专题8.1 直线的方程（6题型+高分技法+高考真题）专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统整合直线方程六大核心题型，通过口诀化方法提炼与分层典例设计，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倾斜角与斜率|7题|定义辨析+斜率公式+分类讨论（斜率存在性）|从倾斜角定义到斜率公式推导，建立角与数的对应关系| |直线的方程|8题|特征值（斜率/截距）分析+方程形式选择|方程形式与几何特征的转化，体现模型意识| |位置关系|6题|斜率关系+系数行列式判定|平行/垂直的代数表达，培养逻辑推理| |距离问题|7题|距离公式+转化思想（点线距→平行线距）|从两点距到点线距的拓展，构建距离计算体系| |对称问题|8题|中点坐标+垂直关系+特殊对称结论|点线对称的代数化，强化数学表达能力| |综合应用|4题|几何意义转化+动态问题分析|直线与圆/圆锥曲线结合，提升应用意识|

专题8-1 直线的方程 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 3．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 重难题型1 直线的倾斜角与斜率 正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识． 1．（2026·陕西榆林·三模）已知为双曲线：的左焦点，直线过点与的右支有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据双曲线的性质，得到渐近线方程，据此可得直线的斜率的取值范围为，再得到直线的倾斜角的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，双曲线的渐近线方程为， 又直线过点与的右支有公共点， 则直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为. 2．（2026·河南开封·模拟预测）过点的直线与曲线（）有两个交点，则直线斜率的最大值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、由直线与圆的位置关系求参数 【详解】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点， 则应位于直线和切线之间，所以， 所以斜率的最大值为 3．（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】已知两点求斜率、求直线的方向向量（平面中） 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 4．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、直线过定点问题、已知两点求斜率、已知直线垂直求参数 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 5．（2026·广东佛山·一模）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、直线的倾斜角、抛物线定义的理解 【详解】由得. 设，则，得， 又且点A在第一象限，因此，即. 设直线的倾斜角为，, ，得. 6．（2026·江西·模拟预测）直线的倾斜角为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 而，所以. 故答案为： 7．（2025·浙江温州·一模）已知直线：，则在y轴上的截距为_____________；若直线，则的倾斜角为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的倾斜角 【分析】令，可求得在y轴上的截距；利用直线互相垂直可求得的斜率，可求得的倾斜角. 【详解】直线：，令，得，所以在y轴上的截距为； 由直线：，得直线的斜率， 因为，所以的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，所以， 所以的倾斜角为. 故答案为：①；②. 重难点题型2 直线的方程 要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式． 1．（2026·湖南张家界·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、直线的一般式方程及辨析 【分析】先求出抛物线方程，进而得出焦点坐标和准线方程，即可得出，再计算直线的一般式方程． 【详解】把点坐标代入的方程可得， 所以，故点， 则直线的斜率为， 于是，转化为一般方程为． 2．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程 【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得. 【详解】由，解得，则所求方程的直线过点， 设所求直线方程为，于是，解得， 所以所求直线方程为. 故选：D 3．（24-25高二上·江苏镇江·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 4．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 5．（2026·河北沧州·模拟预测）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】根据直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】因为直线的斜率为，直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 故答案为： 6．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、已知直线垂直求参数 【分析】根据斜率公式，先求出直线AC的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，可得边上的高的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意直线AC的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为： 7．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为______________． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或 8．（2024·山东济南·模拟预测）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为______________． 【答案】x＋3y－3＝0 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【详解】 解析：（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－，从而所求直线方程为x＋3y－3＝0. （解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为x＋3y－3＝0. 重难点题型3 两直线的位置关系 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则： 当时，直线相交； 当时，直线平行或重合，代回检验； 当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆． 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】已知直线平行求参数 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 2．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】充分条件、必要条件、已知直线平行求参数 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】既不充分也不必要条件、已知直线垂直求参数 【分析】由，计算得或，即可判断. 【详解】因为， 所以， 解得或， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 4．已知，，直线：，：，且，则下列选项中错误的一项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、已知直线垂直求参数、条件等式求最值 【分析】先根据直线垂直得出，再结合基本不等式分别判断ABD选项，应用赋值法判断C选项即可. 【详解】， ，，，A选项正确； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项正确. 故选：C. 5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则__________. 【答案】或4 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两条直线平行列式求解. 【详解】由直线与直线平行， 若，则直线的方程为，的方程可化为，两直线不平行， 故，所以，解得或. 故答案为：或4 6．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为_____. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、已知直线垂直求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，确定切线斜率，再结合垂直关系即可求解. 【详解】由，得， 所以在处的切线斜率为：， 由垂直关系可得：， 所以， 故答案为： 重难点题型4 距离问题 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 1．（2026·河北·三模）已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用垂径定理计算出弦长，其中为圆心到直线的距离，再计算出,再利用点到直线的距离公式计算出. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 直线l的一般式方程为. 由弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 则，得，即， 又， 解得. 2．（2026·河南周口·模拟预测）已知点到点的距离为，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】轨迹问题——直线、轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. 3．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、求平行线间的距离、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】首先根据导数的几何意义求切线的方程，再代入平行线的距离，即可求解. 【详解】设直线与曲线切于点，直线的斜率为4， 由导数的几何意义可知，，得，则， 所以直线，即， 所以直线与之间的距离为. 故选:A 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 5．已知直线，，且，则这两条直线之间的距离为___________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行的等价条件求出的值，再由两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】因为直线，，且， 则，解得：， 所以，即， 所以这两条直线之间的距离为， 故答案为：. 6．过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、已知直线垂直求参数 【分析】当过直线斜率不存在时，不是圆的切线，不合题意；假设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得切线斜率；根据直线垂直关系可求得结果. 【详解】当过直线斜率不存在时，方程为，与圆不相切，不合题意 设过切线方程为：，即 圆心到直线距离，解得：或 即切线方程为：或 当切线为时，与直线不垂直，不合题意 当切线为时，与直线垂直，则，解得： 综上所述： 故答案为： 【点睛】本题考查过圆外一点圆的切线方程的求解、两条直线垂直的位置关系；易错点是忽略对于过圆外一点的直线斜率是否存在的讨论；关键是能够明确直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径. 7．（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心、半径，结合，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可. 【详解】可化为， 则圆心，半径为，且，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理得，，即，整理得， 解得，此时满足条件， 实数的值为. 重难点题型5 对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 1．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 2．（2023·广东广州·二模）已知椭圆：，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据方向向量以及反射光线的性质可得，再由勾股定理可得，可得离心率. 【详解】设过点且方向向量为的光线，交直线的点为，右焦点为， 如下图所示： 因为方向向量的直线斜率为，则，直线AB的斜率为， 又由反射光线的性质可得的斜率为1，故， 所以为等腰直角三角形，且到的距离为， 又，故， 所以，则， 故，离心率. 故选：A 3．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程. 【详解】由圆的方程得：圆心为， 反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点； 关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点， 反射光线所在直线方程为，即. 故选：A. 4．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 5．（24-25高三下·广东·开学考试）已知抛物线，点，直线，记关于的对称点为，且在上，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】先应用点关于直线对称得出对称点，再把点代入抛物线求出，进而得出准线方程. 【详解】设，因为的斜率为，所以直线的斜率为， 故直线的方程为4， 将直线的方程与联立，设两直线的交点为，则， 所以，解得，将的坐标代入的方程， 有，解得，故的准线方程为. 故选:B. 6．（25-26高二上·广东·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与椭圆在第四象限交于点．若，则的离心率为___________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】借助光的反射定律确定入射点的坐标，由斜率求出，再结合椭圆定义及余弦定理求出离心率. 【详解】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点， 则点，直线的斜率为，即， 于是，由，得， 在中，由余弦定理得， 整理为0，即，而，解得， 所以椭圆的离心率为． 故答案为： 7．从点射出两条光线的方程分别为：和，经轴反射后都与圆相切，则__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据光学性质求出反射光线所在直线方程，再根据直线与圆相切列式，解方程组可得结果. 【详解】依题意知关于轴的对称点在反射光线所在直线上. 因为入射光线经轴反射，所以反射光线所在直线的斜率与入射光线所在直线的斜率互为相反数， 因为的斜率为，所以与其对应的反射光线所在直线的斜率为， 所以与其对应的反射光线所在直线方程为，即. 因为的斜率为，所以与其对应的反射光线所在直线的斜率为， 所以与其对应的反射光线所在直线方程为，即. 依题意有,且圆在轴上方，所以，且， 若，即，则，得或，均不符合题意； 若，即，则，得或（舍去），则. 则. 故答案为：. 8．（2025·宁夏吴忠·一模）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上.若点和关于经过坐标原点的直线的对称点都在抛物线上，则抛物线的方程为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】分别设直线和抛物线方程为和，再利用求点关于直线的对称点的方法，求对称点，再代入抛物线方程，求直线和抛物线方程. 【详解】如图所示，由题意设抛物线C的方程为，且x轴和y轴不是所求直线，又过原点，因而可设的方程为 ，设分别是关于的对称点. 关于对称于， 则， 同理可得， 又在抛物线C上， 所以，由此知，即， ，由此得， 从而，整理得， 解得， 当时，, 这与在抛物线上矛盾，故舍去， 当时，, 故抛物线方程为. 故答案为：. 重难点题型6 直线方程的综合应用 1．（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点在动直线上的射影为点，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围） 【详解】动直线过定点，所以点在以为直径的圆上. 又，所以圆心为，半径为.从而为5，则的最大值为. 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆、求点到直线的距离 【分析】先根据圆周角定理确定点的轨迹，再将“直线上存在满足条件的点”转化为直线与轨迹有公共点，结合点到直线的距离公式求解参数范围. 【详解】∵ 点，，， ∴ 由圆周角定理可知，点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段圆弧，对应弧的圆心角为. 设轨迹圆的半径为，由弦长公式，代入，得，解得. 两段圆弧的圆心均在的垂直平分线上，由勾股定理可得坐标分别为和，对应圆的方程为、.    直线上存在点满足条件，等价于直线与上述两个轨迹圆中符合的圆弧有公共点. 计算圆心到直线的距离： 对圆，圆心到直线的距离. 令，得，结合解得. 对圆，圆心到直线的距离. 令，结合，解得. 综上，当时，直线上存在满足条件的点，即正实数的取值范围为. 【点睛】方法归纳：解决定角动点轨迹问题，常借助圆周角定理确定动点的轨迹为圆弧，再将直线上存在满足条件的点转化为直线与圆弧有公共点，结合点到直线的距离公式或直线与圆的交点条件求解参数范围. 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【难度】0.5 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 4．（2026·陕西西安·一模）直线： 与直线：交于点，则的取值范围为_________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】通过直线过定点，且垂直确定的轨迹为圆，再由的几何意义即可求解. 【详解】对于直线：，令，得， 即直线过定点， 对于直线：，化简得， 由，得，即直线过定点， 当时，，，两直线垂直， 当时，，两直线垂直， 所以点的轨迹为以为直径的圆，除去点， 中点坐标为，， 所以以为直径的圆方程为：， 即点的轨迹方程为： ，   的几何意义为两点连线的斜率， 由图可知：直线与圆相切， 过作圆的切线，设斜率为，直线方程为， 即，由圆心到直线的距离等于半径可得：， 解得：， 由图形可知：的取值范围是， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8-1 直线的方程 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 重难题型1 直线的倾斜角与斜率 正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识． 1．（2026·陕西榆林·三模）已知为双曲线：的左焦点，直线过点与的右支有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南开封·模拟预测）过点的直线与曲线（）有两个交点，则直线斜率的最大值为（   ） A． B．2 C． D．4 3．（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东佛山·一模）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江西·模拟预测）直线的倾斜角为________． 7．（2025·浙江温州·一模）已知直线：，则在y轴上的截距为_____________；若直线，则的倾斜角为__________. 重难点题型2 直线的方程 要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式． 1．（2026·湖南张家界·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏镇江·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 5．（2026·河北沧州·模拟预测）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是__________． 6．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为___________． 7．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为______________． 8．（2024·山东济南·模拟预测）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为______________． 重难点题型3 两直线的位置关系 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则： 当时，直线相交； 当时，直线平行或重合，代回检验； 当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆． 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 2．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，直线：，：，且，则下列选项中错误的一项是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则__________. 6．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为_____. 重难点题型4 距离问题 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 1．（2026·河北·三模）已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·模拟预测）已知点到点的距离为，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C．5 D．10 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线，，且，则这两条直线之间的距离为___________. 6．过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为___________. 7．（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 重难点题型5 对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 1．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东广州·二模）已知椭圆：，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25高三下·广东·开学考试）已知抛物线，点，直线，记关于的对称点为，且在上，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与椭圆在第四象限交于点．若，则的离心率为___________． 7．从点射出两条光线的方程分别为：和，经轴反射后都与圆相切，则__________． 8．（2025·宁夏吴忠·一模）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上.若点和关于经过坐标原点的直线的对称点都在抛物线上，则抛物线的方程为__________. 重难点题型6 直线方程的综合应用 1．（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点在动直线上的射影为点，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 4．（2026·陕西西安·一模）直线： 与直线：交于点，则的取值范围为_________. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $