精品解析：北京市海淀实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试 数学B卷

北京海淀实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学B卷 考试时长：120分钟 满分：100分+10分 注意事项： 1．本试卷共6页，共三道大题，22道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，利用正弦的定义，设，，则，再根据余弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 设，， 则， ∴， 故选：． 2. 在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，利用矩形的性质可得，，进而由余角性质可得，再根据余弦的定义求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3. 毕达哥拉斯弦定律是一种描述弦长与振动频率的关系的物理定律．根据这个定律，弦的振动频率与弦的长度成反比，即当弦长变为原来的两倍时，振动频率变为原来的．在音乐中，相邻的音组中相同音名的两个音，包括变化音级，称之为八度．比如低音和中音差一个八度，中音5和高音差一个八度．相差一个八度的音，声音的频率恰好是倍关系．比如中音5的频率是低音的两倍．在其他条件不变的情况下，某弦乐器弹奏使用的弦长为，则其弹奏所使用的弦长为（ ）cm． A. B. C. D. 以上均不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据毕达哥拉斯弦定律，弦的振动频率与弦长成反比. 低音与高音相差两个八度，每个八度频率变为倍，故高音频率是低音的倍，因此弦长应变为原来的． 【详解】解：∵ 频率与弦长成反比， ∵ 低音与高音相差两个八度，每个八度频率加倍， ∴ ， ∴ ， ∴ 弹奏高音所使用的弦长为． 故选：C． 4. 如图，在由边长相等的正方形组成的网格图中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，，取格点F，连接，可证明，得到，则，再根据网格的特点求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取格点F，连接， 由网格的特点和勾股定理可得， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由网格的特点可得， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如果五边形五边形，且相似比为，则这两个五边形各自全部对角线的乘积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似图形的性质；根据相似五边形的对应线段（包括对角线）长度之比均等于相似比，五边形有条对角线，故全部对角线的乘积之比为相似比的次方． 【详解】解：∵五边形五边形，且相似比， ∴每条对应对角线长度之比均为， 设五边形的对角线长度为， 五边形的对应对角线长度为， 则 ∴全部对角线的乘积之比为： . 故比值为． 故选：D． 6. 如图，已知，且．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 以上均不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质，连接交于点，分别由和求出和即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 在中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使，如下四个尺规作图，正确的是（ ）． A. （作一个角的平分线） B. （作线段的垂直平分线） C. （作高） D. （作等腰三角形） 【答案】C 【解析】 【分析】当是的垂线时，根据相似三角形的判定定理，即可得出，据此对选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据作图痕迹可知： A、是的角平分线，不与垂直，故不符合题意； B、是的中线，不与垂直，故不符合题意； C、是的垂线，故符合题意； D、，不与垂直，故不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解本题的关键． 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 8. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E， 过点B作BC⊥OA于点C． 由勾股定理，得AO=，BO=， ∵=AB×OE=AO×BC， ∴BC= =， ∴sin∠AOB= =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法是解题的关键． 9. 已知面积为1，点D，E分别在线段，上，且，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系求值， 过点E作于点K，过点C作于点H， 通过三角形面积公式，计算三角形与三角形的面积比，进而求得四边形的面积． 【详解】解：如下图：过点E作于点K，过点C作于点H， 则 ，， ， 已知，， 所以， 即． 四边形的面积为三角形面积减去三角形面积， 即， 故答案为：. 10. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 11. 已知一张纸对折使得两短边重合，裁开后就是两张纸，的纸对折后就是的纸…，它们都是相似的矩形．设m为纸的长，n为纸的宽，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，设纸的长为m，宽为w，则纸的长为w，宽为，根据相似图形的性质可得，则；则可推出纸的长为，宽为，据此可得答案． 【详解】解：设纸的长为m，宽为w， ∴纸的长为w，宽为， ∵所有A型纸相似， ∴， ∴, ∴所有A型纸的长与宽的比值都为， ∴根据题意可得纸的长为，宽为， ∴纸的长为，宽为， ∵n为纸的宽， ∴， ∴， 故答案为：4． 12. 如图为达·芬奇的《最后的晚餐》，该画作使用了透视画法，左右侧门的上底边和下底边所在的直线，顶上的天花板的一些边所在的直线等是交于一点的，在绘画领域它叫“消失点”．透视画法在数学上的类似变换是______消失点在该变换中的类似物是______． 【答案】 ①. 中心投影 ②. 投影中心 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，根据中心投影的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：透视画法在数学上的类似变换是中心投影，消失点在该变换中的类似物是投影中心， 故答案为：中心投影，投影中心． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，若，则正方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，图形类的规律探索，先根据位似比求出，再证明，得到，，，，同理证明，得到，从而推出正方形的边长为，据此规律求解即可． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 由正方形的性质可得轴，轴， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为， ， ， 正方形的边长为， ， ， 同理可得， ， ， 正方形的边长为， ……， 以此类推可知，正方形的边长为， ∴正方形的边长为 ∴正方形的面积是． 故答案为：． 14. 在高楼前D点测得楼顶的仰角为向高楼前进100米到C点，又测得仰角为，则该高楼的高度的精确值为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用等知识点，掌握三角函数的定义成为解题的关键． 利用所给角的三角函数用表示出；根据列方程求解即可． 【详解】解：设楼高为x米，由题意得，， 在中有：， ∴， 在中有：， ∴， 而， 解得， ∴该高楼的高度的精确值为米， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求锐角，使得：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）0 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，特殊角三角函数值的混合运算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）可求出，再根据特殊角三角函数值可得答案； （2）根据45度角的正切值和余切值都为1即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵是锐角， ∴； （2） ． 16. 如图，已知为等边三角形，．求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 即； （3） 证明：∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）利用等边三角形的性质可得，即得，进而即可求证； （）利用相似三角形的性质即可求证； （）证明即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）的值为______． （2）对于，的正对值的取值范围是______． （3）已知，试求的值． （4）设，，通过完善的推导，将写成的表达式． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、余切、二次根式的应用等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）在中，，顶角，过点作于点，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据直角三角形的性质和勾股定理可得，然后根据的定义求解即可得； （2）先求出当接近时，接近0，再求出，由此即可得； （3）在中，，，过点作于点，先求出，再设，则，，，然后根据的定义求解即可得； （4）在中，，顶角，则，再过点作于点，在上截取，过点作于点，连接，设，，则，，根据勾股定理可得的长，然后根据顶角的正对的定义可得，代入化简即可得． 【小问1详解】 解：如图，在中，，顶角， 过点作于点， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：当接近时，接近0， 如图，在中，，顶角， ∴， ∴， 由顶角的正对的定义可知，在一个等腰三角形中，腰长不变，对于，顶角越大，其所对的边越大，则其正对值也越大， ∴当时，， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，在中，，， 过点作于点， ∴，， ∴， 设，则，， ∴在中，， ∴． 【小问4详解】 解：如图，在中，，顶角， ∵， ∴， 过点作于点，在上截取，过点作于点，连接， ∴，， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， ∴． 18. 如图，正方形中，是边的中点，在边上，且，连接，过点作于点． （1）连接，证明：； （2）证明：． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 设， ∵是边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（）连接，证明，得到，进而得到，即得，即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识， （1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解； （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． 【小问2详解】 根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 20. （1）证明四条边及一条对角线对应成比例的两个四边形是相似的四边形． （2）如果四边形的对角线与交于O，称为该四边形的截断对角线．证明四条截断对角线对应成比例且两条对角线夹角对应相等的两个四边形相似． 【答案】 （1）已知：如图所示，在四边形和四边形中，， 求证：四边形四边形； ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形四边形， ∴四条边及一条对角线对应成比例的两个四边形是相似的四边形； （2）已知：如图所示，在四边形中，对角线交于点O，在四边形中，对角线交于点T，且，， 求证：四边形四边形； ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 同理可证明， ， ∴， ∴四边形四边形， ∴四条截断对角线对应成比例且两条对角线夹角对应相等的两个四边形相似． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，相似三角形的性质与判定，熟知相似的相关知识是解题的关键． （1）可证明，推出两个四边形的四个对应角相等，进而可证明结论； （2）证明，可推出，，，同理可得，，据此可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 21. 直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了．这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，______，______． ，，，， 因此三点不共线，同理三点不共线．所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了． （1）将小明的证明补充完整，______，______． （2）小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明； 【答案】（1）， （2） 解：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2， ∵，， 设直线的解析式为：， 将代入，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点在直线的下方， 当时，， ∴点在直线的上方， ∴拼合的长方形内部有空隙； 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，一次函数与几何综合等等： （1）过点E作于M，则四边形为矩形，可得，则，解直角三角形得到，，则可得，由平行线的性质得到，则，据此可证明结论； （2）以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2，则，，待定系数法求得直线的解析式为：，当时，，可知点在直线的下方，当时，，可知点在直线的上方，进而可得拼合的长方形内部有空隙； 【小问1详解】 解：如图2所示，过点E作于M，则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了． 【小问2详解】 略 附加题（共1小题，每小题5分，共5分） 22. （1）假设你先学了相似三角形再学习的一次函数的理论．你已经确信相似三角形的各种判定定理是正确的．由此证明任何一次函数的图像都是直线． （2）托勒密定理：如图所示，，证明． 提示：在上合理地取一点E，连接，将拆分为两个三角形，这两个三角形分别和，相似． （3）构造几何图形证明：若α，β，都是锐角，则． 【答案】 证明：（1）设一次函数解析式为，其中，在图象上依次取、、三点， 当时，设它们坐标分别为，、，， 则，，，， 连接、，过点作轴，，垂足为，，垂足为， ∴，，， ， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴、、三点在同一直线上， 当时，同理可证、、三点在同一直线上， ∴任何一次函数的图像都是直线． （2）在上取一点，使， ∴， ∴， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3）如图，构造钝角， ，，、是的高， 设，则，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、解三角形、同弧对的圆周角相等，一次函数图象的性质，解题关键是构造特殊的三角形，证明三角形相似． （1）需结合相似三角形判定与一次函数定义，通过构造坐标系下相似三角形及任意点满足函数关系来证明一次函数的图像上任意三点间都在一条直线上， （2）在上取一点，使，容易证明， ，可得，，由两式相加即可得出结论； （3）构造钝角， ，，利用三角形外角的性质可得，利用通过面积法和三角函数的几何意义求解即可． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京海淀实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学B卷 考试时长：120分钟 满分：100分+10分 注意事项： 1．本试卷共6页，共三道大题，22道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 毕达哥拉斯弦定律是一种描述弦长与振动频率的关系的物理定律．根据这个定律，弦的振动频率与弦的长度成反比，即当弦长变为原来的两倍时，振动频率变为原来的．在音乐中，相邻的音组中相同音名的两个音，包括变化音级，称之为八度．比如低音和中音差一个八度，中音5和高音差一个八度．相差一个八度的音，声音的频率恰好是倍关系．比如中音5的频率是低音的两倍．在其他条件不变的情况下，某弦乐器弹奏使用的弦长为，则其弹奏所使用的弦长为（ ）cm． A. B. C. D. 以上均不对 4. 如图，在由边长相等的正方形组成的网格图中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上均不对 5. 如果五边形五边形，且相似比为，则这两个五边形各自全部对角线的乘积的比值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，且．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 以上均不对 7. 在中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使，如下四个尺规作图，正确的是（ ）． A. （作一个角的平分线） B. （作线段的垂直平分线） C. （作高） D. （作等腰三角形） 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 8. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 9. 已知面积为1，点D，E分别在线段，上，且，，则四边形的面积为________． 10. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 11. 已知一张纸对折使得两短边重合，裁开后就是两张纸，的纸对折后就是的纸…，它们都是相似的矩形．设m为纸的长，n为纸的宽，则______． 12. 如图为达·芬奇的《最后的晚餐》，该画作使用了透视画法，左右侧门的上底边和下底边所在的直线，顶上的天花板的一些边所在的直线等是交于一点的，在绘画领域它叫“消失点”．透视画法在数学上的类似变换是______消失点在该变换中的类似物是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，若，则正方形的面积是______． 14. 在高楼前D点测得楼顶的仰角为向高楼前进100米到C点，又测得仰角为，则该高楼的高度的精确值为______米． 三、解答题：本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求锐角，使得：； （2）计算：． 16. 如图，已知为等边三角形，．求证： （1）； （2）； （3）． 17. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）的值为______． （2）对于，的正对值的取值范围是______． （3）已知，试求的值． （4）设，，通过完善的推导，将写成的表达式． 18. 如图，正方形中，是边的中点，在边上，且，连接，过点作于点． （1）连接，证明：； （2）证明：． 19. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 20. （1）证明四条边及一条对角线对应成比例的两个四边形是相似的四边形． （2）如果四边形的对角线与交于O，称为该四边形的截断对角线．证明四条截断对角线对应成比例且两条对角线夹角对应相等的两个四边形相似． 21. 直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了．这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，______，______． ，，，， 因此三点不共线，同理三点不共线．所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了． （1）将小明的证明补充完整，______，______． （2）小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明； 附加题（共1小题，每小题5分，共5分） 22. （1）假设你先学了相似三角形再学习的一次函数的理论．你已经确信相似三角形的各种判定定理是正确的．由此证明任何一次函数的图像都是直线． （2）托勒密定理：如图所示，，证明． 提示：在上合理地取一点E，连接，将拆分为两个三角形，这两个三角形分别和，相似． （3）构造几何图形证明：若α，β，都是锐角，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $