16.3乘法公式及其应用 专题复习讲义 2026—2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级上册　第16章 整式的乘法 第16章 整式的乘法 乘法公式及其应用 2026—2027学年人教版八年级数学上册专题复习 教师解析版 目录导航 一、平方差的结构识别与符号处理 2 二、完全平方的展开与符号辨析 3 三、平方差的连续运用 4 四、添括号与整体平方差 5 五、三项式的平方与对称结构 6 六、公式混合与化简求值 6 七、乘法公式与简便计算 7 八、和差积之间的整体求值 8 九、平方差逆用与未知整体反求 9 十、面积关系与乘法公式 10 十一、拼图中的信息提取与关系联立 11 A、基础通关 15 B、难点突破 16 C、方法进阶 16 D、真题精选 17 一、平方差的结构识别与符号处理 【知识详解】平方差公式为两个因式中，一个部分完全相同，另一个部分互为相反数；结果是“相同部分的平方减去相反部分的平方”。公式中的可以是数、单项式，也可以是整个多项式。 【理解依据】按分配律展开：中间两项互相抵消，是结果只剩两项的原因。公式不要求为正数，但相同部分和相反部分必须对应准确。 【几何理解】图中取从边长的正方形中去掉边长的小正方形，剩余面积为将余下的窄长方形移动并旋转，可拼成长宽的长方形，面积为代数推导不受图中正长度条件限制。 【方法示范】先调整项的顺序，再圈定相同部分与相反部分，最后分别平方并作差。例如而二者相差一个负号。 【结构辨析】若相同部分本身带负号，要连负号一起平方。例如若两个因式整体互为相反数，如应写为不能硬套成 【易错提醒】平方要作用到完整的系数和字母；不能只看到“一加一减”就使用公式，还要核对两部分是否相同。 【完整示范】先识别，再展开 计算时，先把第一个括号写成相同部分就是相反部分就是 若直接把先出现的当作相同部分，就会把结果写反。用检查时，原式为可发现这种符号错误；代值检查只能发现错误，不能替代恒等推导。 例1、计算： 【解析】原式 变式1-1、下列各式中，计算结果为的是（　　）。 A. B. C. D. 【解析】A。A的相同部分是结果为B、C是一个式子与其相反数的乘积；D等于 变式1-2、计算： 【解析】原式 变式1-3、化简： 【解析】第一项积为第二项积为所以原式 二、完全平方的展开与符号辨析 【知识详解】完全平方公式为展开通常有三项：两部分各自的平方，以及这两部分乘积的两倍。不能漏掉中间项。 【理解依据】两个交叉乘积相同，合成末项来自所以仍是 【几何理解】图中边长的正方形分成两个小正方形与两个长方形，面积分别为四块相加得到中间项的系数2来自两块长方形。 【方法示范】先把两部分连同符号确定下来，分别求平方，再求两倍乘积。例如当系数是分数时，平方项和交叉项要各自约分，不能先把两个分数相加。 【结构辨析】因为两个括号互为相反数，平方后相同；但一般不等于对称的两个完全平方相加或相减时，平方项与交叉项会出现不同的抵消方式，应先写完整再合并。反过来，识别时，应同时核对两平方项与交叉项。例如为完全平方式时，末项对应所以中间项系数可以为或不能只保留一个符号。 【易错提醒】“括号里有减号”不意味着展开后每项都为负。遇到括号前的负号或系数，必须作用到展开式的每一项。 【完整示范】两种方法核对交叉项 展开两部分分别为和其平方为两倍乘积为 所以若按多项式乘法展开，两项交叉乘积均为合并后同样得到 对比完全平方是两个相同的因式相乘，交叉项相加；平方差是一和一差，交叉项抵消。 例2、计算： 【解析】原式 变式2-1、计算： 【解析】原式两个负号相乘得到正号，中间项为 变式2-2、计算： 【解析】原式 变式2-3、化简： 【解析】原式 三、平方差的连续运用 【知识详解】第一次用平方差后，所得结果可能与另一个因式再次组成平方差。例如每一步都应先写出当前的两个完整部分。 【理解依据】连续运用并不是把所有指数直接相乘，而是先计算第一组，再把与分别当作新的整体。若再乘可继续得到 【方法示范】先找成对的和与差，必要时交换因式顺序。中途得到平方差后，检查剩余因式是“和”还是相同的“差”：前者可继续用平方差，后者相乘是完全平方。 【结构辨析】要区分与前者得到后者是外层平方会产生中间项。 【易错提醒】不能把写成每次运用公式后保留必要括号，最后再处理加减和合并同类项。 【完整示范】连续使用与转换公式 对先算前两个因式，得再把作为两部分，结果为 若末因式改成则先得到下一步应转用完全平方，得 是否继续使用平方差，取决于下一对因式的实际结构，而不是上一步使用过哪条公式。 例3、计算： 【解析】原式 变式3-1、计算： 【解析】调整因式顺序，原式 变式3-2、计算： 【解析】原式 变式3-3、（提升选做）化简： 【解析】前一项积后一项所以原式 四、添括号与整体平方差 【知识详解】三项或更多项的因式，有时需先添括号，才能显出相同部分与相反部分。添括号前是加号，括入的各项不变号；前面是减号，括入的各项都要变号。 【理解依据】由反过来得例如不是正确添括号保持原式各项的符号不变。 【方法示范】先比较两个因式哪些项相同，哪些项整体相反；再把它们分为两个部分。例如 【结构辨析】相同部分不一定是一个单项式。例如相同部分是用公式后若出现整体的平方，再按完全平方展开，外面的减号要分配到三项。 【易错提醒】不要固定把“第一项”当相同部分。先看完整符号结构，再决定分组。最终要求展开式时，不能把尚未展开的平方漏在答案中。 【完整示范】添括号时先核对负号 对可写成 先平方差，得再完全平方，得 关键在于而不是展开时，外层减号还要作用到的每一项。 例4、计算： 【解析】原式 变式4-1、计算： 【解析】原式 变式4-2、化简： 【解析】把看成整体，前一个乘积为所以原式先保留整体即可相消，不必把每个平方都展开。 变式4-3、化简： 【解析】原式 五、三项式的平方与对称结构 【知识详解】三个部分相加的平方，可以先把其中两个合为整体，再用完全平方。逐步展开可得理解每一对部分的乘积，比死记符号更可靠。 【理解依据】先写再展开两个括号。三个平方项分别来自每一部分自乘，三个交叉项分别来自不同两部分相乘两次。 【方法示范】含减号时，把负号连同后面的式子看作一个部分。例如中，含的两个交叉项写为而 【结构辨析】两个三项式平方若呈对称结构，可先重新选整体。例如将视为就是这样可以少写展开项，仍须保持符号一致。 【易错提醒】三项式的平方不能只把三项分别平方。检查展开结果时，应核对是否有三个平方项和三种交叉乘积；若交叉项合并或抵消，要有对应的来源。 【完整示范】按三对交叉项逐项核对 把看作三个部分。三个平方项是三对两倍乘积是 所以 也可先把看成整体，写为两条路径的结果应一致，不能只算相邻两项的乘积而漏掉首尾两项。 例5、计算： 【解析】原式 变式5-1、若对任意成立，求 【解析】左边展开为比较对应项系数得 变式5-2、化简： 【解析】把看成整体，原式 变式5-3、（提升选做）已知的值与无关，求 【解析】原式值与无关要求所以 六、公式混合与化简求值 【知识详解】同一道计算题可以同时出现平方差、完全平方和普通多项式乘法。先根据各部分的结构选公式，再按括号、乘方、乘除、加减的顺序计算；不必强迫所有乘积使用同一种公式。 【理解依据】式子相减时，后一组的每一项都要变号，这常是决定结果的步骤。 【方法示范】先分别算清各组乘积或平方，保留外层括号；去括号后按同类项合并；若是求值题，最后代入给定数。含除法时，先写清除式非零的条件，再逐项相除。 【结构辨析】求值前先化简，有时能消去某个字母或高次项。被消去的字母不必再代数值，但原题中除式非零等条件不能因此删掉。例如参与除法，即使化简后没有作除式，也仍保留原来的题设给出二次式的等式时，可以先提取其中的整体。例如已知则这一步是公式变形后的整体代入，不需要解出 【易错提醒】不能把减去一个完全平方只理解成减去它的首项。遇到先把平方看成整体，再将外面的2乘到全部三项。 【完整示范】化简结果决定如何代入 先化简得到若原式的值就是 若已知的不是而是则应把已知的整个式子直接代入。 前一种问题先消去高次项再代数值；后一种问题把所求式改写成已知整体，不需要求出的具体值。 例6、化简： 【解析】原式 变式6-1、化简： 【解析】原式 变式6-2、化简： 【解析】原式 变式6-3、先化简，再求值：其中 【解析】括号内因为原式代入得 七、乘法公式与简便计算 【知识详解】相近的两个数相乘时，可选它们的中点作为共同部分，写成一和一差；接近整十、整百的数平方时，可写成整十或整百数与小数的和或差，再用完全平方。选中心是为了让平方和交叉乘积都容易算。 【理解依据】若两数为和则积为若是则为二者虽都“接近”，中间项却不同，不能混用。 【方法示范】先分析乘积、平方或两者的组合，再选择共同中心。若两个完全平方相减，可先将它们展开后合并，或把平方差公式反向使用。计算中尽量保留结构，最后再做数值运算。 【结构辨析】例如这是同一个恒等式从右向左使用，不是新的公式。又如两个看似很大的部分会先抵消。 【易错提醒】大数并不意味着必须笔算。简便计算的关键是结构匹配，不能把数字大当作题目难度；还要核对小数与分数的平方，防止末尾位数出错。 【完整示范】中心数不一定是整数 计算两数相对各差所以原式 计算则应写为 前者的两个因数位于中心数两侧，交叉项抵消；后者是同一数的平方，中间项不能省略。 例7、计算： 【解析】原式 变式7-1、计算： 【解析】原式也可展开后得 变式7-2、设求 【解析】 变式7-3、计算： 【解析】原式 八、和差积之间的整体求值 【知识详解】完全平方公式把两个数的和、差、积与平方和联系起来：已知其中某些整体时，可以求另一些整体，不必分别求出 【理解依据】将与相加，得相减得两式之差为因此给出和的平方与差的平方，就能同时确定积与平方和。 【方法示范】先把题设记成“已知哪个整体”，再检查目标式中需要哪个整体，选择只含这些量的恒等式。例如已知则若目标是四次和，可再用 【结构辨析】式子里的两个部分也可能是等。它们的和可能直接成为常数，使平方关系可用。已知时只能得或若还给才能取正号。 【易错提醒】平方和不等于和的平方，两者相差不能在求时漏掉符号条件；也不能由已知和与积直接认定两个数相等。 【完整示范】把条件转为所需的整体 若则再得 仅凭这些条件，可能为也可能为若再有才可确定 已知平方与求原式是不同层次。由不能一律写成符号必须由额外条件决定。 例8、已知求 【解析】 变式8-1、已知且求 【解析】因为所以 变式8-2、已知求和 【解析】两式相减得所以两式相加得所以 变式8-3、已知求 【解析】由得这里把当作公式中的两个整体。 变式8-4、（挑战）已知实数满足求 【解析】令则由得所以 九、平方差逆用与未知整体反求 【知识详解】平方差公式既能由和与差求平方差，也能在已知平方差和其中一个整体时，反求另一个整体。若就有这里求的是整个或不必先分别求 【理解依据】反求依据仍是同一个恒等式。若已知且代入后得到再按乘除关系求出若给出的是须先换号。 【方法示范】先辨认平方差中的完整两部分，再将已知的和或差代入；遇到两边都有同一个字母整体时，要检查它是否非零。若最终只求另一和差的平方，可保留整体运算。 【结构辨析】例如则所以若所求为可以继续写为不必先求出 【易错提醒】不能把平方差除以一个可能为零的整体。意味着可以据此作非零数的除法；若没有这项条件，必须保留可能为零的情形。本节不涉及分式方程。 例9、已知求的值。 【解析】由得所以 变式9-1、已知求的值。 【解析】由得所以 变式9-2、已知求的值。 【解析】由得所求式 变式9-3、已知实数满足且求的值。 【解析】由且得因此 十、面积关系与乘法公式 【知识详解】正方形面积是边长的平方，长方形面积是相邻两边的乘积。边长增加、两块图形拼合、挖去部分面积等关系，常把完全平方或平方差转化为可以看见的面积关系。列式时要区分“边长增加”和“面积增加”。 【理解依据】边长增加后，面积增加增加的部分包含两条长方形和一个角上的小正方形，不是只有边长减少时，面积减少还需 【方法示范】先确定每个字母表示边长、半径还是直径；再写整体面积减去挖去部分面积。圆的直径为时，面积是若字母表示半径，面积才是 【结构辨析】图形中得到的和、差或平方和，可以再用公式联结。若两个小正方形边长为面积和为它们放在边长的大正方形对角处时，另外两块矩形面积和为已知边长差，可由反求这部分面积。 【易错提醒】长度必须为正，剪去的图形必须放得下。完整多项式接单位时应加括号，如平方厘米与厘米不能混写。圆的阴影面积不要把半径与直径的平方系数混淆。 【完整示范】边长、周长与面积不能混用 正方形边长由增至面积增加量为不仅是两条宽的长条，还包括一个的小正方形。 长方形的周长若为则相邻两边之和是若另知面积为两边分别记为就有 求时用长度用一次单位，面积用平方单位；图中的正长度还会排除负的开方结果。 例10、一块正方形纸片的边长为 cm（现将边长增加 cm。求纸片增加的面积。 【解析】增加的面积为 变式10-1、一块正方形纸片的边长增加 cm后，面积增加 求原正方形的边长。 【解析】设原边长为 cm，由得解得因此原边长为 cm。 变式10-2、如图，大圆内的两个小圆互相外切，且分别与大圆内切，三个圆心在同一直线上。两个小圆的半径分别为 cm、 cm，大圆半径为 cm。已知求两个小圆的面积和与阴影部分的面积。 【解析】两个小圆的面积和为（阴影部分的面积为（ 变式10-3、如图，边长分别为 cm、 cm（的两个正方形放在边长 cm的大正方形的两个对角处，其余两块矩形为阴影部分。已知两个小正方形的面积和为 且求阴影部分的面积和大正方形的周长。 【解析】由得所以阴影面积为 又因为所以大正方形周长为 cm。 十一、拼图中的信息提取与关系联立 【知识详解】拼图题先把图上的长度、面积翻译成等式，再使用乘法公式。外轮廓的长度、两块图形的相邻边以及阴影的分块方式，常分别提供或同一组图形在两种摆法中，字母所表示的边长保持不变。 【理解依据】对以下两种拼法，设两个边长分别为的正方形，面积和是若底边对齐放入高宽的长方形，未覆盖的长方形面积是若把它们放在边长的正方形的对角位置，余下两块长方形总面积是 【方法示范】每幅图先单独列式，明确阴影是否含重叠或缺口；再把两图中的同类整体消去。若两幅图给出则这个关系来自同一面积整体的消元，并非把两幅图的边长随意相加。 【结构辨析】直角三角形面积为两条直角边乘积的一半。因而面积为时，得到的是不能错写为若已知边长差再用求和，正长度条件保证取正的和。 【易错提醒】图画只示意关系，不能用目测长度代替已知条件。题中“相同的两块纸片”允许跨图使用相同字母；不同图形若未说明全等或相同，不能擅自把边长设成同一个量。 例11、如图，分别以为边向外作正方形。已知两正方形的面积和为且求阴影三角形的面积。 【解析】设则由得所以三角形面积为 变式11-1、如图，正方形与正方形共用顶点点在上，点在上，已知三角形的面积为求正方形的周长。 【解析】设由三角形面积得所以由得于是因故两式相加得所以所求周长为 变式11-2、如图，把同样的两个正方形纸片分别按图1、图2摆放，的边长大于的边长。图1外轮廓为长方形，图2外轮廓为正方形，纸片均不重叠。两图阴影面积分别为求正方形的面积。 【解析】设边长分别为由图1得即由图2得所以于是的面积为 变式11-3、（提升选做）如图1，两个正方形并排放置，是的中点，阴影为两正方形中除去三角形后的部分。图2将同样的小正方形放在大正方形的右下角，两条分割线平行于正方形的边，阴影是左上角的正方形。已知图2阴影面积为求图1阴影面积。 【解析】设两个正方形边长为则图2的阴影边长为故两式相加，得所以两正方形面积和为因两三角形面积和为故图1阴影面积为 变式11-4、（挑战）如图，边长为的正方形内，三块不重叠的小正方形沿对角排列，边长依次为其余部分涂成阴影。已知阴影面积为求及大正方形的面积。 【解析】阴影面积为所以由得因故大正方形边长为面积为 A、基础通关 1、下列等式恒成立的是（　　）。 A. B. C. D. 【解析】D。A、B漏掉交叉项；C的左边为不是平方差。D的两个底数互为相反数，平方相等。 2、若对任意成立，则________。 【解析】左边故 3、下列多项式中，是完全平方式的是（　　）。 A. B. C. D. 【解析】B。A缺中间项；C末项符号错误；D两平方项对应的交叉项应为不是 4、若是一个完全平方式，求的值。 【解析】因为所以或中间项分别为或故或 5、计算： 【解析】原式 6、在括号内填入适当的整式：（________）。 【解析】应填括号前为减号，括入的三项均需变号。 7、化简： 【解析】原式 8、计算： 【解析】原式 9、计算： 【解析】原式 10、已知求 【解析】 11、已知则________。 【解析】故 B、难点突破 1、已知求 【解析】左边所以 2、化简： 【解析】把看成整体，前两个平方的和为原式 3、已知求 【解析】由已知得所以因此 4、已知求 【解析】所以 5、先化简，再求值：其中 【解析】给定均非零。原式代入得 6、计算： 【解析】原式 7、若是一个完全平方式，且求 【解析】由得再由得 C、方法进阶 1、一根空心圆柱形钢管高 m，外直径 m，内直径 m，每立方米钢的质量为 t。求这根钢管的质量。（取结果保留小数点后两位。） 【解析】钢的横截面积（钢的体积为（质量为（t）。按要求取近似数，质量约为 t。 2、如图是某月月历中相邻两行、相邻两列的四个日期，分别记作求的值。 【解析】设左上角日期则于是也可取为共同中心，写为 3、已知求 【解析】由得故所求式 4、化简： 【解析】前四个因式相乘所以原式 5、计算： 【解析】先把看成整体，原式再把按已学多项式乘法展开，得原式 6、已知且求与的值。 【解析】两式相减得因所以两式相加得再由得所以 D、真题精选 1、（2025年1月北京朝阳 八上期末第17题）计算： 【解析】原式 2、（2025年北京二中 八上期中第11题）已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是________。 【解析】所以或解得或 3、（2025年1月北京丰台 八上期末第23题）求值：其中 【解析】原式代入得原式 4、（2025年1月北京海淀 八上期末第18(2)题）已知求的值。 【解析】原式因为所以原式 5、（2025—2026学年天津和平 八上期末第11题）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案。分别用（表示小长方形的长和宽，已知阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（　　）。 A. B. C. D. 【解析】C。由图得所以A正确。B正确。大正方形面积由四块长方形与中央面积9的小正方形组成，故D正确。所以C错误。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八年级上册　第16章 整式的乘法 第16章 整式的乘法 乘法公式及其应用 2026—2027学年人教版八年级数学上册专题复习 学生版 目录导航 一、平方差的结构识别与符号处理 2 二、完全平方的展开与符号辨析 3 三、平方差的连续运用 4 四、添括号与整体平方差 5 五、三项式的平方与对称结构 6 六、公式混合与化简求值 8 七、乘法公式与简便计算 9 八、和差积之间的整体求值 10 九、平方差逆用与未知整体反求 11 十、面积关系与乘法公式 12 十一、拼图中的信息提取与关系联立 14 A、基础通关 17 B、难点突破 18 C、方法进阶 20 D、真题精选 21 一、平方差的结构识别与符号处理 【知识详解】平方差公式为两个因式中，一个部分完全相同，另一个部分互为相反数；结果是“相同部分的平方减去相反部分的平方”。公式中的可以是数、单项式，也可以是整个多项式。 【理解依据】按分配律展开：中间两项互相抵消，是结果只剩两项的原因。公式不要求为正数，但相同部分和相反部分必须对应准确。 【几何理解】图中取从边长的正方形中去掉边长的小正方形，剩余面积为将余下的窄长方形移动并旋转，可拼成长宽的长方形，面积为代数推导不受图中正长度条件限制。 【方法示范】先调整项的顺序，再圈定相同部分与相反部分，最后分别平方并作差。例如而二者相差一个负号。 【结构辨析】若相同部分本身带负号，要连负号一起平方。例如若两个因式整体互为相反数，如应写为不能硬套成 【易错提醒】平方要作用到完整的系数和字母；不能只看到“一加一减”就使用公式，还要核对两部分是否相同。 【完整示范】先识别，再展开 计算时，先把第一个括号写成相同部分就是相反部分就是 若直接把先出现的当作相同部分，就会把结果写反。用检查时，原式为可发现这种符号错误；代值检查只能发现错误，不能替代恒等推导。 例1、计算：   变式1-1、下列各式中，计算结果为的是（　　）。 A. B. C. D.   变式1-2、计算：   变式1-3、化简：   二、完全平方的展开与符号辨析 【知识详解】完全平方公式为展开通常有三项：两部分各自的平方，以及这两部分乘积的两倍。不能漏掉中间项。 【理解依据】两个交叉乘积相同，合成末项来自所以仍是 【几何理解】图中边长的正方形分成两个小正方形与两个长方形，面积分别为四块相加得到中间项的系数2来自两块长方形。 【方法示范】先把两部分连同符号确定下来，分别求平方，再求两倍乘积。例如当系数是分数时，平方项和交叉项要各自约分，不能先把两个分数相加。 【结构辨析】因为两个括号互为相反数，平方后相同；但一般不等于对称的两个完全平方相加或相减时，平方项与交叉项会出现不同的抵消方式，应先写完整再合并。反过来，识别时，应同时核对两平方项与交叉项。例如为完全平方式时，末项对应所以中间项系数可以为或不能只保留一个符号。 【易错提醒】“括号里有减号”不意味着展开后每项都为负。遇到括号前的负号或系数，必须作用到展开式的每一项。 【完整示范】两种方法核对交叉项 展开两部分分别为和其平方为两倍乘积为 所以若按多项式乘法展开，两项交叉乘积均为合并后同样得到 对比完全平方是两个相同的因式相乘，交叉项相加；平方差是一和一差，交叉项抵消。 例2、计算：   变式2-1、计算：   变式2-2、计算：   变式2-3、化简：   三、平方差的连续运用 【知识详解】第一次用平方差后，所得结果可能与另一个因式再次组成平方差。例如每一步都应先写出当前的两个完整部分。 【理解依据】连续运用并不是把所有指数直接相乘，而是先计算第一组，再把与分别当作新的整体。若再乘可继续得到 【方法示范】先找成对的和与差，必要时交换因式顺序。中途得到平方差后，检查剩余因式是“和”还是相同的“差”：前者可继续用平方差，后者相乘是完全平方。 【结构辨析】要区分与前者得到后者是外层平方会产生中间项。 【易错提醒】不能把写成每次运用公式后保留必要括号，最后再处理加减和合并同类项。 【完整示范】连续使用与转换公式 对先算前两个因式，得再把作为两部分，结果为 若末因式改成则先得到下一步应转用完全平方，得 是否继续使用平方差，取决于下一对因式的实际结构，而不是上一步使用过哪条公式。 例3、计算：   变式3-1、计算：   变式3-2、计算：   变式3-3、（提升选做）化简：   四、添括号与整体平方差 【知识详解】三项或更多项的因式，有时需先添括号，才能显出相同部分与相反部分。添括号前是加号，括入的各项不变号；前面是减号，括入的各项都要变号。 【理解依据】由反过来得例如不是正确添括号保持原式各项的符号不变。 【方法示范】先比较两个因式哪些项相同，哪些项整体相反；再把它们分为两个部分。例如 【结构辨析】相同部分不一定是一个单项式。例如相同部分是用公式后若出现整体的平方，再按完全平方展开，外面的减号要分配到三项。 【易错提醒】不要固定把“第一项”当相同部分。先看完整符号结构，再决定分组。最终要求展开式时，不能把尚未展开的平方漏在答案中。 【完整示范】添括号时先核对负号 对可写成 先平方差，得再完全平方，得 关键在于而不是展开时，外层减号还要作用到的每一项。 例4、计算：   变式4-1、计算：   变式4-2、化简：   变式4-3、化简：   五、三项式的平方与对称结构 【知识详解】三个部分相加的平方，可以先把其中两个合为整体，再用完全平方。逐步展开可得理解每一对部分的乘积，比死记符号更可靠。 【理解依据】先写再展开两个括号。三个平方项分别来自每一部分自乘，三个交叉项分别来自不同两部分相乘两次。 【方法示范】含减号时，把负号连同后面的式子看作一个部分。例如中，含的两个交叉项写为而 【结构辨析】两个三项式平方若呈对称结构，可先重新选整体。例如将视为就是这样可以少写展开项，仍须保持符号一致。 【易错提醒】三项式的平方不能只把三项分别平方。检查展开结果时，应核对是否有三个平方项和三种交叉乘积；若交叉项合并或抵消，要有对应的来源。 【完整示范】按三对交叉项逐项核对 把看作三个部分。三个平方项是三对两倍乘积是 所以 也可先把看成整体，写为两条路径的结果应一致，不能只算相邻两项的乘积而漏掉首尾两项。 例5、计算：   变式5-1、若对任意成立，求   变式5-2、化简：   变式5-3、（提升选做）已知的值与无关，求   六、公式混合与化简求值 【知识详解】同一道计算题可以同时出现平方差、完全平方和普通多项式乘法。先根据各部分的结构选公式，再按括号、乘方、乘除、加减的顺序计算；不必强迫所有乘积使用同一种公式。 【理解依据】式子相减时，后一组的每一项都要变号，这常是决定结果的步骤。 【方法示范】先分别算清各组乘积或平方，保留外层括号；去括号后按同类项合并；若是求值题，最后代入给定数。含除法时，先写清除式非零的条件，再逐项相除。 【结构辨析】求值前先化简，有时能消去某个字母或高次项。被消去的字母不必再代数值，但原题中除式非零等条件不能因此删掉。例如参与除法，即使化简后没有作除式，也仍保留原来的题设给出二次式的等式时，可以先提取其中的整体。例如已知则这一步是公式变形后的整体代入，不需要解出 【易错提醒】不能把减去一个完全平方只理解成减去它的首项。遇到先把平方看成整体，再将外面的2乘到全部三项。 【完整示范】化简结果决定如何代入 先化简得到若原式的值就是 若已知的不是而是则应把已知的整个式子直接代入。 前一种问题先消去高次项再代数值；后一种问题把所求式改写成已知整体，不需要求出的具体值。 例6、化简：   变式6-1、化简：   变式6-2、化简：   变式6-3、先化简，再求值：其中   七、乘法公式与简便计算 【知识详解】相近的两个数相乘时，可选它们的中点作为共同部分，写成一和一差；接近整十、整百的数平方时，可写成整十或整百数与小数的和或差，再用完全平方。选中心是为了让平方和交叉乘积都容易算。 【理解依据】若两数为和则积为若是则为二者虽都“接近”，中间项却不同，不能混用。 【方法示范】先分析乘积、平方或两者的组合，再选择共同中心。若两个完全平方相减，可先将它们展开后合并，或把平方差公式反向使用。计算中尽量保留结构，最后再做数值运算。 【结构辨析】例如这是同一个恒等式从右向左使用，不是新的公式。又如两个看似很大的部分会先抵消。 【易错提醒】大数并不意味着必须笔算。简便计算的关键是结构匹配，不能把数字大当作题目难度；还要核对小数与分数的平方，防止末尾位数出错。 【完整示范】中心数不一定是整数 计算两数相对各差所以原式 计算则应写为 前者的两个因数位于中心数两侧，交叉项抵消；后者是同一数的平方，中间项不能省略。 例7、计算：   变式7-1、计算：   变式7-2、设求   变式7-3、计算：   八、和差积之间的整体求值 【知识详解】完全平方公式把两个数的和、差、积与平方和联系起来：已知其中某些整体时，可以求另一些整体，不必分别求出 【理解依据】将与相加，得相减得两式之差为因此给出和的平方与差的平方，就能同时确定积与平方和。 【方法示范】先把题设记成“已知哪个整体”，再检查目标式中需要哪个整体，选择只含这些量的恒等式。例如已知则若目标是四次和，可再用 【结构辨析】式子里的两个部分也可能是等。它们的和可能直接成为常数，使平方关系可用。已知时只能得或若还给才能取正号。 【易错提醒】平方和不等于和的平方，两者相差不能在求时漏掉符号条件；也不能由已知和与积直接认定两个数相等。 【完整示范】把条件转为所需的整体 若则再得 仅凭这些条件，可能为也可能为若再有才可确定 已知平方与求原式是不同层次。由不能一律写成符号必须由额外条件决定。 例8、已知求   变式8-1、已知且求   变式8-2、已知求和   变式8-3、已知求   变式8-4、（挑战）已知实数满足求   九、平方差逆用与未知整体反求 【知识详解】平方差公式既能由和与差求平方差，也能在已知平方差和其中一个整体时，反求另一个整体。若就有这里求的是整个或不必先分别求 【理解依据】反求依据仍是同一个恒等式。若已知且代入后得到再按乘除关系求出若给出的是须先换号。 【方法示范】先辨认平方差中的完整两部分，再将已知的和或差代入；遇到两边都有同一个字母整体时，要检查它是否非零。若最终只求另一和差的平方，可保留整体运算。 【结构辨析】例如则所以若所求为可以继续写为不必先求出 【易错提醒】不能把平方差除以一个可能为零的整体。意味着可以据此作非零数的除法；若没有这项条件，必须保留可能为零的情形。本节不涉及分式方程。 例9、已知求的值。   变式9-1、已知求的值。   变式9-2、已知求的值。   变式9-3、已知实数满足且求的值。   十、面积关系与乘法公式 【知识详解】正方形面积是边长的平方，长方形面积是相邻两边的乘积。边长增加、两块图形拼合、挖去部分面积等关系，常把完全平方或平方差转化为可以看见的面积关系。列式时要区分“边长增加”和“面积增加”。 【理解依据】边长增加后，面积增加增加的部分包含两条长方形和一个角上的小正方形，不是只有边长减少时，面积减少还需 【方法示范】先确定每个字母表示边长、半径还是直径；再写整体面积减去挖去部分面积。圆的直径为时，面积是若字母表示半径，面积才是 【结构辨析】图形中得到的和、差或平方和，可以再用公式联结。若两个小正方形边长为面积和为它们放在边长的大正方形对角处时，另外两块矩形面积和为已知边长差，可由反求这部分面积。 【易错提醒】长度必须为正，剪去的图形必须放得下。完整多项式接单位时应加括号，如平方厘米与厘米不能混写。圆的阴影面积不要把半径与直径的平方系数混淆。 【完整示范】边长、周长与面积不能混用 正方形边长由增至面积增加量为不仅是两条宽的长条，还包括一个的小正方形。 长方形的周长若为则相邻两边之和是若另知面积为两边分别记为就有 求时用长度用一次单位，面积用平方单位；图中的正长度还会排除负的开方结果。 例10、一块正方形纸片的边长为 cm（现将边长增加 cm。求纸片增加的面积。   变式10-1、一块正方形纸片的边长增加 cm后，面积增加 求原正方形的边长。   变式10-2、如图，大圆内的两个小圆互相外切，且分别与大圆内切，三个圆心在同一直线上。两个小圆的半径分别为 cm、 cm，大圆半径为 cm。已知求两个小圆的面积和与阴影部分的面积。   变式10-3、如图，边长分别为 cm、 cm（的两个正方形放在边长 cm的大正方形的两个对角处，其余两块矩形为阴影部分。已知两个小正方形的面积和为 且求阴影部分的面积和大正方形的周长。   十一、拼图中的信息提取与关系联立 【知识详解】拼图题先把图上的长度、面积翻译成等式，再使用乘法公式。外轮廓的长度、两块图形的相邻边以及阴影的分块方式，常分别提供或同一组图形在两种摆法中，字母所表示的边长保持不变。 【理解依据】对以下两种拼法，设两个边长分别为的正方形，面积和是若底边对齐放入高宽的长方形，未覆盖的长方形面积是若把它们放在边长的正方形的对角位置，余下两块长方形总面积是 【方法示范】每幅图先单独列式，明确阴影是否含重叠或缺口；再把两图中的同类整体消去。若两幅图给出则这个关系来自同一面积整体的消元，并非把两幅图的边长随意相加。 【结构辨析】直角三角形面积为两条直角边乘积的一半。因而面积为时，得到的是不能错写为若已知边长差再用求和，正长度条件保证取正的和。 【易错提醒】图画只示意关系，不能用目测长度代替已知条件。题中“相同的两块纸片”允许跨图使用相同字母；不同图形若未说明全等或相同，不能擅自把边长设成同一个量。 例11、如图，分别以为边向外作正方形。已知两正方形的面积和为且求阴影三角形的面积。   变式11-1、如图，正方形与正方形共用顶点点在上，点在上，已知三角形的面积为求正方形的周长。   变式11-2、如图，把同样的两个正方形纸片分别按图1、图2摆放，的边长大于的边长。图1外轮廓为长方形，图2外轮廓为正方形，纸片均不重叠。两图阴影面积分别为求正方形的面积。   变式11-3、（提升选做）如图1，两个正方形并排放置，是的中点，阴影为两正方形中除去三角形后的部分。图2将同样的小正方形放在大正方形的右下角，两条分割线平行于正方形的边，阴影是左上角的正方形。已知图2阴影面积为求图1阴影面积。   变式11-4、（挑战）如图，边长为的正方形内，三块不重叠的小正方形沿对角排列，边长依次为其余部分涂成阴影。已知阴影面积为求及大正方形的面积。   A、基础通关 1、下列等式恒成立的是（　　）。 A. B. C. D.   2、若对任意成立，则________。   3、下列多项式中，是完全平方式的是（　　）。 A. B. C. D.   4、若是一个完全平方式，求的值。   5、计算：   6、在括号内填入适当的整式：（________）。   7、化简：   8、计算：   9、计算：   10、已知求   11、已知则________。   B、难点突破 1、已知求   2、化简：   3、已知求   4、已知求   5、先化简，再求值：其中   6、计算：   7、若是一个完全平方式，且求   C、方法进阶 1、一根空心圆柱形钢管高 m，外直径 m，内直径 m，每立方米钢的质量为 t。求这根钢管的质量。（取结果保留小数点后两位。）   2、如图是某月月历中相邻两行、相邻两列的四个日期，分别记作求的值。   3、已知求   4、化简：   5、计算：   6、已知且求与的值。   D、真题精选 1、（2025年1月北京朝阳 八上期末第17题）计算：   2、（2025年北京二中 八上期中第11题）已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是________。   3、（2025年1月北京丰台 八上期末第23题）求值：其中   4、（2025年1月北京海淀 八上期末第18(2)题）已知求的值。   5、（2025—2026学年天津和平 八上期末第11题）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案。分别用（表示小长方形的长和宽，已知阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（　　）。 A. B. C. D.   第 页 学科网（北京）股份有限公司 $