精品解析：安徽省无为第一中学2026～2027学年高一上学期第二次月考数学试卷

无为一中 2026—2027 学年度第一学期高一年级第二次统考 数学试卷 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 命题：“”是命题：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 含有三个实数的集合，若且，求的值（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 2 5. 已知一元二次不等式（）的解集为或，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，若中恰有个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，若集合，则___________． 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 14. 记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 设全集，，； （1）求，. （2）设集合，且，求实数的取值范围. 16. （1）已知，，且，求的最小值． （2）若实数x，y满足，且，求的最小值． 17. 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． （1）若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 18. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 19. 有限集合，若，则称集合为“完美集合”． （1）判断集合是否为“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求的取值范围； （3）已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无为一中 2026—2027 学年度第一学期高一年级第二次统考 数学试卷 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 又，. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题进行求解. 【详解】已知命题， 则：. 故选：D 3. 命题：“”是命题：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，则，解得； 由，则，解得， 则是的充分不必要条件. 4. 含有三个实数的集合，若且，求的值（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】对于，由题意得， 若，则，解得，此时， 而，可得或， 当时，不符合互异性，排除， 当，解得（舍去）或，此时，符合题意， 得到. 5. 已知一元二次不等式（）的解集为或，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解集的两端点用韦达定理把 用 表示，再用基本不等式求解即可. 【详解】由题意知，且 是 的两根， 由韦达定理，，即，. 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 6. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，由已知条件确定，且，展开后利用均值不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则， 所以， ，当且仅当， 即时等号成立，故的最小值为. 7. 已知集合，，若中恰有个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，解得， 又，故， 因为，即中所有大于等于的元素， 若恰有个元素，只能是最大的三个， 包含，则，不包含，则，故， 所以实数的取值范围是. 8. 关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】原不等式可化为，即可得，即或，再分及，结合解集及正整数解的个数讨论即可得. 【详解】原不等式可化为， 即恰有个整数解， ，解得或. 当时，不等式的解集为， ，个整数解为，， ，即，解得； 当时，不等式的解集为， ，个整数解为，， ，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】已知， 判断A选项：由不能推出，例如取，，取，满足，但，故A错误； 判断B选项：由，得，又，所以，由不等式性质，两边平方得：，故B正确； 判断C选项：由B知，但的符号不确定，若，则； 若，则；若，则，所以不一定成立，故C错误； 判断D选项：由，得，故D正确. 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式求解最值判断AD，利用基本不等式与“乘1”法求最值判断B，结合A利用配方法求最值判断C. 【详解】A项：因，则， 当且仅当时取等，即的最大值为，故A错误； B项：， 当且仅当时取等， 由解得，即的最小值为，故B正确； C项：， 由A项可得当时，取得最小值为，故C正确； D项：， 当且仅当时取等， 由，解得，即的最大值为，故D正确. 11. 已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，集合中元素绝对值的最小值为1， 易知当时，不存在使得成立，故错误； 对于，集合，对于任意的存在，使得成立，故C正确； 对于，集合，当时，， 易知当时不存在使得成立，故错误； 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，若集合，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得两个集合中的元素相同，故，解得， 所以. 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先对二次项系数为0和不为0分类讨论，再结合一元二次不等式的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】当时，解得，此时，符合题意， 当时，解得， 若不等式的解集为， 可得，解得， 综上可得实数的取值范围为. 14. 记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据集合的新定义，当时直接计算得解；当时可得或，分别讨论求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 所以； 由，，可得或， 当时，由于是方程的一个根，则，因此方程无实根，即； 此时方程变为，也无实根，故即方程只有1个根， 此时满足题意； 当时，即方程有3个根， 因为时方程只有1个根，所以，此时，各有1个根， 且都不满足方程， 所以有相等实数根，即，解得， 综上可知，可能值的集合为. 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 设全集，，； （1）求，. （2）设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的运算求解. （2）利用给定运算结果，结合元素与集合的关系求解. 【小问1详解】 由，，得， 而全集，则或，所以. 【小问2详解】 ， 因为，，所以且， 所以或， 所以实数的取值范围是. 16. （1）已知，，且，求的最小值． （2）若实数x，y满足，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】利用乘“1”法求最值. 【详解】（1）由可得，又，， 则 ， 当且仅当即时取等， 所以的最小值为. （2）设，则且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取等， 所以的最小值为. 17. 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． （1）若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 【答案】（1）元 （2）（ⅰ）； （ⅱ）当时，该污水处理池的容积最大，最大容积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，结合基本不等式即可求解； （2）（i）根据题意，列出方程即可；（ii）结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，设污水处理池的建造成本为元， 则， 又，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以污水处理池的最低建造成本为元. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知，所以， 整理得， 又，所以，解得， 所以． （ⅱ）由题意，处理池的容积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最大容积. 18. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 【答案】（1），； （2）当，解集为或；当，解集为；当，解集为；当，解集为； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理列方程求解； （2）将代入，因式分解，对a的正负以及根1和的大小作分类讨论，写出不等式解集； （3）先由韦达定理与得到的关系式，结合正根、不等根条件求出a的取值范围，再将目标式化为单变量a的函数，换元后用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 不等式的解集为，得，方程两根为，所以，得，； 【小问2详解】 由，得，即， 因为，所以， 当，不等式化为， 若即，解集为； 若即，，无解； 若即，解集为； 当，不等式化为，此时，故解集为或； 综上所述，当，解集为或；当，解集为；当，解集为；当，解集为； 【小问3详解】 由得，两根，由韦达定理得， 因为，所以，所以， 由，得判别式，即，得，故或， 由得，所以， 由，得， 令，由得，所以， 因为，所以，故，当且仅当，即，即时取等号， 所以，故， 所以当时，最大值为. 19. 有限集合，若，则称集合为“完美集合”． （1）判断集合是否为“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求的取值范围； （3）已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 【答案】（1） 是“完美集合”． 理由如下： 因为， 所以集合是“完美集合”. （2） （3） 因为，所以. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即， 根据集合元素的互异性， 不全相等，则， 所以集合为“完美集合”. 【解析】 【分析】（1）直接根据“完美集合”的定义进行判断； （2）根据“完美集合”的定义可得，解不等式即可； （3）根据题意得，再利用重要不等式证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为集合为“完美集合”， 所以， 即. ， 解得或. 又因为，所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $