专题07 指数运算和指数函数专项训练（11题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题07 指数运算和指数函数重难点十一大题型突破 【题型1：根式与分数指数幂互化】 【题型2：整式型化简】 【题型3：根式化简】 【题型4：求指数函数解析式 + 判断是不是指数函数】 【题型5：过定点问题】 【题型6：比较大小】 【题型7：解指数不等式】 【题型8：复合函数的单调性】 【题型9：复合指数函数值域】 【题型10：指数函数奇偶性判断】 【题型11：含参恒成立、存在性问题】 【题型1：根式与分数指数幂互化】 1．（1）；（2）． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. （2）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1） . （2）原式 . 2．计算 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）（2）由指数幂的运算性质、根式与有理数指数幂的关系分别计算各式即可得答案. 【详解】（1） ； （2） . 3．计算： (1)；(2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】（1）由指数幂的运算公式，可得： . （2）由指数幂的运算公式，可得： . 4．（1）计算：； （2）化简：． 【答案】； 【分析】（1）根据分数指数的运算性质直接求解即可； （2）将根式化为分数指数幂，然后根据分数指数的运算性质化简即可. 【详解】（1） ； （2） . 【题型2：整式型化简】 5．若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. 6．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【详解】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 7．已知，且 ．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)7； (2)47. 【详解】（1）将两边平方，得， 所以 ． （2）由（1）知，两边平方，得， 所以． 8．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将条件式子进行平方； （2）将（1）中式子进行平方得出； （3）将进行平方，计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，得； （2）因为， 所以，则； （3）因为， 所以， 则 【题型3：根式化简】 9．已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 因为，所以，， 故. 10．式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 11．若，则的化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式的运算法则直接化简即可. 【详解】，，. 故选：C. 12．化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． 【题型4：求指数函数解析式 + 判断是不是指数函数】 13．若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得，满足，且. 14．函数 且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数 且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 15．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 16．已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 【答案】 【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出解析式. 【详解】设指数函数为，且，将代入得， 解得，故函数解析式为. 故答案为： 【题型5：过定点问题】 17．若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 【答案】 【分析】定点与底数无关，因此令指数，使，再求对应的函数值． 【详解】令，得． 因为且，所以，从而． 因此函数的图象恒过定点． 18．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 19．函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． 20．函数且的图象恒过点__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的图象和性质知，函数恒过定点，代入求解即可. 【详解】因此指数函数恒过定点， 所以令，解得， 将代入函数，得， 即函数图象恒过点. 【题型6：比较大小】 21．设，，，则 a、b、c 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数y =在R上单调递增，因为，故. ，而，故，综上可得. 22．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数，指数函数单调性结合题设可判断选项正误. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在R上单调递减，且，所以，即，所以. 23．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. 24．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数、的单调性比较大小即可. 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选：D 25．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性求解. 【详解】为上的增函数，， ，， ，，，. 故选：C. 【题型7：解指数不等式】 26．解不等式1≤4x﹣3×2x+3≤7，则x的取值范围_____. 【答案】{x|1≤x≤2或x≤0}. 【分析】令，求得关于的二次不等式的解集，再反解即可. 【详解】令，， 则原不等式等价于 对，解得 对，解得 结合，取交集可得. 即可得 解得. 故答案为：{x|1≤x≤2或x≤0}. 【点睛】本题考查二次型指数不等式的求解，注意换元的等价性. 27．不等式的解集为____________. 【答案】 【详解】， 又在R上单调递增，故， 化简得，解得，故解集为 28．已知函数，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合指数函数单调性判断函数的单调性再判断的奇偶性，利用函数的奇偶性单调性化简不等式，即可得答案． 【详解】因为函数为增函数，为减函数， 所以函数为增函数. 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 因为，所以， 结合函数为奇函数可得，， 又函数为增函数，所以， 所以， 所以的取值范围是. 29．不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】先移项化简不等式，结合指数函数的值域判断不等式无实解，进而得到解集. 【详解】依题意，与对任意实数，均有矛盾，所以原不等式的解集是. 【题型8：复合函数的单调性】 30．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解． 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 31．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 32．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 33．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 34．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则或， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 易知函数在定义域上的单调递增， 故要求函数的单调递增区间， 即求在上的单调递增区间， 而在区间上单调递增，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故函数的单调递增区间是. 故选：B 【题型9：复合指数函数值域】 35．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 36．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数单调性得到值域. 【详解】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 37．函数 的值域是，则定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，， 函数均单调递增，则单调递增， 故，解得， 即函数 的定义域为． 38．已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出要使函数的值域为，须满足函数在上单调递增，且最小值小于等于在时的函数值，据此列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以要使函数的值域为， 须满足函数在上单调递增，即， 且，解得， 则． 故选：D 【题型10：指数函数奇偶性判断】 39．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； (2)证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【详解】（1）略； （2）略. 40．已知函数 . (1)证明函数为奇函数； (2)解关于的不等式 . 【答案】(1)证明：因为 由题意可得 恒成立，所以函数 的定义域为. 又 所以函数是定义在上的奇函数. (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可. （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）略 （2）由题意，即，也即， 整理得. 因为，所以，所以可化为，即. 又在定义域上单调递增，所以 ， 解得. 所以的取值范围为. 41．已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)是奇函数， 证明如下：定义域为，关于原点对称, ，故为奇函数. (2)， 任取，且，所以， 所以，，， 所以， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）先求定义域，再代入化简，利用奇函数定义证明； （2）分离常数变形，用定义法作差比较，结合指数函数单调性证明； （3）利用奇函数性质转化不等式，再借助单调性脱去函数符号，解一元二次不等式. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 解得. 42．已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，证明如下： 因为定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数 (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义即可判断求解； （2）根据指数函数的性质即可判断的单调性，进而结合函数奇偶性将对任意恒成立，转化为对任意恒成立，构造函数即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为在是增函数，所以在上是减函数， 所以在上是增函数，故在上是增函数， 所以在上是增函数： 所以为奇函数且在是增函数， 又，所以， 所以对任意恒成立， 令，只需，解得， 所以，则的取值范围为. 【题型11：含参恒成立、存在性问题】 43．已知是奇函数． (1)求的值； (2)证明：是增函数； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）得， 设为上任意两个实数，且，      因为，， 所以，即，所以是增函数 (3) 【分析】（1）根据奇函数恒成立求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性与奇偶性得，进而得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：因为是奇函数， 所以， 所以， 所以 （2）略 （3）解：因为是奇函数，， 所以 因为是增函数，所以， 所以 因为，当且仅当时取等号， 所以， 所以实数的取值范围为 44．已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2)在R是增函数，证明如下： ， 任取，且， 则， 由，得， 又，所以，即， 所以在R是增函数； (3). 【分析】（1）利用计算，再利用奇函数的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用奇偶性和单调性求解. 【详解】（1）由题的定义域为R且为奇函数，故，解得， 此时，则，则是R上的奇函数， 故； （2）略 （3）因为函数是奇函数，所以等价于. 又在R是增函数，所以， 因为时，恒成立，所以， 故实数k的取值范围. 45．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，结合二次函数的性质求出函数的值域. （2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，再借助恒成立条件建立不等式求解. 【详解】（1）令，由，得， ， 当时，取最小值为；当时，取最大值为3，即， 所以函数的值域为. （2）依题意，， 令，则，且，于是 ， 而，当且仅当，即时取等号，， 即当时，，由恒成立， 得，解得， 所以实数的取值范围. 46．已知函数是偶函数 (1)试用定义法证明在递增； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) 由，且是偶函数，则， 所以，恒成立，可得， 证明：，不妨设，则有： ， ∵，则，， ∴，即成立，则在上单调递增； (2). 【分析】（1）根据偶函数的性质求参数值，再由单调性的定义证明区间单调性； （2）令，问题化为在上恒成立，应用单调性求右侧最值，即可得范围. 【详解】（1）略 （2）由代入得：， 令，而，则， 所以恒成立， 令，易知在单调递增，所以， ∴，得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 指数运算和指数函数重难点十一大题型突破 【题型1：根式与分数指数幂互化】 【题型2：整式型化简】 【题型3：根式化简】 【题型4：求指数函数解析式 + 判断是不是指数函数】 【题型5：过定点问题】 【题型6：比较大小】 【题型7：解指数不等式】 【题型8：复合函数的单调性】 【题型9：复合指数函数值域】 【题型10：指数函数奇偶性判断】 【题型11：含参恒成立、存在性问题】 【题型1：根式与分数指数幂互化】 1．（1）；（2）． 2．计算 (1)； (2) 3．计算： (1)；(2). 4．（1）计算：； （2）化简：． 【题型2：整式型化简】 5．若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 6．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 7．已知，且 ．求： (1)的值； (2)的值． 8．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【题型3：根式化简】 9．已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 10．式子的值为（    ） A． B． C． D．1 11．若，则的化简结果是（ ） A． B． C． D． 12．化简：______． 【题型4：求指数函数解析式 + 判断是不是指数函数】 13．若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C．D．，且 14．函数 且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 15．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 16．已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 【题型5：过定点问题】 17．若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 18．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 19．函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 20．函数且的图象恒过点__________. 【题型6：比较大小】21．设，，，则 a、b、c 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 24．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 25．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C．D． 【题型7：解指数不等式】 26．解不等式1≤4x﹣3×2x+3≤7，则x的取值范围_____. 27．不等式的解集为____________. 28．已知函数，若，则的取值范围是________． 29．不等式的解集是__________． 【题型8：复合函数的单调性】 30．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 32．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 33．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 34．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【题型9：复合指数函数值域】 35．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 36．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 37．函数 的值域是，则定义域为（   ） A． B． C． D． 38．已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型10：指数函数奇偶性判断】 39．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 40．已知函数 . (1)证明函数为奇函数； (2)解关于的不等式 . 41．已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 42．已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【题型11：含参恒成立、存在性问题】 43．已知是奇函数． (1)求的值； (2)证明：是增函数； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 44．已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 45．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 46．已知函数是偶函数 (1)试用定义法证明在递增； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $