. 故选：C 例3．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）设，，，则 a、b、c 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数y =在R上单调递增，因为，故. ，而，故，综上可得. 变式1．（25-26高一上·福建厦门·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，根据复合函数的单调性的判定方法，以及指数函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】设函数， 则函数是由二次函数与指数函数复合而成的. 函数单调递增，要使函数在区间上单调递增， 则二次函数在区间上单调递增， 又因为的图象开口向上，且其对称轴为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 变式2．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数定义域，再利用复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为的图像开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为在定义域内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 变式3．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对各数进行等价变形：，. ①比较与：，，指数函数在上单调递增. 因为，故，即. ②比较与：，，幂函数在上单调递增. 因为，故，即. 综上得，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $