小题专题01 8+3+3冲刺高分6阶题组专项训练（一）-2027届高三数学一轮复习
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内容正文：
小题专题01 单选8多选3填空3冲刺高分练
（6阶题组）专项训练（一）
1
8
17
25
35
44
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为集合，，
所以.
2．已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
所以的虚部为．
3．在等差数列中，，，则该数列的前8项和（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
【答案】A
【分析】根据等差数列下标和性质和前项和公式求解.
【详解】因为，所以.
4．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从所过定点和单调性上判断出答案
【详解】函数（且）恒过点，恒过点，
且两函数单调性一致，只有B满足要求
5．已知，，点在直线上，且，则点的坐标为（）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】结合向量的性质得到，再利用向量数乘表示，解方程组得到P的两组坐标即可.
【详解】，因为在直线上，且，所以有两种情况：
同向得到，反向得到，
设，则，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以的坐标为或.
6．已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，，则必有，充分性成立；
若，，则与可能平行，也可能相交、异面，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
7．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】正四棱台体积公式： ，其中为棱台的高，、分别为上下底面积.
上底面边长为2，故； 下底面边长为4，故.
正四棱台的上下底面均为正方形，上下底面对角线长分别为、.
侧棱、高、上下底面对角线一半的差值构成直角三角形：上下底对角线一半的差为，
侧棱长为，由勾股定理得：.
代入体积公式得.
8．已知函数的最大值为2，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】设，x＞0，
则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，
显然当时，没有最大值，
当时，，故．
二、多选题
9．已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为 B．直线恒过定点
C．当时，直线与圆相切 D．当时，直线平分圆
【答案】ABC
【详解】对于A选项，变形为，
故圆的半径为，A正确；
对于B选项，可以看出直线恒过点，B正确；
对于C选项，当时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为，等于半径，
即当时，直线与圆只有个公共点，即直线与圆相切，C正确；
对于D选项，当时，直线的方程为，
由于圆心不在上，故直线不平分圆，D错误.
10．已知函数与的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间单调递增
C．函数图象的一个对称中心为
D．的一个可能取值为
【答案】ACD
【分析】先利用两函数图象关于直线对称求出的解析式，再结合三角函数的图象与性质对各选项逐一分析判断.
【详解】根据两个函数图象关于直线对称的性质：对任意，有.
代入得：
，
即中，.
选项，的最小正周期，正确；
选项，当时，，令，则在该区间先增后减，因此不单调递增，错误；
选项，，符合对称中心的函数值为0的性质，正确；
选项，取时，是符合条件的取值，正确.
11．已知点，分别为双曲线：（）的左，右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．直线，的斜率之积为
C．是直角三角形 D．的取值范围是
【答案】ABC
【分析】对于A：根据双曲线方程求渐近线即可；对于B：设，结合双曲线方程分析证明；对于C：求点的坐标，结合斜率公式证明线线垂直；对于D：求点的坐标，可得，进而分析求解.
【详解】根据题意，如图所示：
对于A，双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，，所以渐近线方程为，故A正确；
对于B，设，满足，，，则，故B正确；
对于C，直线的方程为，令得，所以直线的斜率，
，故，故C正确；
对于D，直线的方程为，令得，
则，
由得，故，即，取值范围为，D错误.
三、填空题
12．已知，则__．
【答案】
【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】由，又由.
故答案为：．
13．一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆与该抛物线的准线相切，则动圆必过定点的坐标为__________．
【答案】
【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而得结果．
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，
依题意圆心到直线的距离即半径等于圆心到焦点的距离，所以在圆上．
即动圆必过定点的坐标为.
14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过4个步骤变成1（简称为4步“雹程”）．已知数列满足：（为正整数），，若，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】已知，采用逆推法，分两类反向求前一项：偶数逆推为后一项的倍，奇数逆推需满足结果是正奇数，依次求出，得到所有可能的值，选出最小值．
【详解】由，，，
得逆运算规则：
若为偶数，则；
若为奇数，则，且必须是正奇数，否则舍去，
若为偶数，则，
若为奇数，则，不是正整数，舍去，
所以，
若为偶数，则，
若为奇数，则，不是正整数，舍去，
所以，
若为偶数，则，
若为奇数，则，
所以或，
当时，
若为偶数，则，
若为奇数，则，不是正整数，舍去，
当时，
若为偶数，则，
若为奇数，则，不是正整数，舍去，
所以或，即可取，
所以的最小值为．
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数有意义，即,则，
又因的值域为,则，故.
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】因为，所以，所以的虚部为．
3．设，，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断.
【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立，
必要性：若成立，但不一定成立，
例如：，成立，但不满足，
所以是的充分不必要条件.
4．的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题先把三项式整体看成二项式，利用二项式通项找到含的项，再对用二项式通项找到含的项，最后将两部分系数相乘，即得的系数．
【详解】先将看成，
根据二项式定理，其展开式的通项为，
含有的项为，
的展开式的通项为，
含有的项为，
所以的项的系数．
5．已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ ）
A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片
【答案】B
【详解】，将代入，
得，
整理得：，
两边取自然对数：，
解得：，
所以，
由，得，
即芯片投入量至少为4万片.
6．已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．16 D．48
【答案】C
【分析】先根据正态分布的性质确定的值，再利用基本不等式求最小值.
【详解】因为，正态曲线关于直线对称，
又，所以，解得.
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：C
7．已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差数列性质、椭圆定义、基本不等式与离心率定义计算即可得.
【详解】由，，成等差数列，则，
由椭圆定义可得，又，
则，即，
又，即，则，
当且仅当时，等号成立，
故椭圆离心率的最大值为.
故选：D.
8．将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数平移变换得的解析式，再根据正弦函数性质列不等式计算求解；
【详解】函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，得，
再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象，所以，
当时，，
要使函数在上有最小值，没有最大值，
则，解得，
所以的取值范围是.
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．一组样本数据通过计算得到线性回归，若，则
B．一组数据9，8，11，12，10的第80百分位数是
C．在列联表中，若每个数据，，，均变为原来 2倍，则不变（ ，其中）
D．已知，则
【答案】ABD
【详解】A选项，，代入，得：，解得：，所以A选项正确；
B选项，将5个数据从小到大顺序排列为：8，9，10，11，12，因为，
所以第80百分位数是第4个数和第5个数的平均数，即：，所以B选项正确；
C选项，若每个数据，，，均变为原来 2倍，
则，所以C选项错误；
D选项，，所以，
所以，所以，所以D选项正确.
10．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．有且仅有2个零点
【答案】BD
【分析】选项A，解不等式即得的定义域；选项B，利用偶函数的定义求解；选项C，利用导数求解；选项D，根据的定义域，当，讨论时的情况即可，设，求出是偶函数，分别按照，，这三种情况讨论求解，用导数的单调性和零点存在性定理即可得到结论.当且时，，利用偶函数的性质得解.
【详解】选项A，，，
故的定义域为，故选项A错误；
选项B，，，
故选项B正确；
选项C，，，
，
故在上是单调递减函数，故选项C错误；
选项D，的定义域为，
当时，，
设，则，
故是偶函数，
当时，设，
，
则在上单调递减，
，
当时，，故存在，使得，
故有1个零点，
当时，，此时无零点，
当时，根据偶函数的性质得到有1个零点，
当时，因为是偶函数，只需考虑且的情况，
当时，，此时无零点，
根据偶函数的性质，当时，无零点，
综上可知，有且仅有2个零点，故选项D正确.
11．在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A．棱上存在一点，使得平面
B．点在线段PQ上，则的最小值是
C．过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为
D．过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
【答案】BCD
【分析】选项A：设，利用直线方向向量和平面法向量关系，建立关于的方程并求解；选项B：利用空间中两点之间距离公式，建立函数求解最值；选项C：确定平行且和平面平行的平面与正方体各棱的交点，确定截面形状，再计算面积；选项D：确定球心到过的平面的最大距离，再根据球的半径，利用勾股定理计算最小半径，进而得到最小面积.
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系：设
，得.
选项A，设，，
设平面的一个法向量，则，
令，可得，即，
若平面，则，即，
超出棱范围，A错误.
选项B，在上，满足，
则：
二次函数对称轴，代入得最小值为，B正确.
选项C,过且平行于平面的平面截正方体得到等腰梯形，四个交点为：
上底长，下底长，梯形高，
面积，C正确.
选项D,正方体外接球球心为，半径.
正方体的外接球球心为，所有过的截面都经过直线，设是球心在直线上的垂足，的长度就是到直线的固定距离.
对任意过的截面，设到的距离为，
由几何关系：，是到截面的垂线段长度，
满足（为与平面法向量的夹角，范围）.
因此（球心到截面的距离）的最大值就是，为中点，，
则，截面最小半径满足，
最小面积，D正确.
三、填空题
12．已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______.
【答案】21
【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式逐项求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得 ，
，
因为数列为等比数列，
所以有，
所以有，即.
又因为
所以，且
所以
13．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______．
【答案】或
【分析】先根据导数得出切线斜率 计算求出参数及切点，再点到直线距离等于半径得出参数.
【详解】设直线与曲线的切点为，
由，则，则，，
即切点为，所以直线为，
又直线与圆都相切，
则有，解得或
14．在平面直角坐标系中，一质点从原点 O出发，沿 x轴每次等可能地向左或向右移动1个单位，移动2次后停留在A点，之后质点沿轴方向移动，每次等可能的向上或向下移动1个单位，移动2次后停留在B点，记随机变量表示点B到直线的距离，则 ______.
【答案】
【分析】根据题意求出点坐标所对应概率，利用点到直线距离求出的值，结合期望公式求解即可.
【详解】设点的横坐标为，则可能取值为：，
，，，
点的纵坐标为，则可能取值为：，
，，，
设点的坐标为，
所以，此时
，此时，
，此时，
，此时
，此时，
，此时，
，此时
，此时，
，此时，
综上，
所以
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
一、单选题
1．已知集合，若，则（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】B
【详解】由于集合，，
则，故
2．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B．4 C． D．16
【答案】D
【详解】对于的展开式，
含的项为，
故该项的系数为16.
3．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得.
【详解】因，
则.
4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】D
【分析】先设正三角形的边长为，根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果.
【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为，
又另外两个顶点在抛物线上，
所以，得，
所以这个正三角形的边长为6.
5．已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】因的平均数为1，方差为2，则，
于是数据的平均数为，
又，则，
于是数据的方差为：
.
6．已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（ ）
A．12 B．13 C．15 D．18
【答案】C
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
16个点的坐标为
若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值，故的最大值为.
经检验可知，当，取其他坐标时，的值均不会超过.
7．如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（ ）
A．16 B．18 C． D．24
【答案】D
【分析】取的中点，连接过点作直线，分别交于点，先证明，推得平面即过点的截面，所求即为多面体的体积，利用棱柱的体积公式计算即得.
【详解】
如图，取的中点，连接过点作直线，分别交于点，连接，
因为正方形的中心，则，因，则易得.
又因为棱的中点，则易得，即四边形为平行四边形，
则得，故，于是，平面即过点的截面，
显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体，记其体积为，
则.
8．已知曲线，则曲线上的点到原点距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】设，则得，设，求导判断其单调性，可得，进而，利用两点之间距离公式与二次函数的性质即可求得答案.
【详解】设，则得，显然，则，
设，则，
当时，，即函数在上单调递增，
又，则，此时，，
设曲线上任一点，则，且，
则，
故当时，取得最小值为.
二、多选题
9．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据选项中的函数，利用三角函数的周期公式和单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】对于A，因函数在上单调递减，故在区间上单调递增，故A错误；
对于B，函数的最小正周期为，且在上单调递减，故B正确；
对于C，函数的最小正周期为，故C错误；
对于D，因函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为，
当时，，函数在上单调递减且函数值为正，
故函数在上单调递减，即D正确.
10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ）
A．第二天去室内健身的概率为
B．第二天去户外运动的概率为
C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
【答案】ACD
【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身，
表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动.
则，，，，
因为，所以，
因为，所以，
对于A，，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D正确.
11．在半径为定值的球的表面上有四个不共面的点，且为球的直径，已知和的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体存在的情况下，使得四面体体积有唯一值的条件可以是（ ）
A．的长
B．的大小
C．与平面所成角的大小
D．二面角的大小
【答案】ABC
【分析】根据题意判断哪些边是唯一值，结合四面体的体积计算公式，判断四面体体积唯一解的决定条件.
【详解】如图，因是球的直径，所以，
又的大小已知，从而为定值，从而也为定值，
由的大小已知，所以为定值（唯一确定），
由（其中为点到平面的距离），要使四面体的体积有唯一值（即为定值）只需点到平面的距离为定值即可.
对于选项A，当的长为已知时，由，那么也为定值，四面体的6条边均可以唯一确定，四面体的体积为唯一值，满足题意.
对于选项B，当的大小已知时，那么为定值（唯一确定），同理，由，也为定值，四面体的6条边均可以唯一确定，四面体的体积为唯一值，满足题意.
对于选项C，当与平面所成角已知时，不妨设为，那么，为定值，四面体的体积为唯一值，满足题意.
对于选项D，二面角为已知时，可以确定点到平面的距离为定值，由于为定值，不能唯一确定点，不能唯一确定，不合题意.
三、填空题
12．已知等差数列的前项和为，若，则______．
【答案】27
【详解】依题意，.
13．如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______．
【答案】
【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上，
又的斜率，则直线的方程为，
设，所以，解得，
所以圆的方程为.
14．如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______．
【答案】2
【分析】切线，与椭圆方程联立，由得，求出直线方程，进而求得坐标，计算，得解.
【详解】方法一：由题意可知直线的斜率存在，设切线，
联立，消去整理得，
，化简得；
因为，且，则直线，
联立，解得，所以，
同理，可得，
，
同理，可得，
又，所以.
方法二：
设切点为,延长交于,
由光学性质可得关于切线对称，
,
同理，
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分别求解一元二次不等式与一元一次不等式得到集合，再根据交集求解即可.
【详解】 不等式，因式分解得，解得，即.
不等式，解得，即.
因此.
2．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】借助特殊值法否定充分性，结合基本不等式推导必要性，进而判定两个条件间的逻辑关系.
【详解】若，取，，满足，，此时，而，
因此，由无法推出，充分性不成立.
若，由，，得，
因此，，即，必要性成立.
综上，“”是“”的必要不充分条件.
3．已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【分析】通过设等轴双曲线的通用方程，代入已知点求出参数，转化为标准方程后计算实轴长.
【详解】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为，
将点代入方程，得，
可得，
因此，双曲线的标准方程为，
可得，即，
因此，实轴长.
4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出、的值，再代入待求式计算即可.
【详解】已知数列是等差数列，数列是等比数列，
则，，
解得，进而，因此.
5．已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，，
当且仅当，即时，等号成立.
由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数单调递减，.
函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是.
6．若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】整理可得，根据对称性可得，，结合正弦函数零点可得，进而运算求解.
【详解】由题意可得：，
因为函数图象的一条对称轴是，
则，，解得，，
又因为，，则，
若函数在上有唯一零点，则，解得，
即，可得，
所以的最小值为.
7．设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（ ）
1
A．当增大时，增大，增大
B．当增大时，增大，先增大后减小
C．当增大时，减小，增大
D．当增大时，减小，先减小后增大
【答案】B
【分析】由分布列性质建立的关系式，推导期望的一次函数单调性，利用方差简化公式推导方差的二次函数，结合二次函数单调性分析方差变化规律.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质得，可得，
结合，得.
，
代入，得，
因此，为关于的一次增函数，当增大时，增大.
，
代入、，得，
展开得，
，
，
是开口向下的二次函数，对称轴为，且，
因此，时单调递增，时单调递减，即增大时，先增大后减小.
8．已知正方体，棱长为6，且，若动点满足，则动点的轨迹被正方体表面所截得的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由动点满足，得到点的轨迹是一个以点为球心，为半径的球，通过建系，确定点的坐标为，通过点到各个面的距离，确定球与各平面的公共部分，进而可求解.
【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是一个以点为球心，为半径的球，球面上的点满足，
如图1，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系；
则，
所以，所以点的坐标为，
显然点到平面､平面､平面的距离均为；
所以球与平面､平面､平面有公共部分，且与各平面的公共部分面积相同，
点到平面､平面､平面的距离均为；
所以球与平面､平面､平面没有公共部分.
设球面被平面所截得的圆半径为，则，解得.
所以球面被正方体表面所截得的截面是圆心为，半径为的圆的一部分（如图2中阴影部分），
所以阴影部分的面积为：，
故所求截面的面积，
故选：B.
二、多选题
9．已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为
B．复数在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由复数z满足，可得，
A，复数的虚部为，正确；
B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确；
C，由复数模的计算公式，可得，错误；
D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误.
故选：AB
10．已知数列中，，，，其前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对已知式变形，可得数列是公差为的等差数列，从而求得，判断A,B；并判断数列的单调性，求得其最大项，判断C；求出，判断D.
【详解】由已知得，，，
所以数列是公差为的等差数列.
所以，所以，所以A错误；
所以，
所以，所以B正确；
令，得，
所以当时，数列递增，且各项均为正数；当时，数列递增，且各项均为负数.
所以数列的第7项最大，即，所以C正确；
，
所以D正确.
11．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，，，，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线的方程为
C．
D．设，，则
【答案】ACD
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，代入得到切点，求出切线方程，进而判断A，结合给定定义求出的切线方程判断B，根据切线方程以及递推关系求得关于的表达式，从而判断C，结合得到，进而将表示为，再利用导数结合给定定义得到的范围，由此判断D.
【详解】对于A，由题意得，，
则，故的切点为，
而，由导数的几何意义得的斜率为，
得到切线的方程为，化简得，
令，解得，故A正确.
对于B，，，
则的方程为，即，故B错误.
对于C， 由题意得在处的切线方程为，
而该方程必过，代入得到，
则，得到，C选项正确.
对于D，，
可得，
由已知得，则单调递增，
而，，得到，
由零点存在性定理得存在作为零点，
初始值，，
令，则，
因为，单调递增，
所以存在，使得，
则为函数的极小值，也是最小值，，
令，则，
所以单调递减，所以，所以，
又，当时，，
故，
则，得到，
所以，故D正确.
三、填空题
12．在的展开式中，的系数为______．（用数字作答）
【答案】
2
【详解】的展开式的通项为.
令，则，
所以的系数为.
13．已知函数，若，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先判断函数为奇函数且为上的增函数，据此可求函数不等式的解.
【详解】因为，故，
而的定义域为，故为上的奇函数.
而均为上的增函数，故为上的增函数.
因，故即，故.
14．已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点，点是的内心，延长交线段于点，若椭圆的离心率为，则的值为__________.
【答案】1
【分析】根据椭圆的基本概念，以及角平分线分线段成比例定理，列出各边长的关系，再根据离心率的定义，求出结果即可.
【详解】
在中，连接，因是的内心，则分别平分和，
由角平分线分线段成比例定理得：，则，
因为，所以，
又因为椭圆的离心率，所以.
故答案为：1.
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据指数函数的单调性，可得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案.
【详解】由，得，则，
由，得，
因为在R上单调递增，所以，则，
所以.
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】先对已知等式变形求解复数z的代数形式，再根据复数虚部的定义确定答案.
【详解】由，可得，即， 故的虚部为.
3．某市连续8天的AQI（空气质量指数）分别为，则这组数据的上四分位数为（ ）
A．32 B．33 C．48 D．49
【答案】D
【分析】上四分位数即第75百分位数，将已知数据按从小到大的顺序排列后，根据百分位数的计算步骤先计算，再计算上四分位数即可.
【详解】将按从小到大的顺序排列为，
因为，6为整数，所以上四分位数即从小到大排列中的第6与第7个数据的平均数，即.
4．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】已知圆台上底半径，下底半径，半径之差，
已知母线与底面夹角的余弦值为，
设母线长为，则，解得，
设圆台的高为，由勾股定理可得，
圆台的体积为．
5．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．60．
【答案】C
【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个，结合排列数与组合数的计算，即可求解.
【详解】根据题意，可分为两类：
①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有种方法；
②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有种方法，
由分类计数原理得，共有种不同的差法.
故选：C.
6．已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据已知条件推导出数列的通项公式，进而可知的表达式，然后求出的通项公式，利用裂项相消法求得结果.
【详解】将代入得，即，解得，
当时，将代入得，
去分母得，所以，
所以，所以，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以，
所以.
7．函数所有零点的和等于（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
【答案】C
【分析】将问题转化为与半圆的交点，结合图象求得和.
【详解】由解得，所以的定义域是.
由两边平方并化简得，
即，所以表示以为圆心，半径为的半圆.
由得，
的零点，也即与半圆的交点的横坐标，
与半圆的图象都关于直线对称，
画出与半圆的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称，
所以的零点和为.
故选：C
8．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】设，根据条件，可得圆C的圆心坐标和半径r，进而可得面积S的表达式，分析可得只需求的最大值即可，求出的表达式，利用导数求出其单调性与最大值，分析求解，即可得答案.
【详解】由题意得，所以，
设，则圆心，半径，
又点P在椭圆E上，所以，即，
则，
又面积，
要使面积最大，只需最大，
因为点M在圆C上，且圆心C的纵坐标为，
所以的最大值为，
令，
则，令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以最大值为，即的最大值为2，
所以面积的最大值为.
二、多选题
9．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】AD
【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论.
【详解】把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数的图象，A正确；
把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，B错误；
把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数的图象，C错误；
把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，D正确；
故选：AD.
10．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】本题结合摸球场景考查古典概型、条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用，需分别计算各选项对应概率判断正误
【详解】对于A项，甲箱共有个球，其中3个为红球，因此从甲箱取到红球的概率，故A正确，
对于B项，若发生，乙箱新增1个红球，变为3红2白共5个球，此时取2个红球的概率；
若发生，乙箱新增1个白球，变为2红3白共5个球，此时取2个红球的概率，
由全概率公式得，故B正确；
对于C项，由上述计算可知，故C错误；
对于D项，由贝叶斯公式得，故D错误.
11．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ）
A．若直线的斜率存在，则的取值范围为
B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6
C．当时，的面积为12
D．当时，
【答案】ABD
【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由经过点到达点所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到，得到，设，列出方程，求得，进而可判定C错误；在直角中，结合，可判定D正确．
【详解】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和，
对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确；
对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为
，所以B正确；
对于C中，由，得，即，所以，
设，则，
因为，所以，整理得，
解得或（舍去），所以，，
所以的面积，所以C错误；
对于D项，在直角中，，
所以，所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题
12．设，则______.
【答案】
【分析】由并写出展开式通项公式，结合已知求对应项的系数即可.
【详解】由，则展开式通项为且，
当，则，故.
故答案为：
13．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为________．
【答案】
【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解.
【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”，
按到位置需要1步，3步分类讨论．
记向左，向右，向上，向下，
①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D），
LR（U或D或R），所以；
②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL
所以；所以，
满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）．
所以，所以．
故答案为:．
14．实数，满足，则的最小值是______．
【答案】
【分析】化简得到，由，由，求得，得到，转化为图象上的点到直线上一点的距离，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由，
因为，可得，
所以，
又由，可得，所以在上单调递增，
又因为，则，
则，
表示函数图象上的点到直线上一点的距离，
则其最小值为图象与直线平行的切线到直线的距离，
设切点为，其中，由，可得，
令，解得，可得，即切点为，
可得切点为到直线距离为，
即的最小值是.
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
一、单选题
1．若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义确定的对应点的坐标，再求两点距离.
【详解】由已知，在复平面内对应的点分别为，，
所以
所以．
2．已知两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意可得．
3．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】集合，，
当时，，满足，因此，
当时，由，得，解得，
所以的取值范围是.
4．某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格：
直径/mm
46
47
48
49
50
51
52
53
54
频数
5
8
12
15
20
18
12
6
4
由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定共有个数小于等于，再结合百分位数定义求结论.
【详解】因为被抽检的零件中，直径小于或等于的零件共有个，
且，
所以这个零件的直径的第百分位数为．
5．若直线，的倾斜角分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，直线的斜率，
所以直线的斜率.
6．已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图象，条件 恰有个零点可转化为直线与的图象恰有2个交点，结合图象求结论.
【详解】当时，，则，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数的取值范围为．
作出的大致图象，如图所示．
由，得，
由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点，
即恰有2个零点．
所以的取值范围是.
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论；
方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】（方法一）由，可得，
因为，，所以，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为13．
（方法二）由，可得，因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为13．
8．若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用余弦定理建立方程并求得双曲线，进而求出离心率.
【详解】在中，，，
由余弦定理得，则，
整理得，由点在双曲线上，得双曲线的方程为，
所以双曲线的离心率.
二、多选题
9．若曲线关于点对称，则的解析式可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】依题意，，
由正弦函数、余弦函数的性质得的图象都关于点对称；
而，因此的图象关于点不对称.
10．若正方体外接球的球心为，且，分别为棱，的中点，则（ ）
A． B．二面角的正切值为
C．平面 D．为四面体外接球的球心
【答案】BC
【详解】设正方体棱长为，以为原点建立空间直角坐标系.
各点坐标为，，,，
，，，,，
可得，
,，A错误.
,.
设平面的一个法向量为，则,
令，则，同理可得平面的一个法向量.
设二面角对应的平面角为，
则，所以，则.
由题可知为钝角，所以，B正确.
由题意得，，
而平面，平面,平面，C正确.
由题意得，
因为，
所以到四面体各顶点距离不全相等，不是四面体外接球球心，D错误.
11．若函数的定义域为，，且，，，则（ ）
A． B．，
C．为奇函数 D．当时，
【答案】ACD
【分析】对于A，由条件恒等式取可求即可判断，对于B，由条件恒等式取可得，再取即可判断，对于C，由条件恒等式取可得，由此证明，结合奇函数定义即可判断，对于D，结合选项C推出，由此判断D.
【详解】对于A，令，得，A正确．
对于B，令，，得，因为，
所以，令，得，
即存在使得，B错误．
对于C，令，得，用替换可得，
所以，
当时，，又因为，
所以为奇函数，设，
则，
所以为奇函数，C正确．
对于D，因为，
由选项C知，同理，又为奇函数，
所以，
用替换，替换可得，
同理可得，
故当时，，D正确．
三、填空题
12．若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】由条件结合椭圆方程的特征列不等式求的范围即可.
【详解】由椭圆方程的特征可知，
所以方程，可化为，
因为的焦点在轴上，所以，
所以，
故的取值范围是.
13．甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______．
【答案】125
【分析】先求出甲、乙各自从指定的个景点中选2个游玩的选法种数，再求出各自从除广州塔外的个景点中选2个游玩的选法种数，相减可得结论.
【详解】甲、乙两名游客各自从指定的个景点中选2个游玩的选法种数为，
甲、乙两名游客各自从除广州塔外的个景点中选2个游玩的选法种数为，
所以甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为．
14．正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为______．
【答案】/
【分析】先证明，再确定所求几何体可通过三棱台截去三棱锥得到，结合台体和锥体体积公式求结论.
【详解】如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接，
延长与的延长线交于点，连接，交于点，连接，．
因为，，，
所以，所以．，
同理可得．
三棱柱和三棱锥的公共部分为几何体，
其体积为三棱台的体积和三棱锥的体积之差，
即．
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小题专题01 单选8多选3填空3冲刺高分练
（6阶题组）专项训练（一）
1
3
5
8
10
12
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．在等差数列中，，，则该数列的前8项和（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
4．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，点在直线上，且，则点的坐标为（）
A． B． C． D．或
6．已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的最大值为2，则（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为 B．直线恒过定点
C．当时，直线与圆相切 D．当时，直线平分圆
10．已知函数与的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间单调递增
C．函数图象的一个对称中心为
D．的一个可能取值为
11．已知点，分别为双曲线：（）的左，右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．直线，的斜率之积为
C．是直角三角形 D．的取值范围是
三、填空题
12．已知，则__．
13．一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆与该抛物线的准线相切，则动圆必过定点的坐标为__________．
14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过4个步骤变成1（简称为4步“雹程”）．已知数列满足：（为正整数），，若，则的最小值为__________．
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
3．设，，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ ）
A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片
6．已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．16 D．48
7．已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．一组样本数据通过计算得到线性回归，若，则
B．一组数据9，8，11，12，10的第80百分位数是
C．在列联表中，若每个数据，，，均变为原来 2倍，则不变（ ，其中）
D．已知，则
10．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．有且仅有2个零点
11．在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A．棱上存在一点，使得平面
B．点在线段PQ上，则的最小值是
C．过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为
D．过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
三、填空题
12．已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______.
13．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______．
14．在平面直角坐标系中，一质点从原点 O出发，沿 x轴每次等可能地向左或向右移动1个单位，移动2次后停留在A点，之后质点沿轴方向移动，每次等可能的向上或向下移动1个单位，移动2次后停留在B点，记随机变量表示点B到直线的距离，则 ______.
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
一、单选题
1．已知集合，若，则（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
2．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B．4 C． D．16
3．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．6
5．已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（ ）
A．12 B．13 C．15 D．18
7．如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（ ）
A．16 B．18 C． D．24
8．已知曲线，则曲线上的点到原点距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（ ）
A． B． C． D．
10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ）
A．第二天去室内健身的概率为
B．第二天去户外运动的概率为
C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
11．在半径为定值的球的表面上有四个不共面的点，且为球的直径，已知和的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体存在的情况下，使得四面体体积有唯一值的条件可以是（ ）
A．的长
B．的大小
C．与平面所成角的大小
D．二面角的大小
三、填空题
12．已知等差数列的前项和为，若，则______．
13．如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______．
14．如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______．
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
7．设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（ ）
1
A．当增大时，增大，增大
B．当增大时，增大，先增大后减小
C．当增大时，减小，增大
D．当增大时，减小，先减小后增大
8．已知正方体，棱长为6，且，若动点满足，则动点的轨迹被正方体表面所截得的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为
B．复数在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
10．已知数列中，，，，其前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
11．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，，，，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线的方程为
C．
D．设，，则
三、填空题
12．在的展开式中，的系数为______．（用数字作答）
13．已知函数，若，则实数的取值范围是________．
14．已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点，点是的内心，延长交线段于点，若椭圆的离心率为，则的值为__________.
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
3．某市连续8天的AQI（空气质量指数）分别为，则这组数据的上四分位数为（ ）
A．32 B．33 C．48 D．49
4．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．60．
6．已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数所有零点的和等于（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
8．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
二、多选题
9．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A． B．
C． D．
11．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ）
A．若直线的斜率存在，则的取值范围为
B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6
C．当时，的面积为12
D．当时，
三、填空题
12．设，则______.
13．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为________．
14．实数，满足，则的最小值是______．
（建议用时：40-45分钟，满分：73分）
一、单选题
1．若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．5
2．已知两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格：
直径/mm
46
47
48
49
50
51
52
53
54
频数
5
8
12
15
20
18
12
6
4
由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（ ）
A． B． C． D．
5．若直线，的倾斜角分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
作出的大致图象，如图所示．
由，得，
由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点，
即恰有2个零点．
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．若曲线关于点对称，则的解析式可以为（ ）
A． B． C． D．
10．若正方体外接球的球心为，且，分别为棱，的中点，则（ ）
A． B．二面角的正切值为
C．平面 D．为四面体外接球的球心
11．若函数的定义域为，，且，，，则（ ）
A． B．，
C．为奇函数 D．当时，
三、填空题
12．若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______．
13．甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______．
14．正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为______．
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