精品解析：安徽省涡阳第一中学2025～2026学年高一上学期第二次质量检测数学试卷

涡阳一中 2025 级高一第一学期第二次质量检测 数学试卷 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合,再求交集运算. 【详解】解析：， 由，则. 故选：D. 2. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则等于（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求得，由此求得. 【详解】由于为定义在上的奇函数，所以， . 故选：D 3. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，通过充分条件与必要条件的概念即可判断出关系. 【详解】由得，则且，解得：， 而集合是的真子集， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 4. 设 ，若当 时，关于 的不等式 恒成立，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式变形为，问题转化为时该式恒成立，由对勾函数性质得在该区间最小值为，故. 【详解】因为 ，，将不等式移项得 ，两边同时除以正数， 等价于： 在区间 上恒成立，即小于等于函数 在区间上的最小值. 对勾函数 的性质为：在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因此在上，单调递增，它的最小值出现在处： 所以要满足 在恒成立，只需 . 5. 若，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以函数在上单调递减，所以. 因为，所以函数在上单调递增，所以， 又， 所以； 又，即. 综上：. 故选：A 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为. 故选：C. 7. 若函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，则x·f(x)<0的解集是（ ） A. (－2，0)∪(0，2) B. (－∞，－2)∪ (0，2) C. (－∞，－2)∪(2，＋∞) D. (－2，0)∪(2，＋∞) 【答案】A 【解析】 【分析】根据的奇偶性和单调性画出的图象，由此求得的解集. 【详解】依题意是奇函数，在上递增，在上递增， ，由此画出的大致图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：A 8. 定义在上的函数 满足，当 时 ，当时，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数周期，将到转化到已知解析式的区间内求值，算出一个周期的函数值之和，将所求的项按项一组划分，转化为个周期的和加上剩余两项进行计算. 【详解】由题意知，函数的周期， 当 时 ，当时， 所以， ， ，. 所以. 因为，所以 . 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】结合同一函数的定义，判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误； 对B：，， 故与是同一函数，故B正确； 对C：定义域为，即，定义域为， 即或，故与不是同一函数，故C错误； 对D：与定义域与对应关系都相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BD. 10. 函数（，且）的部分图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先判断出为偶函数，再对分类讨论即可. 【详解】函数的定义域为，且， 则是偶函数，故D错误； ， 当时，在上单调递增，且，故A正确，B错误； 当时，在上单调递减，且，故C正确． 11. 已知幂函数 的图象经过点 ，下列结论正确的有（　　） A. B. C. 是偶函数 D. 若 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得，代入点坐标可求解，即可求解AB，根据偶函数的定义求解C，根据幂函数的单调性以及奇偶性可列不等式求解D. 【详解】对于A，由于幂函数的图象经过点， 故，解得，故，A正确， 对于B，无意义，故B错误， 对于C，定义域为，关于原点对称， 且，故是偶函数，C正确， 对于D，由于是偶函数，且在单调递减， 所以不等式转化为，且； 整理可得，解得且； 即不等式的解集为，即D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若不等式的解集为，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求出参数即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且和是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数且，若在上为减函数，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列出不等式，求解即可 【详解】当时，单调递减，此时， 若当时，单调递减，则，此时， 因为在R上单调递减，所以，解得，又，所以． 故答案为：． 14. 已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用“1”的代换及基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，因为不等式有解， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知 ，求 的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值； （2）由已知条件变形得出且，利用平方关系求出，再结合立方和公式可化简得出所求代数式的值. 【详解】（1）原式； （2）由成立可知， 所以等式两边同时除以得，由此可知， 所以 ，即 ， ， 所以原式． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求和． （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）（或者）； （或者） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，结合集合的并、补运算即得解； （2）分，两种情况讨论，列出不等关系，计算即得解 【小问1详解】 当时， 所以 （或者）； （或者） 【小问2详解】 当时，则，解得 当时，则，解得，所以m不存在 综上所述， 17. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源耗损，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为万元，该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消费费用为万元，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和. （1）请写出的表达式； （2）隔热层多厚时，达到最小，并求出其最小值. 【答案】（1） （2）当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元． 【解析】 【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出的解析式； （2）利用基本不等式得出的最小值及对应的x的值. 【小问1详解】 设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为. 再由，得，因此. 而建造费用为 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 【小问2详解】 ， 当，即时取等号， 所以当隔热层厚度为时总费用最小万元. 18. 已知函数是二次函数，且满足，. （）求的解析式. （）若，试将的最大值表示成关于的函数. 【答案】(1)；(2). 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知，因此二次函数的解析式可设为；（2）由于二次函数的最大值与对称轴有关，而且本题中二次项系数为负（图象是开口向下的抛物线），因此要分三类求最大值，即对称轴在区间的左边，在区间上，在区间的右边，分别求解，最后得是一个分段函数形式． 试题解析：（1）由题可设， 又，得a＝－1， 得 （2）由（1）知，的对称轴为， 若，则在上是减函数， 若，即，则在上是增函数， 若，即，则 故 考点：二次函数的解析式，二次函数的最值． 【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 19. 设，函数． （1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数； （2）已知． （i）判断并证明函数的单调性； （ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）（i）函数为上的单调增函数，证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明； （2）先由，求得函数的定义域为．（i）再利用函数单调性的定义证明； （ii）根据（i）知，函数为上的单调增函数，结合函数在区间上的值域是，得到，进而转化为关于的方程有两个互异实根求解． 【详解】（1）证明：因为，所以， 由得函数的定义域为， 又 所以函数为定义域上的奇函数 （2）当时，因为，所以， 所以函数的定义域为． （i）结论：函数为上的单调增函数． 证明：设对任意的，，且， 因为，所以即 因为，所以，， 又，所以，即， 所以函数为上的单调增函数 （ii）因为，所以，从而． 又由知，，所以， 因为，由（i）知，函数为上的单调增函数． 因为函数在区间上的值域是， 所以，即 从而关于的方程有两个互异实根． 令，所以方程有两个互异正根． 所以， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 涡阳一中 2025 级高一第一学期第二次质量检测 数学试卷 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则等于（ ） A. 3 B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设 ，若当 时，关于 的不等式 恒成立，则（　　） A. B. C. D. 5. 若，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，则x·f(x)<0的解集是（ ） A. (－2，0)∪(0，2) B. (－∞，－2)∪ (0，2) C. (－∞，－2)∪(2，＋∞) D. (－2，0)∪(2，＋∞) 8. 定义在上的函数 满足，当 时 ，当时，则（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 函数（，且）的部分图象可能是（　　） A. B. C. D. 11. 已知幂函数 的图象经过点 ，下列结论正确的有（　　） A. B. C. 是偶函数 D. 若 ，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若不等式的解集为，则___________． 13. 已知函数且，若在上为减函数，则的取值范围是________. 14. 已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知 ，求 的值． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求和． （2）若，求实数m的取值范围． 17. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源耗损，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为万元，该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消费费用为万元，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和. （1）请写出的表达式； （2）隔热层多厚时，达到最小，并求出其最小值. 18. 已知函数是二次函数，且满足，. （）求的解析式. （）若，试将的最大值表示成关于的函数. 19. 设，函数． （1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数； （2）已知． （i）判断并证明函数的单调性； （ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $