专题01 知识点6：基本不等式及其应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“公式-前提-方法-题型”为逻辑链，系统构建基本不等式求最值方法体系，强化数学思维与解题规范。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心公式与前提|理论+应用|明确“一正二定三相等”准则|从算术/几何平均数概念出发，推导不等式成立条件| |求最值方法|5类方法+模型|直接法、配凑法、“1”的代换等|通过方法分类构建问题转化路径，强调构造定值技巧| |高考题型|8单选+3多选+3填空+5解答|覆盖直接求最值到综合交汇题|按难度梯度设计，匹配高考高频考点，突出易错点警示|

知识点6：基本不等式及其应用 一、基本不等式核心公式 对于任意正数 ，基本不等式核心公式为： 其中， 称为 的算术平均数， 称为 的几何平均数。该不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 等号成立条件：当且仅当 时取等号。 二、三大使用前提——“一正、二定、三相等” 这是应用基本不等式求最值的核心准则： 1. 一正：参与运算的所有变量均为正数； 1. 二定：变量的和或积为定值（构造最值的关键）； 1. 三相等：必须验证等号能够取到，取不到则不能用基本不等式，需改用函数单调性求解。 三、最值定理 已知 ： 条件 结论 简记 积 为定值 当 时，和 有最小值 积定和最小 和 为定值 当 时，积 有最大值 和定积最大 四、常用不等式链（重要） 对于正数 ，恒有： 依次为：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数，所有等号均在 时成立。 五、几个重要不等式 1. （） 1. （ 同号） 1. （） 1. （） 以上不等式等号成立的条件均为 。 六、求最值的常用方法 1. 直接法 条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式求最值。 2. 配凑法 通过添项、拆项、变系数等方法，凑成和或积为定值的形式。 常见模型： · （），当且仅当 时取等号 · 型，配凑成 3. 常数代换法（“1”的代换） 主要解决形如“已知 （ 为常数），求 的最值”的问题，先将 转化为 ，再用基本不等式求最值。 4. 消元法 当所求最值的代数式中变量较多时，利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，再利用基本不等式求最值。 5. 构造不等式法 在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解。 七、高考高频考点与题型 根据近年高考考情分析，基本不等式是高考必考内容，题型稳定，分值在 5 分左右： 题型 核心方法 难度 直接法求最值 直接套用公式 基础 配凑法求最值 配凑定值 中档 “1”的代换求最值 乘1展开 中档 消元法求最值 变量消元 中档偏难 齐次化求最值 构造齐次式 中档偏难 多次使用基本不等式求最值 注意等号条件一致性 较难 恒成立问题 参数分离 较难 实际应用问题 建模 + 不等式 中档 与其他知识交汇 结合函数、几何、导数等 综合 八、易错提醒 1. 忽视一正条件：当变量为负数时，需提取负号转化为正数后再使用基本不等式。 1. 二定不满足：条件未直接给出和或积为定值时，需通过变形构造定值。 1. 三相等不验证：等号取不到时，不能使用基本不等式，需改用函数单调性求最值。 1. 多次使用不等式时条件不一致：多次使用基本不等式时，每次等号成立的条件必须保持一致，否则会导致错误。 实战演练 一、单选题 1.已知 ，则（ ） A. B. C. D. 2.设 表示 与 的最大值，若 都是正数，，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3.已知正数 满足 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 4.若 且 ，则 的最小值为（ ） A. B. 24 C. 25 D. 5.已知 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6.已知 ，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 7.（）的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 8.若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（ ） A. B. 8 C. 16 D. 二、多选题 9.设 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10.已知正实数 满足 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 11.已知正实数 满足 ，下列结论正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值4 C. 有最小值2 D. 有最小值2 三、填空题 12.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明。现有图形如图所示， 为线段 上的点，且 ，， 为 的中点，以 为直径作半圆，过点 作 的垂线交半圆于 ，连接 、、，过点 作 的垂线，垂足为 。若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为______。（填写序号） ① ② ③ ④ 13.设 ，则 的最小值为______。 14.设 为正实数，满足 ，则 的最小值是______。 四、解答题 15.设 均为正数，且 ，求证： 16.已知 且 为正数，求证：. 17.(1) 当 时，求函数 的最小值； (2) 已知正数 满足 。 (i) 求 的最大值； (ii) 求 的最小值。 18.若 是正实数，，求 的最大值。 19.(1) 已知 ，求 的最大值及 的值； (2) 已知正实数 满足 ，求 的最小值及取最值时 的值。 参考答案 一、单选题 1. 答案：C 解析：基本不等式，当 时，，当 时严格小于。A错误，应为 ；B明显错误；D无依据。 2. 答案：C 解析：设 ，则 两式相加：。 由均值：，，故 。 验证等号：；。 此时 ，，。 3. 答案：C 解析：，。 等号：，最大值 。 4. 答案：B 解析：，先化简分式 对 ，，取等。 原式 ，令 。 整体 ，最小值24。 5. 答案：D 解析：，令 。 原式 ，最小值7。 6. 答案：D 解析：，，。 A：，错；B：无此不等式；C最小值大于3，错；D正确。 7. 答案：C 解析：。 等号 ，最小值4。 8. 答案：C 解析：设直角边 ，。 最小值16。 二、多选题 9. 答案：AC 解析： A：，对任意实数恒成立，正确； B： 时 ，错误； C：，恒成立，正确； D：， 取等，不能严格大于2，错误。 10. 答案：ABD 解析：，。 A：，最大值 ，正确； B：，，对称轴 ，最小值 ，正确； C：，最大值 ，错误； D：，正确。 11. 答案：AC 解析：，。 A：，，顶点 ，，正确； B：，是最小值不是最大值，错误； C：， 时取最小值2，正确； D：，最小值4，错误。 三、填空题 12. 答案：①③ 解析：由题意可知 ，， 由 可知 ，即 ， 所以 ； 在 中，，即 （）， 当 时， 点重合，，此时 （），所以①正确； 在 中，由 可得 ，即 ， 所以 ， 由于 ，所以 ， 当 时，，此时 ，所以③正确； 由于 在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明。 13. 答案：9 解析： 原式 ，最小值6。 14. 答案：3 解析：。 两边平方：，最小值3。 四、解答题 15. 证明： 已知 ，且 。 由基本不等式：，，。 三式相加： 即 ，得证。 16. 证明： 。 ，，由均值： 等号成立条件 ，题设 ，故不取等， 17.解： (1) 。 最小值14，当 ，即 时取等。 (2) 正数 ，。 (i) 。 ，当 时取等。 (ii) 最小值4，当 ，即 时取等。 18.解： ，，令 。 由 。 令 ，，开口向下，对称轴 。 最大值 。 19.解： (1) ，，二次函数开口向下，对称轴 。 当 时，最大值 。 (2) 已知 ，。 变形：。 令 ，，。 故 。 等号当 时成立，即 ， 最小值为6。 学科网（北京）股份有限公司 $