精品解析：山东省济南市济南高新技术产业开发区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

济南高新区2025至2026学年度第一学期九年级期中学业水平测试数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分、考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组线段中，属于成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，6 C. 1，3，5，7 D. 2，4，6，8 2. 在反比例函数的图形上的一个点是（    ） A. B. C. D. 3. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 4. 已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 40 D. 80 5. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（ ） A. 4.6cm B. 6.4cm C. 7.2cm D. 7.4cm 7. 反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（   ） A. B. C. D. 10. 如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 匡衡“凿壁借光”借灯光读书的影子属于_________投影．（填“平行”或“中心”） 12. 若反比例函数的图象经过一，三象限，则k的取值范围为________． 13. 河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是________ 14. 2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到_________千米/小时． 15. 如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则______． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. （1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在中，，．求的长． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 20. 如图，已知中，，求的值． 21. 如图，，与交点E，连接，若，，． （1）求的长； （2）求证：． 22. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 23. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表： 时间 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20 水温 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃ （1）在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象． （2）借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30C°为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围． （3）上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标及的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 25. （1）问题引入：如图1，，点D、E分别在边上，． 如图1，将绕点旋转任意角度（且），仅就图2位置． ①求证：； ②在第一问图2中，作直线交于点F，与的数量关系是什么？并说明理由． （2）如图3所示，已知，，，，，求线段的长． （3）如图4，在中，已知，，．以为斜边作等腰（点A、D在直线同侧），连接，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南高新区2025至2026学年度第一学期九年级期中学业水平测试数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分、考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组线段中，属于成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，6 C. 1，3，5，7 D. 2，4，6，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据成比例线段的意义，对四组线段逐一计算，再作判断． 【详解】解：，故A不符合； ，故B符合； ，故C不符合； ，，而，故D不符合， 故选：B． 2. 在反比例函数的图形上的一个点是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是直接代入验证．把各选项点的横纵坐标相乘，看是不是等于，若等于，则说明在函数图象上，否则不在函数图象上． 【详解】解：， ， A、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； B、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； C、因为，所以在函数图形上，此选项正确； D、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； 故选C． 3. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 4. 已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：， ∴的周长的周长， 的周长为20， 的周长为40． 故选：C． 5. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．根据正切的定义先表示出，，再根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，在中，，， 设，，根据勾股定理得： ， 故选：D． 6. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（ ） A. 4.6cm B. 6.4cm C. 7.2cm D. 7.4cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 与之比为黄金比， ， ， ． 故选：D． 7. 反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，． 【详解】解：∵ ， 反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一象限内，随的增大而减小． ， ，， ， 故选B． 8. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据勾股定理，AB=， BC=， AC=， 所以△ABC的三边之比为=， A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意; B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意可知，，，进而利用证明与全等，得到，再证明，，代入计算即可． 【详解】解：连接， 根据题意可知，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则 ∵点H恰好为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴（舍负）， 故选：A． 10. 如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及反比例函数系数的几何意义，求得是解题的关键．先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，故，过点作于点，由反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： 和均为正三角形， ， ， ， ， 过点作于点，则， 点在反比例函数的图象上， ， ， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 匡衡“凿壁借光”借灯光读书的影子属于_________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 【详解】解：匡衡借用的灯光是从一点发出的，光线呈放射状，因此形成的影子属于中心投影． 故答案为：中心． 12. 若反比例函数的图象经过一，三象限，则k的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】考查的是反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意得： ，则 故答案为：． 13. 河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度的定义、锐角三角函数（正切函数）的应用以及直角三角形中角的性质，解题的关键是理解坡度与直角三角形两直角边的比例关系，将坡度转化为正切值求出锐角角度，再利用特殊角的直角三角形性质计算直角边长度． 中，斜坡的坡度，求出，由直角三角形的性质即可得出答案 【详解】解：中，斜坡的坡度， ∴， ∵， 14. 2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到_________千米/小时． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式．设，根据题意求出k，然后代入即可求得答案． 【详解】解：设， 由题可知，当时，， ∴， ∴当时，， 即交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到48千米/小时， 故答案为：48． 15. 如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据旋转的性质得到，，由得，，得到，得出，进而得出，，计算即可得到答案． 【详解】解： 如图，作于点 ， 正方形， ， ， ， 顺时针旋转得到， ，， ， ，， ，， ∴平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用特殊锐角三角函数值，有理数的乘方法则，零指数幂，二次根式及绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 17. （1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 （1）画出三视图，如图所示： （2）由题意，作图如下： 【解析】 【分析】本题考查三视图和中心投影，熟练掌握三视图的画法，中心投影的定义，是解题的关键： （1）根据三视图的画法，画出三视图即可； （2）根据中心投影的定义，画图即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 18. 如图，在中，，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 20. 如图，已知中，，求的值． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先作，设，再根据勾股定理求出，进而得出，及，然后根据勾股定理求出，最后根据正弦的定义得出答案． 【详解】解：过点A作，垂足为D． 在中，， 设， 根据勾股定理，得， ， 解得（负值舍去）， 则，． 在中，. ∴． 21. 如图，，与交点E，连接，若，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）16 （2） 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． （1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）证明，再根据，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】（1）试管口与铁杆的水平距离的长度为 （2）导气管的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 23. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表： 时间 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20 水温 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃ （1）在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象． （2）借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30C°为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围． （3）上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 【答案】（1） 解：如图， （2） （3） 上午之间有85分钟，， 15位于时间段内， 把代入，可得． 所以8：25分时同学们可以喝到不超过50C°的水． 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图象得出函数解析式是解决问题的关键． （1）根据表格描点、连线即可； （2）根据图象可得：在加热过程中，y是x的一次函数，经过点的坐标为，；降温过程中，y是x的反比例函数，经过点；然后利用待定系数法求出两个函数解析式； （3）先求出上午之间有85分钟，是3个周期多15分钟，令，代入函数解析式求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在加热过程中，y是x的一次函数； 设一次函数关系式为：， 将（代入，得 解得． ∴， 降温过程中，y是x的反比例函数；设关系为，将点代入得， ． ∴ 【小问3详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标及的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点D的坐标为， （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【小问1详解】 解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 25. （1）问题引入：如图1，，点D、E分别在边上，． 如图1，将绕点旋转任意角度（且），仅就图2位置． ①求证：； ②在第一问图2中，作直线交于点F，与的数量关系是什么？并说明理由． （2）如图3所示，已知，，，，，求线段的长． （3）如图4，在中，已知，，．以为斜边作等腰（点A、D在直线同侧），连接，求线段的长． 【答案】 （1）①证明：∵图1中， ∴， ∴， 即， ∵将绕点A旋转任意角度α， ∴， ∴． ②，理由如下： 如图2，作直线交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）；（3） 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，主要考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及四点共圆的应用， （1）①由平行线的性质得出，由相似三角形的性质得出，由旋转的性质得出，即可得出； ②由相似三角形的性质得出，再由对顶角相等得出，最后由三角形内角和定理得出； （2）连接，先得出，由勾股定理求出，再证明，最后根据全等三角形的性质求解即可； （3）延长至点F，使得，连接，根据直角三角形得，，，进一步证明，以及点B、点A、点D和点C四点共圆，即可证明，有，可得． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又， ∴， ∴； （3）解：延长至点F，使得，连接，如图4， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 则， ∵， ∴点B、点A、点D和点C四点共圆， 则， ∵， ∴， ∴， 则， 则， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $