4.2.2 指数函数的图像和性质 常见的十大题型专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数函数的图像和性质常见的十大题型 题型一　指数函数的图象识别与应用 【解题技巧】图象题的通法是“一看定义域，二看奇偶性，三取特殊值”：先由解析式求定义域，判断奇偶性确定图象的对称性与分布范围；再利用（且）过定点、单调性由底数决定（时增，时减）确定走向；最后取等特殊值比较函数值排除错误选项。易错点：忽视角函数中的符号讨论、忽略定义域限制、平移方向“左加右减、上加下减”记反。 1．函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 2．已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）     A．  B．   C．   D．   3．函数的图像大致为（    ） A．B．C． D． 4．函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 5．二次函数与指数函数的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．若则函数的图象必不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 10．已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 11．如图，设a，b，c，d>0，且不等于1，y=ax，y=bx， y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（ ） A．a<b<c<d B．b<a<c<d C．b<a<d<c D．a<b<d<c 12．函数的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．    C．     D．     14．函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．.  B．  C． D．   15．如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，则，，，与1的大小关系是______． 题型二　指数函数图象恒过定点 【解题技巧】求指数型函数恒过定点的通法：令指数部分等于零，解出，再代入解析式求出对应的值，定点即为。依据是对一切且，恒有。若解析式为，则图象恒过。易错点：只令指数为零而忘记代回求纵坐标；把“恒过定点”误解为与底数的具体取值有关；含平移变换时漏加或错加平移量。 1．已知函数的图象恒过定点，则（    ） A． B． C．0 D．2 2．已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为_____. 3．函数（且）的图象恒过定点______． 4．函数（且）恒过定点__________． 5．已知函数（且）的图像恒过定点，则______． 6．函数（且）恒过定点________ 7．已知函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为________. 题型三　指数函数的定义域与值域 【解题技巧】求定义域的通法：分式令分母不为零，根式看被开方数非负，复合函数由内到外逐层限制。求值域的通法：先明确定义域，再依据单调性取端点值；含的式子可设（）换元，转化为二次函数在给定区间上求最值。易错点：值域受定义域制约，不能死背结论；换元后忘记标注新变量的范围；分段函数要分段求值域再取并集；忽略对底数的分类讨论。 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知（，为常数）的图象经过点，则的值域为（    ） A． B． C． D． 6．函数在区间上的最小值是 A． B． C． D． 7．函数在区间上的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为___________． 9．函数的定义域是__________. 10．函数 的定义域是___________ . 11．当时，函数的值域是______. 12．已知函数的值域为，则的取值范围为____. 13．函数y=的值域是__________. 14．已知函数，则其值域为___________. 题型四　指数式比较大小 【解题技巧】比较大小通法：同底数幂用指数函数的单调性；底数、指数都不同时先寻找中间量或搭桥，或借助“时递增且值为正，时递减且值为正”界定各数的范围；仍无法比较时取特殊值或作差变形。易错点：不区分底数大于1还是小于1就使用增减性；忽略“各数同正”的判断前提；中间量选取不当导致比较中断。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 7．若，，，则a，b，c大小关系_____.（按从大到小顺序排列） 题型五　指数函数的奇偶性与性质综合 【解题技巧】判断奇偶性分三步：一看定义域是否关于原点对称，不对称则必非奇非偶；二算，与或比较，也可用（奇）或（偶）判断；三下结论。综合题先用待定系数法求出参数并验证，再借助“奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称”转化条件。易错点：漏验定义域的对称性；含参数时未回代检验；凭图象直观代替严谨论证。 1．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数既是增函数，又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 6．下列判断正确的有（   ） A． B． C． D． 7．若函数 的图像经过点 ， 则（    ） A． B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 81 D． 的最小值为 8．定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 题型六　指数函数的单调性与单调区间 【解题技巧】判断或证明单调性优先用定义法“取值—作差—变形—定号”，复合函数用“同增异减”。求单调区间必须先保定义域：含参数时按与分类，底数与复合方向共同决定增减。易错点：单调区间之间只能用“和”或逗号连接，不能用“∪”符号；忽略定义域的整体限制；分段函数在分界点处要检验端点函数值的衔接，否则整体单调性不成立。 1．若，则是的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 2．已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 3．下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若函数在R上是减函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知函数是定义在R上的减函数，则a的取值可以是 （    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为___． 四、解答题 题型七　指数函数的最值与参数 【解题技巧】指数函数在闭区间上的最值由单调性决定：时最大值为、最小值为，时恰好相反。已知最大值与最小值之和（或差）求参数时，先写出最值的表达式再解方程，出现形式时注意绝对值的处理。易错点：时最值位置颠倒；忘记最值之差非负；解出后未检验且；区间含参数时漏讨论单调性的变化。 1．若指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则的值为 A． B． C． D． 2．若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（    ） A． B． C．或2 D．或 3．函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 4．若函数（，）在区间上的最大值与最小值的差为，则实数的值为（    ）． A． B． C． D． 5．若指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则的值为__ 6．函数（，且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值为_____． 题型八　解答题：指数函数的基本量与值域 【解题技巧】解答题书写规范：求参数常由图象过定点（或过已知点）代入列方程求解；求值域先明确定义域，再按单调性取端点，或设换元化为二次函数问题。解不等式时先化为同底的与比较，再依据与1的大小去掉指数符号。易错点：换元后新变量的范围未求；底数未分类讨论；去指数时不等号方向写反；最后结果不回代检验。 1．已知函数． (1)当时，求在区间上的值域； (2)当时，解不等式． 2．已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 3．已知函数的图象过点. （1）求与的值； （2）求时，的最大值与最小值. 4．已知函数 (1)求函数的值域； (2)解不等式． 5．已知指数函数的图象经过点. (1)求及的值； (2)当时，求函数的值域. 6．已知，求的最大值与最小值. 题型九　解答题：奇偶性与单调性综合 【解题技巧】综合解答题的通法：第一步用奇（偶）函数的定义求参数，奇函数常由或特殊点快速得出，求出后必须验证定义域；第二步用定义证明单调性，规范书写“设，作差、因式分解、判断符号”；第三步将不等式利用奇偶性移项，再由单调性去掉对应法则“脱壳”，化为整式不等式或恒成立、有解问题，分离参数求范围。易错点：脱壳时忽视单调性前提；恒成立与有解的条件混淆。 1．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求的值域； (3)若不等式，求实数的取值范围. 2．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)用定义证明函数在区间上的单调性； (2)求函数在上的解析式. 3．已知函数是定义域在R上的奇函数． (1)求实数a的值： (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 4．已知函数是奇函数. (1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 5．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 6．已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 7．已知函数. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）当为奇函数时，对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值. 8．已知函数为定义在R上的奇函数. （1）求a的值； （2）判断函数的单调性，并用单调性定义证明； （3）若关于x的不等式有解，求t的取值范围. 题型十　解答题：单调性、最值与恒成立 【解题技巧】含参综合题思路：由单调性列条件，分段函数需满足“同增且左段上界不超过右段下界”（同减类似）并检验端点；最值问题先由单调性写出最值再列方程；恒成立问题优先分离参数：恒成立等价于a不小于的最大值，恒成立等价于a不大于其最小值，“存在”型结论相反。易错点：端点等号的取舍；分离参数时忽视定义域；区间端点处最值重复计算。 1．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 2．已知函数(且)是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围 3．已知函数（且）. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，且在区间的最大值比最小值大，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题型一　指数函数的图象识别与应用 1．A 【详解】由解析式知，函数定义域为R，且，即为奇函数，排除B、D； 当趋向于时，、都趋向于，而的变化率快于，所以趋向于0，排除C. 故选：A 2．C 【详解】根据函数的图象可知， 再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB， 且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确； 故选：C 3．D 【详解】 若函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为； 因为，所以； 所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C； 当时, ,排除选项B． 故选：D． 4．D 【详解】解：由，得函数是以为底数的指数函数， 且函数为减函数，故D选项符合题意. 故选：D. 5．A 【详解】根据指数函数知同号且不相等，可知二次函数的对称轴，可排除， 对于选项，时，所以，又，所以，与指数函数单调递减矛盾，故不正确. 故答案为： 6．B 【详解】函数是偶函数，其图象关于轴对称， 当时，函数的图象是减函数，函数的值域， 结合选项可得只有B符合， 故选：B. 7．B 【详解】当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于0小于1时是定义域内的减函数， 由图可知，大于1，，大于0小于1． 又由图可知，即．，即． ，，，与1的大小关系是． 故选：． 8．B 【详解】试题分析：令，则的图像如图所示， 不经过第二象限，故选B. 9．D 【详解】由可得， 由图知函数单调递减，故，排除A，B项； 由图知，当时，， 因时，函数为减函数，故得. 故选：D. 10．D 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 11．C 【详解】由题意得，根据指数函数的图象与性质，可作直线，得到四个交点，自下而上可知指数函数的底数依次增大，即，故选C． 12．C 【详解】令，得，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，也即有个零点. 故选C. 13．AD 【详解】由于当时，，排除B，C， 当时，，此时函数图象对应的图形可能为A， 当时，，此时函数图象对应的图形可能为D. 故选：AD. 14．BD 【详解】由题意得，中若，，则， 若，，则； 中表示纵截距. 对于A，图像中，图像中，故A错误； 对于B，图像中，图像中，故B正确； 对于C，图像中，图像中，故C错误； 对于D，图像中，图像中，故D正确； 故选：BD 15． 【详解】作直线与四个指数函数图象相交， 由图可得，即． 故答案为： 题型二　指数函数图象恒过定点 1．C 【详解】令，解得：，即； 当时，，所以， 综上可得：. 故选：C 2． 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 故答案为： 3． 【详解】令，得，则，所以的图象恒过定点． 故答案为：． 4． 【详解】因为当且时，，所以函数（且）的图象恒过定点. 故答案为： 5．5 【详解】令，解得，函数值与没有关系，此时， 故函数过定点，即，，所以. 故答案为：5. 6． 【详解】由得，此时， 即函数过定点. 故答案为：. 7． 【详解】由函数可知，当时，， 即函数的图象恒过点. 故答案为：. 题型三　指数函数的定义域与值域 1．B 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 2．D 【详解】由题意得，所以，解得． 故选：D. 3．B 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B 4．A 【详解】令，则 在上单调递减，∴，又， ∴的值域为. 故选：A. 5．C 【详解】因为函数的图象经过点，则，所以，，则， 因为函数在上为增函数， 当时，，即. 故选：C. 6．B 【详解】由于在上递减，所以当时，函数取得最小值为. 故选B. 7．D 【解析】由指数函数的单调性计算即可得解. 【详解】由题意，函数在区间单调递减， 所以函数在区间上的最大值是. 故选：D. 8．． 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故答案为：. 9． 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 10． 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 11． 【详解】是增函数，时，，即，值域为． 故答案为：． 12． 【详解】由函数， 当时，可得， 因为函数的值域为， 所以函数在上必为增函数， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 13． 【详解】令,则. 所以. 函数y=的值域是. 点睛：通过整体换元，将函数化为简单初等函数是常用的一种求值域的方法，本题中注意指数函数的图象是以x轴为渐近线的，容易被学生忽视. 14． 【详解】解：令，∵，∴， ∴， 又关于对称， 即时，函数取得最小值，即， 即时，函数取得最大值，即， ,. 故答案为：. 题型四　指数式比较大小 1．B 【详解】因为，由幂函数单调性可知，， 由指数函数单调性可知，. 综上所述，所以. 故选：B 2．D 【详解】，，，，； 在上单调递增，，； 综上所述：. 故选：D. 3．C 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 4．A 【详解】因为在上单调递增，所以，即， 又， 所以. 故选：A 5．B 【详解】因为在第一象限为增函数，，所以， 因为在第一象限为增函数，，所以， 所以， 故选：B. 6．AC 【详解】由，得到， 易知在定义域上单调递增，得到，所以选项A正确， 对于选项B，取，显然有，但，所以选项B错误， 对于选项C，因为在定义域上单调递减，所以，即，所以选项C正确， 对于选项D，若，则，所以选项D错误， 故选：AC. 7． 【详解】对于和， 因为在上单调递增，且， 所以，即； 对于和， 因为在上单调递增，且， 所以，即； 综上，. 故答案为：. 题型五　指数函数的奇偶性与性质综合 1．C 【详解】，故不是奇函数，A错误； 为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，故B错误； ，在上单调递增，且定义域为R，，故为奇函数，满足要求，C正确； 定义域为R，且，故不是奇函数，D错误. 故选：C 2．C 【详解】对于A，函数在其定义域上为单调递减，且为非奇非偶函数，故A错误； 对于B，函数在其定义域上为单调递增，且为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，根据幂函数的性质可知，函数是增函数，又是奇函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为R，关于原点对称， 因为，所以函数是偶函数，故D错误. 故选：C 3．B 【解析】分析各选项中函数的奇偶性及其在定义域上的单调性，可得出结论. 【详解】对于A选项，函数为非奇非偶函数，且在定义域上为减函数； 对于B选项，函数为奇函数，且在定义域上为减函数； 对于C选项，函数为奇函数，且在定义域上不单调； 对于D选项，函数为非奇非偶函数，且在定义域上为减函数. 故选：B. 4．BD 【详解】选项四个函数定义域都是R， 函数的斜率为-2，在R上单调递减，故A错误； 函数，，则是奇函数， 任取，则，所以在R上单调递增；故B正确； ，则在单调递减，在单调递增，故C错误； ，则，所以是奇函数， 因为单调递增，单调递减，所以在R上单调递增，故D正确. 故选：BD. 5．ABD 【详解】由，所以，故A正确； ， 因为， 所以为奇函数，故B正确； 因为的定义域为， 所以选项C不正确； 当时，，所以，即， 当时，， 即，所以无最值， 故选：ABD 6．BCD 【详解】在上是减函数，，，故A不正确； 在上是增函数，，；故B正确； 在上是增函数，，；故C正确； 在上是减函数，，，故D正确. 故选：BCD. 7．AC 【详解】对于:由题意得  ， 得 ,故正确; 对于:令函数 ， 则该函数在上单调递减，在 上单调递增． 因为 是减函数， 所以在上单调递增， 在 上单调递减， 故错误; 对于:因为在上单调递增， 在 上单调递减, 所以 ,无最小值．故正确, 错误; 故选:. 8．ACD 【详解】设，，则是增函数，且， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误； ，故C正确； ，，因此的最小值是，故D正确． 故选:ACD． 题型六　指数函数的单调性与单调区间 1．A 【详解】函数是R上的减函数，则. 故选：A 2．C 【详解】由题意，函数在区间上单调递减， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 3．D 【详解】对于A： ，由一次函数性质,为减函数，不满足题意，故A错误； 对于B：，由指数函数的性质可知为减函数，不满足题意，故B错误； 对于C：，由幂函数的性质可知在上为减函数，不满足题意，故C错误； 对于D： ，由幂函数的性质可知，为增函数，满足题意，故D正确. 故选：D. 4．A 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 5．D 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 所以在区间单调递减，所以，解得． 故选：D． 6．D 【详解】由题意得，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D 7．B 【详解】令，由于函数在上是减函数， 函数为上的增函数，则函数为上的减函数， 所以，，解得. 故选：B. 8．BCD 【详解】因为函数是定义在R上的减函数， 所以， 因为，所以选项A不符合题意；显然选项B符合题意； 因为，所以选项，因此C符合题意； 因为，所以，因此选项D符合题意， 故选：BCD 9． 【详解】由题意得，当时，函数单调递减，且当时，， 当时，函数 单调递减，且当时，， 得 ，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 题型七　指数函数的最值与参数 1．B 【详解】因为指数函数在区间上单调，且， 即 解得，又 所以 故选B 2．D 【详解】解：当时，在单调递减， 即， 解得：或(舍)； 当时，在单调递增， 即， 解得：或(舍)； 综上所述：或. 故选：D. 3．BC 【详解】当时，函数单调递减，，解得 当时，函数单调递增，，解得． 故选：BC． 4．CD 【详解】当时，在上单调递增， 此时，解得：， 当时，在上单调递减， 此时，解得：， 所以则实数的值为或， 故选：CD. 5．3 【详解】解：因为当时，指数函数为增函数， 则在区间上，，， 又指数函数在区间上的最大值和最小值之和为， 则，即， 又，即， 故答案为：3. 6．或 【详解】当时，则函数在区间上单调递增， 由题意可得：，解得或（舍去）； 当 时，则函数在区间上单调递减， 由题意可得：，解得或（舍去）； 综上所述：或 ． 故答案为：或. 题型八　解答题：指数函数的基本量与值域 1．(1) (2)或. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 令，则函数在上单调递增， ∴当时，有最小值， 当时，有最大值， ∴函数在区间上的值域为. 故时，在区间上的值域为. （2）当时，． 由，得，即， 解得 或， 所以 或， 所以不等式的解集为或. 2．(1) (2) 【详解】（1）当时，， 令，则，故， 所以的值域为． （2）由（1）可得，， 因为在上单调递增， 要使在上单调递增，只需在上单调递增即可， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得：. 所以m的取值范围是. 3．（1），；（2）最小值为，最大值为. 【详解】（1）由已知可得点在函数图像上. ∴∴，又不符合题意 ∴. （2）由（1）可得 ∵∴在其定义域上是增函数. ∴在区间上单调递增， 所以最小值为，最大值为. 4．(1) (2)或 【详解】（1）因为的定义域为， 则，令，则， 又，，开口向上，对称轴为， 所以当时，， 所以函数的值域为. （2）因为， 所以由得，得或，得或， 所以不等式的解集为或. 5．(1)； (2)函数在的值域为 【详解】（1）解：指数函数的图象经过点 ， ，则； （2）解：， ， ， 当，即时，取得最小值为； 又 的最大值为 函数在的值域为． 6．， 【详解】当时，， 设，， 则当时，；当时，， 即，. 题型九　解答题：奇偶性与单调性综合 1．(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，则， 设，则，， 又由函数为奇函数，则， 则； （2）当时，；当时，； 当时，； 所以的值域为； （3）根据题意，当时，.则函数在上单调递增， 又由函数是定义在上的奇函数，则函数在上单调递增， 由，有， ，解得， 所以实数的取值范围为. 2．(1) 设， ，由于， 所以， 所以在上单调递增. (2) 【详解】（1）略 （2）依题意，函数是定义在上的奇函数， 当时，，所以 . 当时，， 所以. 3．(1)； (2)在上是增函数， 设任意， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数． (3) 【详解】（1）函数 是定义域在R上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为R关于原点对称，所以为奇函数，故符合． （2）略 （3）因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在R上的奇函数，所以对于恒成立， 又在R上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数 ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为． 4．(1)，为增函数 (2) 【详解】（1） ， ，              检验：，定义域为， ， 为奇函数， 故.        ∴， ∴为增函数. （2） ， ，        设， 因为， 即存在，使b成立， 当时，， . 5．(1) (2)减函数，证明如下： 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． (3) 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． （2）在上为减函数．证明略； （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 6．(1) (2) 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，解得，此时符合题意． （2）原问题即为，即恒成立， 则， 设， 则， ，∴当时，y取得最小值26， 要使不等式在上恒成立，则， 7．（1）答案见解析；（2）1. 【详解】（1）根据题意，函数， ， 分析可得：当时，，函数为奇函数， 当时，且，函数为非奇非偶函数. （2）∵是奇函数，故由（1）知，从而， 由对任意的，不等式恒成立，得，， 令，故， 由于函数在上单调递增， ∴， 因此，当不等式在上恒成立时，实数的最大值为1. 8．（1）； （2）在上单调递增，证明如下： 由条件知，任取， 所以 ， 又因为，在R上单调递增， 所以且， 所以，所以， 所以在R上单调递增； （3）. 【详解】（1）因为为奇函数，所以，所以， 所以且，所以，所以， 所以； （2）略 （3）有解即有解， 由的奇偶性可知进一步等价于有解， 由的单调性可知进一步等价于有解， 即关于的不等式有解. ， 因为，所以，， 所以的取值范围是， 所以，所以， 即的取值范围是. 题型十　解答题：单调性、最值与恒成立 1．(1)的单调递增区间是，单调递减区间是 (2)1 (3)0 【详解】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 2．(1)2； (2). 【详解】（1）由是上的奇函数，得，解得， 此时，显然，即是奇函数， 所以. （2）由（1）知，，由，得，而且，解得， 函数都是上的增函数，因此在上单调递增， 不等式， 依题意，，，函数在上单调递增， 则当时，，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 3．（1）； （2）或. 【详解】（1）由题意，函数（且）， 因为函数为偶函数，则满足， 即，即， 则且，解得. （2）由，可得， 解得，即函数， 当时，函数在上为单调递增函数， 此时函数的最大值为，最小值为， 又因为在区间的最大值比最小值大，即，解得； 当时，函数在上为单调递减函数， 此时函数的最大值为，最小值为， 又因为在区间的最大值比最小值大，即，解得； 综上，实数的值为或. 学科网（北京）股份有限公司 $