16.3 乘法公式 9大题型专项训练 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

2026—2027 学年（新教材）人教版数学八年级上册 乘法公式 · 9 大题型专项训练 （配套分层作业：A 组基础过关、B 组能力提升、C 组拓展挑战） 教师版（含答案与详解·授课讲评用） 一、考情导航 乘法公式是人教版八年级上册核心内容，也是整式运算与后续因式分解、分式、二次根式运算的基础。本章考查以化简求值为主线，兼顾简便计算、几何验证与整体代入思想，难度以中等及偏易为主，压轴题多落在"知二求二"的变形与规律探究上。本讲义按九大题型逐一突破，题后配跟踪训练，章末设 A、B、C 三层作业。 题型 核心考点 难度 题型一 平方差公式的结构识别与直接运用 基础 题型二 平方差公式与幂的运算综合 基础 题型三 完全平方公式的直接运用与易错辨析 基础 题型四 三项式的完全平方（添括号法） 中等 题型五 公式的连续使用与运算顺序 中等 题型六 完全平方公式的变形与整体代入 中等 题型七 乘法公式在简便计算中的应用 基础 题型八 乘法公式的几何背景（数形结合） 中等 题型九 与二次根式、含参问题及规律探究 较难 二、公式与常用变形清单 名称 公式（语言与符号） 使用提醒 平方差公式 找"同项"与"反项"，结果=同项²−反项² 完全平方和 中间项是 2ab，切勿漏写 完全平方差 差的平方不等于平方的差 添括号法则 ； 括号前是负号，括内要变号 变形（一） 知二求二的依据 变形（二） 两式相减消去平方项 变形（三） 两式相加消去中间项 完全平方式 为完全平方式时满足 一次项系数有正、负两个值，易漏解 三、九大题型精讲精练 题型一　平方差公式的结构识别与直接运用 【方法点拨】公式 的结构特征是：两个二项式中有一项完全相同、另一项互为相反数。使用时先圈出"同项"与"反项"，结果等于同项的平方减去反项的平方；两个因式的位置、前面的负号都可以先调整再判断。 【典例 1】计算：。 解：把两个因式都按"同项在前、反项在后"排列，得 ，其中同项是 ，反项是 。 所以原式 。 【跟踪训练 1-1】计算：。 【答案与详解】原式 。注意第二个括号前是负号，去括号时必须整体变号。 【跟踪训练 1-2】计算：。 【答案与详解】两因式中同项是 ，反项是 与 ，故原式 。也可先提负号：。 题型二　平方差公式与幂的运算综合运用 【方法点拨】当括号内出现系数或幂时，平方差公式仍按"同项²−反项²"处理，只是每一项平方时要同时用积的乘方与幂的乘方：。 【典例 2】计算：。 解：同项为 ，反项为 ， 原式 。 【跟踪训练 2-1】计算：。 【答案与详解】原式 。每一项的系数与各个字母都要分别平方。 【跟踪训练 2-2】计算：。 【答案与详解】原式 。分数系数平方时，分子、分母分别平方。 题型三　完全平方公式的直接运用与易错辨析 【方法点拨】，"首平方、尾平方、二倍首尾放中央"。高频错误是漏掉中间项的 2 倍积，例如 错写成 ，正确结果应为 ；括号前带负号时可先整体交换位置再套公式。 【典例 3】计算：。 解：原式 。 也可按完全平方差直接展开：，，得 ，两法结果一致。 【跟踪训练 3-1】计算：。 【答案与详解】原式 。 【跟踪训练 3-2】计算：。 【答案与详解】原式 。中间项 中的 2 与分母 2 约去，得 。 题型四　三项式的完全平方（添括号法） 【方法点拨】完全平方公式对三项式同样可用：把其中两项看成一个整体先添括号，两次套用公式即可，如 。展开结果共六项：三个平方项加两两乘积的 2 倍。 【典例 4】计算：。 解：原式 。 【跟踪训练 4-1】计算：。 【答案与详解】原式 。 【跟踪训练 4-2】已知 ，，求 的值。 【答案与详解】由 ，得 。 题型五　公式的连续使用与运算顺序 【方法点拨】连乘式可反复套用平方差公式，每用一次结果就"翻倍升次"；遇到形如 、 的结构，先想变形公式比逐个展开更快。 【典例 5】计算：。 解：原式 。 【跟踪训练 5-1】计算：。 【答案与详解】原式 。 【跟踪训练 5-2】化简：。 【答案与详解】原式 。这就是变形公式 的直接使用。 题型六　完全平方公式的变形与整体代入 【方法点拨】"知二求二"是三量关系 、、（或 ）之间的相互转化，核心依据是 与 。求值时不要急于解出 、，把 与 当作整体代入。 【典例 6】已知 ，，求 与 的值。 解：； 。 【跟踪训练 6-1】已知 ，，求 与 的值。 【答案与详解】； 。 【跟踪训练 6-2】已知 ，，求 与 的值。 【答案与详解】两式相减得 ，所以 ；两式相加得 ，所以 。 题型七　乘法公式在简便计算中的应用 【方法点拨】把接近整十、整百的数写成"整数±零头"的形式，凑成平方差或完全平方结构；相邻三个整数的乘积问题可设中间数为 ，用 快速判断大小。 【典例 7】用乘法公式计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式 ； (2) 设 ，则 ，，原式 。 【跟踪训练 7-1】用简便方法计算：(1) ；(2) 。 【答案与详解】(1) 原式 ； (2) 设 ，则 ，故原式 。 【跟踪训练 7-2】用简便方法计算：。 【答案与详解】设 ，原式 。 题型八　乘法公式的几何背景（数形结合） 【方法点拨】用同一块图形的面积"整体算"与"分块算"两种算法相等，即可直观验证乘法公式；关键是找准拼剪前后的边长，把面积关系翻译成代数恒等式。 【典例 8】如图，从边长为 的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形，再把剩余部分拼成一个长方形。 解：剩余（阴影）部分面积整体算为 ；拼成的长方形两边长分别为 与 ，面积为 。由两块面积相等得 ，这就是平方差公式的几何解释。 当 ， 时，剩余部分面积 。 【跟踪训练 8-1】边长为 的正方形被分成两个小正方形与两个长方形（边长分别为 、），请写出这一图形验证的乘法公式；若 ，，求两个小正方形面积之和。 【答案与详解】大正方形面积 与四块面积之和 相等，即验证 ； 两个小正方形面积之和为 。 题型九　乘法公式与二次根式、含参问题及规律探究 【方法点拨】字母可以表示数、单项式、多项式，也可以表示二次根式，故平方差公式对含根式的式子同样适用；判断完全平方式时，一次项系数等于"首尾底数积的 2 倍"，正负两种情况都要考虑，容易漏解。 【典例 9】(1) 计算：；(2) 若 是关于 的完全平方式，求 的值。 解：(1) 原式 ； (2) 因为 ，要使其为完全平方式，一次项 ，所以 ，即 或 。 【跟踪训练 9-1】计算：(1) ；(2) 。 【答案与详解】(1) 原式 ； (2) 原式 。 【跟踪训练 9-2】由 ，令 依次取 ，，，…，，将各式相加可得 。请用这一规律计算 。 【答案与详解】由 得 ，故 。（验证：，此处完全平方公式再次发挥作用。） 四、分层作业 说明：A 组面向全体同学，要求全部完成；B 组面向学有余力的同学，选做；C 组为拓展挑战，鼓励尝试，重在体会整体思想与分类讨论。 A 组·基础过关（全体必做） A1　计算：。 【答案与详解】同项为 ，反项为 ，原式 。 A2　计算：。 【答案与详解】原式 。 A3　计算：。 【答案与详解】原式 。 A4　用简便方法计算：。 【答案与详解】，故原式 。 A5　已知 ，，求 的值。 【答案与详解】。 A6　化简：。 【答案与详解】用变形公式 ，其中 ，，原式 。 B 组·能力提升（选做） B1　先化简，再求值：，其中 ，。 【答案与详解】原式 ； 当 ， 时，原式 。 B2　已知 ，，求 的值。 【答案与详解】。 B3　计算：。 【答案与详解】原式 。加 1 的作用是抵消连乘产生的常数项，这是连乘题的常见设计。 B4　一块边长为 米的正方形草坪，在四个角各留出边长为 米的正方形花坛，其余部分铺草坪。用含 的式子表示草坪面积，并求 时草坪的面积。 【答案与详解】草坪面积 ； 当 时，草坪面积 （平方米）。 C 组·拓展挑战（选做） C1　已知 ，且 ，求 的值。 【答案与详解】两边平方得 ，所以 。关键是把 这一隐含条件用上。 C2　计算：。 【答案与详解】前一部分 ，后一部分 ，故原式 。 C3　若多项式 是关于 的完全平方式，求 的值。 【答案与详解】完全平方式中两底数为 与 ，一次项系数应满足 ， 由 得 ；由 得 。所以 或 ，漏一种情况是本题最常见的失分点。 2 2 教师版　第 页／共 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年（新教材）人教版数学八年级上册 乘法公式·9大题型专项训练 (配套分层作业：A组基础过关、B组能力提升、C组拓展挑战) 班级： 姓名： 学号： 得分： 一、考情导航 乘法公式是人教版八年级上册核心内容，也是整式运算与后续因式分解、分式、二次根 式运算的基础。本章考查以化简求值为主线，兼顾简便计算、几何验证与整体代入思想， 难度以中等及偏易为主，压轴题多落在"知二求二"的变形与规律探究上。本讲义按九大 题型逐一突破，题后配跟踪训练，章末设A、B、C三层作业。 题型 核心考点 难度 题型一 平方差公式的结构识别与直接运用 基础 题型二 平方差公式与幂的运算综合 基础 题型三 完全平方公式的直接运用与易错辨析 基础 题型四 三项式的完全平方（添括号法） 中等 题型五 公式的连续使用与运算顺序 中等 题型六 完全平方公式的变形与整体代入 中等 题型七 乘法公式在简便计算中的应用 基础 题型八 乘法公式的几何背景（数形结合） 中等 1 学生版第1页/共14页 题型九 与二次根式、含参问题及规律探究 较难 二、公式与常用变形清单 名称 公式（语言与符号） 使用提醒 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 找"同项”与"反项"，结果=同项 2-反项2 完全平方和 (a+bY-=a2+2ab+b2 中间项是2ab,切勿漏写 完全平方差 (a-b2=a2-2ab+b2 差的平方不等于平方的差 添括号法则 a+b-c=a+(b-c): 括号前是负号，括内要变号 a-b+c=a-（b-c) 变形（一） a2+b2=(a+b2-2ab 知二求二的依据 变形（二） (a+b2-(a-b2=4ab 两式相减消去平方项 变形（三） (a+b2+(a-b2=2(a2+b2) 两式相加消去中间项 完全平方式 x2+px+q 为完全平方式时满足 次项系数有正、负两个值，易 4q=p2 漏解 2 三、九大题型精讲精练 题型一平方差公式的结构识别与直接运用 【方法点拨】公式(a+b)(a-b)=a-b2的结构特征是：两个二项式中有一项完全相同、 另一项互为相反数。使用时先圈出"同项"与"反项"，结果等于同项的平方减去反项的平 方：两个因式的位置、前面的负号都可以先调整再判断。 【典例1】计算：（-2x+3y)(3y+2x)。 解：把两个因式都按"同项在前、反项在后"排列，得 (-2x+3y)(3y+2x)=(3y-2x)(3y+2x,其中同项是3y,反项是2x 所以原式=(3y2-(2x2=9y2-4x2。 【跟踪训练1-1】计算：（a+2b)(a-2b)-(a+b)(a-b). 解： 【跟踪训练1-2】计算：（-m-n)(m-n)。 解： 3 学生版第3页/共14页 题型二平方差公式与幂的运算综合运用 【方法点拨】当括号内出现系数或幂时，平方差公式仍按"同项-反项2"处理，只是每一 项平方时要同时用积的乘方与幂的乘方：(ka2=k2a2m。 【典例2】计算：（2a2+3b3)(2a2-3b3)。 解：同项为2a,反项为3b, 原式=(2a2)2-(3b32=4a4-9b。 【跟踪训练2-1】计算：(3a3b2+2ab)(3a3b2-2ab)。 解： 【跟踪训练2-2】计算：（ 解： 题型三完全平方公式的直接运用与易错辨析 【方法点拨】(Q±b?=a±2ab+b,"首平方、尾平方、二倍首尾放中央"。高频错误是 漏掉中间项的2倍积，例如(2x+1)2错写成4x+1,正确结果应为4x2+4x+1:括 号前带负号时可先整体交换位置再套公式。 4 【典例3】计算：(-2x+5y2。 解：原式=(5y-2x2=(5y2-25y2x+(2x2=25y2-20xy+4x2。 也可按完全平方差直接展开：a=-2x,b=5y,得 (-2xP+2(-2x)(5y)+(5y}=4x2-20xy+25y2,两法结果一致。 【跟踪训练3-1】计算：(3a-2b2。 解： 【跟踪训练3-2】计算：(x+号尸。 解： 题型四三项式的完全平方（添括号法） 【方法点拨】完全平方公式对三项式同样可用：把其中两项看成一个整体先添括号，两 次套用公式即可，如(a+b+c?=[(a+b)+c]2=(a+b?+2(a+b)c+c。展开结果共六项： 三个平方项加两两乘积的2倍。 【典例4】计算：（x-2y+12。 学生版第5页/共14页 解：原式=[(x-2y)+1]=(x-2y)2+2x-2y)+1 =(x2-4xy+4y2)+(2x-4y)+1=x2-4xy+4y+2x-4y+1° 【跟踪训练4-1】计算：(2a+b-32。 解 【跟踪训练4-2】已知x+y+z=10,y+yz+zx=35,求x2+y2+z的值。 解： 题型五公式的连续使用与运算顺序 【方法点拨】连乘式可反复套用平方差公式，每用一次结果就"翻倍升次"：遇到形如 (a-b)2+(a+b尸(a+bP-(a-bP的结构，先想变形公式比逐个展开更快。 【典例5】计算：(a+b)(a-b)(a2+b2)(a4+b4)。 解：原式=(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4)】 =(a4-b4)a4+b4)=a3-b8。 【跟踪训练5-1】计算：(x-1)(x+1)(x2+1)(x+1)。 解 6 【跟踪训练5-2】化简：（x+y2-(x-y)2。 解： 题型六完全平方公式的变形与整体代入 【方法点拨】"知二求二"是三量关系a2+b2、(a+b尸、ab(或(a-b)之间的相互转 化，核心依据是a+b2=(a+b尸-2ab与(a-bP=(a+b2-4ab。求值时不要急于解出 ab:把a+b与ab当作整体代入。 【典例6】已知x+y=5,y=6,求x2+y2与(x-y)2的值。 解：x2+y2=(x+y-2xy=52-2×6=25-12=13: (x-y2=(x+y2-4xy=52-4×6=25-24=1° 【跟踪训练6-1】己知a-b=3,ab=2,求a2+b2与（a+b2的值。 解 7 学生版第7页/共14页 【跟踪训练6-2】已知(x+y=9,(x-y=5,求y与x2+y2的值。 解： 题型七乘法公式在简便计算中的应用 【方法点拨】把接近整十、整百的数写成"整数±零头"的形式，凑成平方差或完全平方结 构：相邻三个整数的乘积问题可设中间数为n,用(n-1)(n+1)=n2-1快速判断大小。 【典例7】用乘法公式计算：(1)102×98；(2)20262-2025×2027. 解：(1)原式=(100+2)(100-2)=100-22=10000-4=9996： (2)设2026=n,则2025=n-1,2027=n+1,原式=n2-(n-1(n+1)=n2-(n2-1)=1。 【跟踪训练7-1】用简便方法计算：(1)1.05×0.95；(2)51-50×52。 解： 【跟踪训练7-2】用简便方法计算：199×201+1。 解： 8 题型八乘法公式的几何背景（数形结合） 【方法点拨】用同一块图形的面积"整体算"与"分块算"两种算法相等，即可直观验证乘 法公式：关键是找准拼剪前后的边长，把面积关系翻译成代数恒等式。 【典例8】如图，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再把剩余 部分拼成一个长方形。 b2 a2-b2 a 解：剩余（阴影）部分面积整体算为a-b;拼成的长方形两边长分别为a+b与a-b, 面积为(a+b)(a-b)。由两块面积相等得a2-b=(a+b)(a-b),这就是平方差公式的 几何解释。 当a=8,b=3时，剩余部分面积=82-32=64-9=55。 【跟踪训练8-1】边长为a+b的正方形被分成两个小正方形与两个长方形（边长分别 为a、b),请写出这一图形验证的乘法公式：若a+b=7,ab=12,求两个小正方形面 9 学生版第9页/共14页 积之和。 解： 题型九乘法公式与二次根式、含参问题及规律探究 【方法点拨】字母可以表示数、单项式、多项式，也可以表示二次根式，故平方差公式 对含根式的式子同样适用：判断完全平方式时，一次项系数等于"首尾底数积的2倍"， 正负两种情况都要考虑，容易漏解。 【典例9】①)计算：(3+只2)(3-V2)；2)若x2+mx+9是关于x的完全平方式， 求m的值。 解：（①）原式=(32-(V2}=3-2=1: (2)因为9=（±32，要使其为完全平方式，一次项mx=±2x3=±6x,所以m=±6，即 m=6或m=-6 【跟踪训练9-1】计算：(1)(5+3(5-3)；(2)(V2+12. 解： 【跟踪训练9-2】由(k+12-k2=2k+1,令k依次取0,1,2，…，n-1,将各式相 10 加可得1+3+5+..+(2n-1)=n。请用这一规律计算1+3+5+..+2025。 解： 四、分层作业 说明：A组面向全体同学，要求全部完成：B组面向学有余力的同学，选做；C组为拓 展挑战，鼓励尝试，重在体会整体思想与分类讨论。 A组·基础过关（全体必做) A1计算：（-3x+4y)(3x+4y)。 解： A2计算：(2a-5b2。 解： A3计算：(x+2(x-2。 11 学生版第11页/共14页 解： A4用简便方法计算：992+198+1。 解： A5已知a+b=7,ab=12,求a2+b2的值。 解： A6化简：(m+2n2-(m-2n)2。 解： B组·能力提升（选做） B1先化简，再求值：(2x+yP-(2x+3y2x-3y,其中X=2y=-1。 解： 12 B2已知X-y=4,y=克，求(x+y的值。 解： B3计算：(a+1)(a-1)(a+1)+1。 解： B4一块边长为(3a+2)米的正方形草坪，在四个角各留出边长为(a-1)米的正方形 花坛，其余部分铺草坪。用含a的式子表示草坪面积，并求Q=4时草坪的面积。 解： 13 学生版第13页/共14页 C组·拓展挑战（选做） x2+1的值。 C1已知0且x+3求对 解： C2计算：(5+2)(V5-2)-(V7+V6)(7-6)。 解： C3若多项式x+2(k-3)x+16是关于x的完全平方式，求k的值。 解： 14