精品解析：北京市东直门中学2026－2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

北京市东直门中学2026—2027学年度第一学期期中考试 初三数学 2026.11 考试时间：120分钟 总分100分 第一部分 一、选择题（每小题2分） 1. 数学世界奇妙无穷，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 3. 已知双曲线，若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数增减性与比例系数的关系列不等式求解． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 解得． 4. 已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系． 仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴，， ∴， 解得：． 6. 在平面直角坐标系中，的半径为5，点P的坐标为，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据两点间的距离公式求出点点到圆心的距离，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】由两点间的距离公式可得：， 即， 点P在上． 故选：B． 7. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 8. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或； ④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的最大面积，判断④． 【详解】如图，，即的长度等于半径， ，即的长度等于半径， 以为边的圆的内接三角形有无数个，故①结论正确； 为等边三角形， ， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 当点在圆上移动时，可能是， 一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故②正确； 由以上可知，可以是或， 当，时， ， 当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或， 故③正确； 过作于， ， ， 当点为优弧的中点时，的面积最大， ， 故④错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解本题的关键． 第二部分 二、填空题（每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 10. 把抛物线向右平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】依据二次函数图象平移的“左加右减”规律即可得到平移后的抛物线解析式． 【详解】解：把抛物线向右平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为． 11. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点，这个二次函数的解析式可以是______． 【答案】y=-x2-1（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式． 【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，-1）， ∴a＜0，c=-1， ∴二次函数表达式为：y=-x2-1（答案不唯一）． 故答案为y=-x2-1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键． 12. 一元二次方程的两根为a，b，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求代数式变形为含两根和、两根积的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴由根与系数的关系可得，， ∴． 13. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔8月份到10月份的销量，该品牌头盔8月份销售200个，10月份销售288个，且从8月份到10月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】月增长率为x，根据连续两期增长的数量关系即可列出方程． 【详解】解：8月份该品牌头盔销量为200个，月增长率为x． 9月份的销量为个． 从8月份到10月份的月增长率保持不变． 10月份的销量为个． 10月份实际销量为288个． ． 14. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，若的面积为8，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：由反比例函数中的几何意义得：， 根据反比例函数的对称性可知：， ， ∵， ． 故答案为：8． 15. 如图，以为直径的半圆O经过点C，以A为圆心，为半径画弧交于点D，连接．若，则的度数为_______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，连接，则，设，根据等边对等角、三角形外角的性质可得出，，根据三角形内角和定理得出关于x的方程，解方程求出x的值，则可求的度数，在中，根据等边对等角、三角形内角和定理可求的度数，即可求解． 【详解】解：连接， 则， ． 设， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点，下面有四个结论： ①； ② ③若点在该抛物线上，则方程的两个根为，； ④过点作x轴的垂线，交该抛物线于点B，交直线于点C，若线段的长度随t的增大而减小，则t的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据抛物线经过的两点坐标推导系数关系，得到抛物线的简化形式，再结合二次函数的性质逐一验证每个结论的正确性． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴代入坐标得， ∵抛物线经过点， ∴代入坐标得， 将代入上式，得， 整理得，故结论①正确； 将，代入，得， ∵， ∴，即，故结论②错误； 抛物线解析式可写为， ∵点在抛物线上， ∴代入坐标得， 方程可化为， ∵，两边同除以得， 解得，，与题中给出的根不符，故结论③错误； 过点作轴垂线，交抛物线于，交直线于， ∴的长度为， ∵， ∴， 当时，，故，， 该二次函数开口向下，对称轴为， ∴在上，随的增大而减小， 当时，故，， 该二次函数开口向上，对称轴为， ∴在区间上，随的增大而增大， 综上，当的长度随的增大而减小时，的取值范围是，故结论④正确． 三、解答题：（共68分，17题8分，18、19题5分，20题4分，题每题5分，25题6分，26题6分，27题7分，28题7分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先将常数项移到等号右边，再根据完全平方公式进行配方，最后开方，即可解答； （2）将当做一个整体，将等号左边进行因式分解，用因式分解法即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 如图，在和中，，平分． （1）证明：； （2）若，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可求出的长，再利用相似三角形的性质即可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在中，，，， ∴， 由（1）已证：∵， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 19. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】（1）证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． （2）或或 【解析】 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将以点为旋转中心逆时针旋转得到图形，画出； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标； （3）与的面积比为________． 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： ； （3）． 【解析】 【分析】（1）分别作出点，点绕点逆时针旋转得到的对应点，依次连接即可； （2）分别连接，，并延长到，，，依次连接即可； （3）根据面积比等于相似比的平方解答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（2）可知，相似比为， ． 21. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x ．．． 0 1 ．．． y ．．． 0 0 ．．． （1）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出y的取值范围________________． （3）若直线与抛物线在的范围内有一个公共点，直接写出k的取值范围________． 【答案】（1）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： 二次函数的表达式为：． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用描点法画函数图象，根据待定系数法求解析式即可； （2）由（1）中的图像可直接进行求解； （3）由（1）中的图像可直接进行求解． 【小问1详解】 解：画出这个二次函数的图象略． ∵二次函数经过，，， ． ∵二次函数经过， ． 解得． ． 【小问2详解】 解：由（1）中图像可得：当时，y的取值范围是． 【小问3详解】 解：直线与抛物线在的范围内有一个公共点， 由（1）中图像可得： 当，直线刚好经过顶点，只有1个交点； 当，直线和这段抛物线只有一个交点； 综合∶ 或． 22. 圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具，图1为圭表示意图，某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度，如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度米）竖直放置在影长的最远端点处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． （1）根据以上信息，求旗杆的高度； （2）若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，并用新测量的的长度与原数据进行计算，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 【答案】（1）米 （2）不能准确得到旗杆的高度．理由如下： 间隔半小时后，太阳的位置已经发生了明显的偏移，此时测得的数据已经和同一时刻对应的标杆影长不匹配了，无法得到对应的相似三角形了，因此无法准确得到旗杆的真实高度了． 【解析】 【分析】（1）直接根据同一时刻太阳光线平行的特点，利用相似三角形的判定和性质解答即可； （2）根据不同时刻太阳光线不平行，就不能得到对应的三角形相似，据此解答即可． 【小问1详解】 解：同一时刻太阳光线平行， 由题意可知： （米） 【小问2详解】 详解见答案． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值既大于反比例函数的值，又小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、求反比例函数和一次函数的解析式； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意画出一次函数与反比例函数图象，数形结合，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴ 把，代入一次函数得 ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， 【小问2详解】 解：如图， ∵当时，对于x的每一个值，一次函数大于反比例函数的值， 当时， ∴， 将代入，即，解得：， ∴一次函数 ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值， 又∵当时，一次函数的值小于一次函数的值， ∴ 综上所述，． 24. 如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由垂径定理可得=，然后通过圆周角定理即可求解； （）由垂径定理可得，即，然后通过勾股定理得，从而求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴=， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， 在中，， ∴． 25. 小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳篷，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳篷进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务． 素材一：如图①，曲线为遮阳篷，为支架，为落地窗户（A，C，O三点共线），，，，遮阳篷的跨度．已知曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴建立平面直角坐标系． 素材二：如图②，为加固遮阳篷，要安装支撑架和，其中点G是上的中点，点F在曲线上，且． （1）任务1：求素材一中曲线所在抛物线的函数表达式； （2）任务2：小华的爸爸找来一根长的木棍作为支撑架，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由． 【答案】（1）； （2）不符合素材二中的要求．理由如下： ， ， ，点G是的中点， ， ， 点横坐标为， 当时，， ， ， 不符合素材二中的要求． 【解析】 【分析】（1）设曲线所在抛物线的函数表达式为，根据题意可求的值，由条件可确定点坐标，利用待定系数法解答； （2）先确定点坐标，根据可知点横坐标与点相同，代入抛物线表示式可求点的纵坐标，由此即可求出的长，与所给条件比较即可． 【小问1详解】 解：设曲线所在抛物线的函数表达式为， 曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同， ， ，， ， ， ，， ， 将坐标代入抛物线表达式得 解得 曲线所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 略． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线，过， （1）用含的式子表示，并求抛物线与轴另一交点的坐标． （2）若直线过，两点，过作轴垂线交抛物线于点，连接交线段于点． ①当，时，求的值． ②当时，点沿线段从点运动到点的过程中，的值始终在增大时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握待定系数法、两点间的距离公式、二次函数的图像性质是解题的关键． 利用待定系数法进行求解即可； ①当时，抛物线解析式为，进而得到直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，根据两点间的距离公式得到和的长，从而得到的值； ②当时，抛物线解析式为，设点，进而得到直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，根据两点间的距离公式得到和的长，得到的值，根据点沿线段从点运动到点的过程中得到，结合的值始终在增大，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得，抛物线，过，， 则， 解得， 则抛物线的解析式为， 令得：， 解得或， 由于点的坐标为， 则点的坐标为； 【小问2详解】 ①解：当时，抛物线解析式为， 则点、， 由于直线过，两点， 则， 解得， 因此，直线的解析式为， 当时，即，代入抛物线解析式得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和代入得， 解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得， 则点的坐标为， ， ， 因此，； ②解：当时，抛物线解析式为， 直线的解析式为， 设点，直线的解析式为， 将点和代入得， 联立 解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得， 则点的坐标为， ， ， 因此 ， 由于点沿线段从点运动到点， 则，即， 解得， 则， 函数的对称轴为， 则在上时，的值随的增大而增大， 由于点在线段上，且的值随的增大而增大， 因此，在上，的值始终在增大． 27. 在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴． ∴，． ∴． 在和中， ∴． ∴； （2） 解：，理由如下： 如图，过点M作交于点G，连接， 则． 在和中． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据中点的定义，三角形的中位线定理，得到，进而推出，等边对等角结合三角形的外角得到，证明，即可得出结论； （2）过点M作交于点G，连接，证明，得到，，进而得到，倒角推出，得到，进而推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 28. 对于平面直角坐标系中的点和，我们称为P和Q两点的“亚距离”．进一步，对于平面中的点R和图形M，N，我们给出如下定义：点R到图形M上各点的最短亚距离为d，点R到图形N上各点的最短亚距离为，若，则称点R为图形M，N的一个“亚等距点”． 如图，已知，，，，点A、C、D关于y轴的对称点分别为点、、，将正方形向上平移8个单位得到正方形． （1）①________； ②在点，，，中，哪个点是点A和点的亚等距点_________； （2）在坐标系中，画出正方形和正方形的亚等距点所组成的图形； （3）已知线段上恰好存在3个线段和线段的亚等距点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）①8；②点， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）①根据亚等距点的定义计算；②，根据亚等距点的定义，逐一计算各点是否符合题意即可判断； （2）分别取， ，连接，设点P为上一点，作轴交于Q，当点T在上时，过点T作于S，得到线段上的点都是正方形和正方形的亚等距点．由对称性可知线段上的点都是正方形和正方形的亚等距点；则过点A且平行于x轴的直线上的点都是正方形和正方形的亚等距点，所以正方形和正方形的亚等距点组成的图形为线段； （3）分情况讨论线段上恰好存在3个线段和线段的亚等距点，得出k的取值范围． 【小问1详解】 解：根据“亚距离”的定义可知 ①，， ． ②点C关于y轴的对称点分别为点， ． 由题意得，； ； ； ； ； ； ； ； ，． 点，是点A和点的亚等距点． 【小问2详解】 解：如图所示，分别取， ，连接，设点P为上一点，作轴交于Q，则点P到正方形上一点T的“亚距离”最小时，点T一定会在或上，当在上时，过点T作于S， 将正方形向上平移8个单位得到正方形， ． ， ． 是等腰直角三角形． ． ， ． ， 是等腰直角三角形． ． ． 点P到线段上一点的“亚距离”等于，即点P到正方形的“亚距离”的最小值即为的长． 同理可证明为等腰直角三角形． ． 点P到正方形上一点的“亚距离”的最小值即为的长， 点P即为正方形和正方形的亚等距点． 线段上的点都是正方形和正方形的亚等距点． 由对称性可知线段上的点都是正方形和正方形的亚等距点； 由对称性可知，过点A且平行于x轴的直线上的点都是正方形和正方形的亚等距点； 综上所述，正方形和正方形的亚等距点组成的图形为线段． ，，直线； 画图略 【小问3详解】 解∶如图2所示， ，，点A和点D关于y轴对称的点分别为，， ，． 设线段和线段的亚等距点的坐标为． 当时，． ． ． 或，解得． 此时点K在直线上，且； 当时，如图3所示，过点K分别作直线和直线的垂线，垂足分别为T、S， ，． ． 当时，则，解得 (舍去)； 当时，则， ． 此时点K在直线上运动； 当时，则， (舍去)； 综上所述，此时点K在直线上运动，且； 当时，如图4所示，过点K分别作直线和直线垂线，垂足分别为T、S， ，． ． ． ． 当时，则，方程无解，不符合题意； 当时，则， 解得． 此时点K在直线上运动； 当时，则，此时方程无解，不符合题意； 综上所述此时点K在直线上运动，且． 由对称性可知点K的轨迹方程为 线段上恰好存在3个线段和线段的亚等距点， 线段与点K的轨迹方程有3个不同的交点，如图所示，设经过，两点的直线解析式为． 解得 结合点K的轨迹方程可得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2026—2027学年度第一学期期中考试 初三数学 2026.11 考试时间：120分钟 总分100分 第一部分 一、选择题（每小题2分） 1. 数学世界奇妙无穷，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线，若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为( ) A. B. C. D. 4. 已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，的半径为5，点P的坐标为，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定． 7. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或； ④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 第二部分 二、填空题（每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 把抛物线向右平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为________． 11. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点，这个二次函数的解析式可以是______． 12. 一元二次方程的两根为a，b，则的值为________． 13. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔8月份到10月份的销量，该品牌头盔8月份销售200个，10月份销售288个，且从8月份到10月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，则可列方程为________． 14. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，若的面积为8，则的值为_____． 15. 如图，以为直径的半圆O经过点C，以A为圆心，为半径画弧交于点D，连接．若，则的度数为_______． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点，下面有四个结论： ①； ② ③若点在该抛物线上，则方程的两个根为，； ④过点作x轴的垂线，交该抛物线于点B，交直线于点C，若线段的长度随t的增大而减小，则t的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：（共68分，17题8分，18、19题5分，20题4分，题每题5分，25题6分，26题6分，27题7分，28题7分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，在和中，，平分． （1）证明：； （2）若，，求和的长． 19. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将以点为旋转中心逆时针旋转得到图形，画出； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标； （3）与的面积比为________． 21. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x ．．． 0 1 ．．． y ．．． 0 0 ．．． （1）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出y的取值范围________________． （3）若直线与抛物线在的范围内有一个公共点，直接写出k的取值范围________． 22. 圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具，图1为圭表示意图，某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度，如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度米）竖直放置在影长的最远端点处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． （1）根据以上信息，求旗杆的高度； （2）若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，并用新测量的的长度与原数据进行计算，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值既大于反比例函数的值，又小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 24. 如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 25. 小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳篷，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳篷进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务． 素材一：如图①，曲线为遮阳篷，为支架，为落地窗户（A，C，O三点共线），，，，遮阳篷的跨度．已知曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴建立平面直角坐标系． 素材二：如图②，为加固遮阳篷，要安装支撑架和，其中点G是上的中点，点F在曲线上，且． （1）任务1：求素材一中曲线所在抛物线的函数表达式； （2）任务2：小华的爸爸找来一根长的木棍作为支撑架，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线，过， （1）用含的式子表示，并求抛物线与轴另一交点的坐标． （2）若直线过，两点，过作轴垂线交抛物线于点，连接交线段于点． ①当，时，求的值． ②当时，点沿线段从点运动到点的过程中，的值始终在增大时，求的取值范围． 27. 在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系中的点和，我们称为P和Q两点的“亚距离”．进一步，对于平面中的点R和图形M，N，我们给出如下定义：点R到图形M上各点的最短亚距离为d，点R到图形N上各点的最短亚距离为，若，则称点R为图形M，N的一个“亚等距点”． 如图，已知，，，，点A、C、D关于y轴的对称点分别为点、、，将正方形向上平移8个单位得到正方形． （1）①________； ②在点，，，中，哪个点是点A和点的亚等距点_________； （2）在坐标系中，画出正方形和正方形的亚等距点所组成的图形； （3）已知线段上恰好存在3个线段和线段的亚等距点，直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $