精品解析：北京市海淀区2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题：第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，下列各点中不在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程的过程中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得的图象经过点（ ） A. B. C. D. 6. 学校创客社团的同学用3D打印机制作了一款底面为正方形的杯垫．为了提升实用性，现将杯垫底面各边的长度均增加，结果底面面积增加了，设原杯垫的底面边长为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某同学在平面直角坐标系中绘制二次函数的图象时，列出与的部分对应值如下： … … … … 根据表中数据，下列判断正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象与轴没有交点 D. 函数的最大值为 8. 对于平面内一点与线段，过点作的垂线，若垂足在线段上，则称点是线段的可投点．在平面直角坐标系中，记函数的图象为．给出下面四个结论： ①在图象上能找到点，，使得点是线段的可投点，且是钝角三角形； ②，为图象上的两点，以，为邻边作平行四边形．若点是线段的可投点，则点也是线段的可投点； ③对于图象上的任意点，都能在上找到点，使得点是线段的可投点； ④已知直线与图象交于，两点，则对任意负实数，都有实数，使得点是线段的可投点． 上面结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 已知2是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 10. 写出一个关于的一元二次方程，使得该方程的一个根为0，另一个根不为0，该方程可以是__________． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 13. 如图，在中，，，，点是的中点，则四边形的周长为__________． 14. 一块三角形铁皮材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点，，分别在边，，上．当剪出的矩形的面积最大时，的长为__________． 15. 已知点在反比例函数的图象上，则代数式的最小值为__________． 16. 某共享单车（下文简称“单车”）系统的调度中心位于点处，该调度中心在，，，四个停放点进行网络优化试点，调度中心、各停放点之间的道路连通情况及实际距离（单位：千米）如图（示意图）所示．初始时刻，，，四个停放点的单车数量分别为20辆，10辆，8辆，4辆．运维部门设定每个停放点停放单车的“理想容量”均为16辆，为了评估停放点的供需健康度，定义总偏差指数，其中，，，分别为，，，停放点的实际单车数量． （1）若调度中心处有4辆全新单车，计划直接投放至这四个停放点中（不可移出原有单车），则投放后总偏差指数的最小值为__________； （2）若调度中心处有10辆全新单车，运维部门要求将所有单车在图示道路网络中进行调配（允许移出原有单车），使得总偏差指数尽可能小．已知每辆单车调运的成本为5元/千米，则满足上述调配要求的最小总调运成本为__________元． 三、解答题（共68分，第17题6分，第18题5分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知是方程的一个实数根，求代数式的值． 19. 已知函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）当时，自变量x的取值范围是__________． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知，是方程的两个实数根，，求的值． 21. 如图，在中，是边上一点，是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若是的中点，，，，求的长． 22. 图1是一种可调节高度的桌上升降台，图2为其平面示意图．已知该升降台的剪刀式桌腿由两根长度相等的硬质连杆交叉铰接于中点，其中，为底座上的连接点，，为台面下的连接点．台面高度可以通过调整，之间的距离来调节．使用时发现，当台面处于最低位置时，，之间的距离为；当台面升至最高位置时，，之间的距离增加了，，之间的距离比最低位置时，间距离的一半多．求台面处于最低位置时，之间的距离． 23. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 24. 年某文旅团队推出考古主题盲盒，并借助辅助生产．生产成本包括每日平台运营费元，每盒标准化生产成本元，每盒文旅授权与防伪溯源费元．当日产量超过盒时，还需额外加付流量服务费元．经调研发现，当日产量为盒（为整数，）时，将单盒售价定为元，当天生产的盲盒可全部售出．记日总利润为元，基于上述调研结果，回答下列问题： （1）当时，单盒售价为__________元，日总生产成本为__________元； （2）写出日总利润关于日产量（为整数，）的函数解析式，并求出最大日总利润． 25. 借助函数的研究经验，探究函数的图象与性质． （1）函数的自变量的取值范围是__________； （2）补全表格： … … … … （3）补全表格后，根据表格中各组，的值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并结合对函数解析式的分析，画出该函数的图象； （4）过点（）作轴的垂线，分别交直线与函数的图象于点，，将线段平移到（点的对应点为），为点关于原点的对称点，直接写出的面积随的变化情况． 26. 自主学习． 【命题提出】 “在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越近，其纵坐标的值越小．” （1）该命题用符号语言表述为：在平面直角坐标系中，已知，是抛物线：（）上的两点．若__________，则；（填“>”“=”或“<”） （2）若，结合所学知识，证明该命题； 【命题应用】 （3）已知点，，在抛物线上．当时，对于任意正数，均有，直接写出的取值范围． 27. 如图，是等边三角形，是线段延长线上一点，连接．线段的垂直平分线与，分别交于点，．过点作射线，使得，且，位于的同侧．的平分线与射线交于点． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）用等式表示线段，的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，称点为其“伴随点”．对于一个函数，其图象上所有横坐标不为0的点的“伴随点”组成的图象对应的函数记为函数，称函数为函数的“伴随函数”． （1）点的“伴随点”是__________；若一个点的“伴随点”与它本身重合，则这个点可以是__________；（写出一个即可） （2）已知函数的“伴随函数”的图象是过点，的直线除去点的部分． ①若，当函数的自变量时，函数的最小值是__________； ②若，函数与函数的图象交于不同的两点，．已知函数的图象在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）内无整点（横、纵坐标都是整数的点），则的取值范围是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题：第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，即可判断． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式即可确定抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 3. 已知点在反比例函数的图象上，下列各点中不在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即该反比例函数图象上的点横纵坐标之积为4， A选项：，该点不在函数图象上； B、C、D选项的点横纵坐标之积均为4，都在函数图象上． 4. 用配方法解方程的过程中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：移项，得，配方，得，即． 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得的图象经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，将二次函数的图象先向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到的二次函数的解析式为， ∴平移后的二次函数的顶点坐标为， ∴所得的图象经过点． 6. 学校创客社团的同学用3D打印机制作了一款底面为正方形的杯垫．为了提升实用性，现将杯垫底面各边的长度均增加，结果底面面积增加了，设原杯垫的底面边长为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用新正方形面积与原正方形面积的差为列方程即可. 【详解】解：原杯垫底面为正方形，面积为，边长增加后，新正方形底面边长为，面积为， ∵底面面积增加了， ∴可列方程. 7. 某同学在平面直角坐标系中绘制二次函数的图象时，列出与的部分对应值如下： … … … … 根据表中数据，下列判断正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象与轴没有交点 D. 函数的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二次函数解析式，即可确定开口方向、对称轴、最值； 【详解】解：将，，代入中， 得， 解得，，， 故二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，A错误； 对称轴为直线， ∵ 开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵在范围内， ∴当时，随的增大而减小，B正确； ∵， ∴图象与轴有两个交点，C错误； 将代入解析式，得，即函数最大值为，D错误． 8. 对于平面内一点与线段，过点作的垂线，若垂足在线段上，则称点是线段的可投点．在平面直角坐标系中，记函数的图象为．给出下面四个结论： ①在图象上能找到点，，使得点是线段的可投点，且是钝角三角形； ②，为图象上的两点，以，为邻边作平行四边形．若点是线段的可投点，则点也是线段的可投点； ③对于图象上的任意点，都能在上找到点，使得点是线段的可投点； ④已知直线与图象交于，两点，则对任意负实数，都有实数，使得点是线段的可投点． 上面结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】将新定义转化为熟悉的几何条件，利用数形结合逐一分析即可． 【详解】解：设，， 过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两垂线交于点D，则，草图如下图所示， 根据图象可得：， ， ， 同理可得：， ， ， 若点是线段的可投点，则过O作的垂线，垂足在线段上， 与都是锐角， 是锐角三角形，故①错误； 四边形是平行四边形，对角线交于点M，如下图所示， ，， 过点O和点C作的垂线和，则， 在和中，，，， ， ， 若点是线段的可投点，则点也是线段的可投点，故②正确； 设，不同于点A， 如果点B过于小，草图如下图所示， 过点O作的垂线，垂足落在的延长线上，不是落在线段上，所以不是线段的可投点，故③错误； 联立直线与，得， 整理得， ∵，， ∴； 设，为方程的两个实数根，则，，， 过点O作的垂线，则垂线的表达式为：， 联立与，得垂足的横坐标为， 要使得点是线段的可投点，则， 即， 整理得：， 将，代入得：， 即 ， ， ， 即， ， 即， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 所以，只要取，就能满足有两个交点且垂足在线段上，故④正确， 综上，所有正确结论的序号是①④． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 已知2是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程，建立关于c的一元一次方程求解即可. 【详解】解：∵2是一元二次方程的一个根 ∴将代入方程，等式左右两边相等即， 解得. 10. 写出一个关于的一元二次方程，使得该方程的一个根为0，另一个根不为0，该方程可以是__________． 【答案】（答案不唯一，满足条件即可） 【解析】 【分析】一元二次方程可表示为的形式，任取的值代入，即可求解． 【详解】解：由题意可得，一元二次方程可表示为的形式， 当时，一元二次方程为． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，得到，解关于的一元一次方程即可求得结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 13. 如图，在中，，，，点是的中点，则四边形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知等腰，，，根据等腰三角形三线合一得到点D是中点，点E是中点，所以是的中位线，利用中位线性质得到长度，再把、、、四条边相加求出四边形周长． 【详解】解：，， 是的中线， 点是的中点， ， ， 点是的中点， 是的中位线，， ， 四边形的周长为． 14. 一块三角形铁皮材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点，，分别在边，，上．当剪出的矩形的面积最大时，的长为__________． 【答案】 6 【解析】 【分析】设，分别表示出，，得到矩形的面积表达式，配方后即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 设， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴矩形的面积， ∵，， ∴当时，矩形面积最大， 即的长为6时，矩形的面积最大． 15. 已知点在反比例函数的图象上，则代数式的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入反比例函数解析式得到，展开目标代数式并代入化简，通过配方结合平方的非负性求最小值． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入解析式得，即，且． 将代入上式，得 对该式配方得 ∵ 平方项具有非负性，即 ∴ 当时，， ∴ 代数式的最小值为． 16. 某共享单车（下文简称“单车”）系统的调度中心位于点处，该调度中心在，，，四个停放点进行网络优化试点，调度中心、各停放点之间的道路连通情况及实际距离（单位：千米）如图（示意图）所示．初始时刻，，，四个停放点的单车数量分别为20辆，10辆，8辆，4辆．运维部门设定每个停放点停放单车的“理想容量”均为16辆，为了评估停放点的供需健康度，定义总偏差指数，其中，，，分别为，，，停放点的实际单车数量． （1）若调度中心处有4辆全新单车，计划直接投放至这四个停放点中（不可移出原有单车），则投放后总偏差指数的最小值为__________； （2）若调度中心处有10辆全新单车，运维部门要求将所有单车在图示道路网络中进行调配（允许移出原有单车），使得总偏差指数尽可能小．已知每辆单车调运的成本为5元/千米，则满足上述调配要求的最小总调运成本为__________元． 【答案】 ①. 180 ②. 180 【解析】 【分析】（1）初始偏差分别为，投入4辆车应优先填补负偏差最大的点，即点，计算新的值； （2）总车辆数52辆，平均分配使最小，此时各点均为13辆. 确定各点供需情况，余7辆，有10辆，缺3辆，缺5辆，缺9辆；比较和到各需求点的最短距离，发现到各点距离均比到各点距离多2千米，利用此关系计算最小总路程． 【详解】解：（1）初始时刻四点的单车数量分别为，理想容量为，初始偏差分别为，，，， 要使最小，应将4辆新车投放到偏差最小（负得最多）的点，即点，投放后点数量为，偏差为， 此时； （2）调度中心有10辆新车，总车辆数为（辆）， 要使最小，各点车辆数应尽可能接近平均值（辆）， 此时，取得最小值， 各点供需情况如下： 点：原有20辆，目标13辆，需移出7辆； 点：原有10辆，目标13辆，需移入3辆； 点：原有8辆，目标13辆，需移入5辆； 点：原有4辆，目标13辆，需移入9辆； 点：有10辆新车，需全部移出； 移出的7辆来自，10辆来自，共17辆，恰好满足的需求（辆）， 计算各源点到各汇点的最短距离：到的距离分别为，到：直接距离3，经距离，最短为3，到：经距离，经距离，最短为4，到：直接距离4，经距离，最短为3，观察发现，到的最短距离分别比到的距离多2千米（）； 设从运往的车辆数分别为，则， 从运往的车辆数分别为，则，且等于各点需求量（），总路程 ， 即， ， 故， 代入需求量：（千米）， 最小总调运成本为（元）． 三、解答题（共68分，第17题6分，第18题5分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第题二次三项式易于因式分解，优先选用因式分解法求解； 第题先整理成一元二次方程标准形式，无法因式分解，采用公式法求解，解题过程中先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算． 【小问1详解】 解： 或 解得：， 【小问2详解】 解： ，， 解得：， 18. 已知是方程的一个实数根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求代数式展开、合并同类项，整理成含的形式；再利用方程根的意义，把代入原方程得到，整体代入化简后的式子计算，不需要求出的具体数值． 【详解】解： 是方程的根 ， 即 ． 19. 已知函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）当时，自变量x的取值范围是__________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过列表、描点、连线，即可画图； （1）时即抛物线在x轴下方部分，根据图象即可进行解答． 【小问1详解】 解：根据题意，列表如下： x 0 1 2 3 y 0 0 【小问2详解】 解：观察图象得：当时，自变量x的取值范围是． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知，是方程的两个实数根，，求的值． 【答案】（1） 证明：对于一元二次方程， ，，， 判别式． ， ， 方程有两个不相等的实数根 ． （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系求出m的值，再将所求式子变形为含两根和与两根积的形式，代入计算即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：，是方程的两个实数根， ，， ， ， 解得， ， ． 21. 如图，在中，是边上一点，是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若是的中点，，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）过点F作于点G，结合三角形中位线定理可得，，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点F作于点G， ∵是的中点，是的中点，， ∴为的中位线，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 22. 图1是一种可调节高度的桌上升降台，图2为其平面示意图．已知该升降台的剪刀式桌腿由两根长度相等的硬质连杆交叉铰接于中点，其中，为底座上的连接点，，为台面下的连接点．台面高度可以通过调整，之间的距离来调节．使用时发现，当台面处于最低位置时，，之间的距离为；当台面升至最高位置时，，之间的距离增加了，，之间的距离比最低位置时，间距离的一半多．求台面处于最低位置时，之间的距离． 【答案】台面处于最低位置时，之间的距离为． 【解析】 【分析】连接，，先证明四边形是矩形得到，设台面处于最低位置时，之间的距离为，根据在调节台面过程中，长度始终保持不变，利用勾股定理列方程求解x值即可解答． 【详解】解：连接，，如图， 由题意，，，， ∴四边形是矩形， ∴， 设台面处于最低位置时，之间的距离为，则台面处于最高位置时，之间的距离为，B、C之间的距离为， 根据题意，在调节台面过程中，长度始终保持不变， ∴中，由得， 整理，得， 解得，（负值，舍去）， 答：台面处于最低位置时，之间的距离为． 23. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入反比例解析式，直接求出； （2）利用反比例函数的增减性，由的范围推出的范围； （3）分类讨论的正负，时，随着的增大而减小，时，随着的增大而增大，在时随着的增大而减小，只需保证处满足不等式，即可求出的范围． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， 则． 【小问2详解】 解：， 则当时，随的增大而减小， 当时， 的取值范围为，即． 【小问3详解】 解：过点， 将代入，可得， 将代入可得， 当时，随着的增大而减小， 若足够大，为负数，，， 不满足题意； 当时，随着的增大而增大，在时随着的增大而减小， 若时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值， 可得， 解得． 24. 年某文旅团队推出考古主题盲盒，并借助辅助生产．生产成本包括每日平台运营费元，每盒标准化生产成本元，每盒文旅授权与防伪溯源费元．当日产量超过盒时，还需额外加付流量服务费元．经调研发现，当日产量为盒（为整数，）时，将单盒售价定为元，当天生产的盲盒可全部售出．记日总利润为元，基于上述调研结果，回答下列问题： （1）当时，单盒售价为__________元，日总生产成本为__________元； （2）写出日总利润关于日产量（为整数，）的函数解析式，并求出最大日总利润． 【答案】（1）， （2）当，且为整数时，；当，且为整数时，；最大日总利润为元 【解析】 【分析】（1）把代入售价表达式求单价，用固定运营费加上对应产量的生产成本，算出总生产成本； （2）分、两种情况分类讨论，根据题意表示出日总利润，化为顶点式后根据二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，当时，单盒售价为元， 日总生产成本为元． 【小问2详解】 解：当时， 单盒利润为元， 则日总利润， ，抛物线开口向下，对称轴为， 则当时，随着的增大而增大， 可知当时，取得最大值，最大值为元； 当时， 日总利润， ，抛物线开口向下，对称轴在取值范围内， 可知当时，取得最大值元， ， 综上，最大日总利润为元． 25. 借助函数的研究经验，探究函数的图象与性质． （1）函数的自变量的取值范围是__________； （2）补全表格： … … … … （3）补全表格后，根据表格中各组，的值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并结合对函数解析式的分析，画出该函数的图象； （4）过点（）作轴的垂线，分别交直线与函数的图象于点，，将线段平移到（点的对应点为），为点关于原点的对称点，直接写出的面积随的变化情况． 【答案】（1）； （2） … 1 2 3 … … 0 … （3） （4）无论为何值，的面积不变，为． 【解析】 【分析】（1）由在分母上，得出； （2）由对应的值，求出对应的函数值即可； （3）连点成线，画出函数图象； （4）由题意得到点，，点，算出，根据面积公式求出得出答案． 【小问1详解】 解：函数的自变量的取值范围是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图： ∵，轴， ∴点，， ∴， ∵为点关于原点的对称点， ∴点， ∴ ， ∴无论为何值，的面积不变，为． 26. 自主学习． 【命题提出】 “在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越近，其纵坐标的值越小．” （1）该命题用符号语言表述为：在平面直角坐标系中，已知，是抛物线：（）上的两点．若__________，则；（填“>”“=”或“<”） （2）若，结合所学知识，证明该命题； 【命题应用】 （3）已知点，，在抛物线上．当时，对于任意正数，均有，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：将抛物线解析式配方得， ∵，在抛物线上， ∴，， ∴， 由题设得， 两边平方得，即， 又∵， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据命题的文字描述直接转化为符号不等关系； （2）通过配方法将抛物线化为顶点式，结合作差法与绝对值性质证明命题； （3）将纵坐标大小关系转化为点到对称轴的距离关系，结合对称轴的取值范围推导t的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线：（），开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越近，纵坐标越小， ∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵，， ∴三点到对称轴的距离满足， 对两边平方，整理得， 同理，对平方整理得， ∵， ∴只需满足即可， ∵，， ∴，且当无限增大时，无限趋近于， 要使对任意正数，恒成立， 则需， 解得， 综上所述，的取值范围是． 27. 如图，是等边三角形，是线段延长线上一点，连接．线段的垂直平分线与，分别交于点，．过点作射线，使得，且，位于的同侧．的平分线与射线交于点． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）用等式表示线段，的数量关系，并证明． 【答案】（1）解：①补全图形如下： ②证明：设， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 延长交直线于点，作点关于的对称点，连接，，则垂直平分， ∴， 又∵垂直平分，点在直线上， ∴四点共线，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是等边三角形，平分， ∴，，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）①根据要求补全图形即可；②设，根据等边三角形的性质，垂直平分线的定义，结合三角形的内角和定理进行推导即可； （2）延长交直线于点，作点关于的对称点，连接，，易得四点共线，进而推出，证明为等边三角形，推出，，根据三角形的外角的性质结合角的和差关系推出，证明，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于点，称点为其“伴随点”．对于一个函数，其图象上所有横坐标不为0的点的“伴随点”组成的图象对应的函数记为函数，称函数为函数的“伴随函数”． （1）点的“伴随点”是__________；若一个点的“伴随点”与它本身重合，则这个点可以是__________；（写出一个即可） （2）已知函数的“伴随函数”的图象是过点，的直线除去点的部分． ①若，当函数的自变量时，函数的最小值是__________； ②若，函数与函数的图象交于不同的两点，．已知函数的图象在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）内无整点（横、纵坐标都是整数的点），则的取值范围是__________． 【答案】（1）； （2）①；②的取值范围是或或 【解析】 【分析】（1）根据“伴随点”定义，代入求解即可； （2）先求出G的解析式，再根据“伴随函数”定义得到的解析式，化为顶点式即可得到最小值，联立函数F与G，进行分类讨论，解一元一次不等式组即可． 【小问1详解】 解：依题意可得：点的“伴随点”是； 若一个点的“伴随点”与它本身重合，则且， 当时，， 所以，这个点可以是． 【小问2详解】 解：设G的解析式为，的图象是过点，， 将两点代入得：， 解得：， 的解析式为， 根据“伴随函数”定义，上任意点是F上点的伴随点，因此，变形得：， 将代入得：， 的解析式为， ①当时，代入得： 的解析式为， 函数的最小值为； ②联立函数F与G得：， 即， ， 解得：，， ， ， 函数与函数的图象交于不同的两点， ， 解得： ， ， 函数的图象开口向下， 在两根之间，抛物线在线段上方，分以下三种情况： 第一种：当时，即， 满足函数的图象在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）内无整点， 第二种：当时，即， 满足函数的图象在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）内无整点， 第三种，当时，即时， 将代入得：；代入得：； ， ， ， 此时需要满足函数的图象在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）内无整点， ， 即， 解得：， 特别的，当时，，也满足函数的图象在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）内无整点 此时， 综上所述，的取值范围是或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $