精品解析：甘肃省酒泉玉门油田二中2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

甘肃省酒泉玉门油田二中2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷 一、选择题：本题共13小题，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A. B. C. D. 2. 方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 6. 已知点、、都在函数的图象上，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知抛物线的对称轴为，且其与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，y随x的增大而增大；⑥抛物线上有三点，，，则．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 10. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 11. 某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租辆客车，分别编号为、、，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐一辆车的概率为（　） A. B. C. D. 12. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为(　　) A. 2.4cm B. 4.8cm C. 5cm D. 9.6cm 二、填空题：本题共14小题，共50分． 14. 将x2-6x-7=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为____________. 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围_____． 16. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为______ 17. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则共有__________支球队参赛． 18. 如图，二次函数的图象交轴于A、两点，交轴于点，的面积为____． 19. 抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线______． 20. 一元二次方程的解为_______． 21. 已知点P是线段的黄金分割点（），若，则______ 22. 如图，矩形的对角线与相交于点，，，则四边形的面积为__________． 23. 关于x的方程kx2-4x-=0有实数根，则k的取值范围是______． 24. 袋子中有8个白球和若干个黑球，小华从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了100次后，共有32次摸出白球，据此估计袋中黑球有________个. 25. 如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=________． 26. 已知，则的值为________． 27. 如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若，，则点D的坐标是____________． 三、解答题：本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 28. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 29. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 30. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 31. 一只不透明的袋子中，装有2个白球（标有号码1、2）和1个红球，这些球除颜色外其他都相同． （1）搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？ （2）搅匀后从中一次摸出两个球，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率． 32. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 33. 已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0， （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积． 34. 已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF． （1）求证：AF＝CE； （2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省酒泉玉门油田二中2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷 一、选择题：本题共13小题，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义分别分析得出答案，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】A、是一次函数，故此选项错误，不符合题意； B、只有时才是二次函数，故此选项错误，不符合题意； C、，一定为二次函数，故此选项正确，符合题意； D、，不是二次函数，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选B． 3. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的根得到是解题关键．由是方程的一个根，可得，再将其代入可求解． 【详解】解：是方程的一个根， 故选∶ D． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案． 【详解】∵ 是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为（-1，-2）． 故选D． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点． 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：A、∵a=-2＜0，∴抛物线的开口向下，本选项错误， B、抛物线的顶点为（1，3），本选项错误， C、抛物线的对称轴为：x=1，本选项正确， D、∵抛物线的开口向下且对称轴为直线x=1，∴当时，随的增大而减小，本选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论 6. 已知点、、都在函数的图象上，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数图象对称性和增减性即可判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，对称轴为y轴， 点关于y轴的对称点为，且， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 7. 如图，已知抛物线的对称轴为，且其与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，y随x的增大而增大；⑥抛物线上有三点，，，则．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性求得抛物线与轴的另一个交点为，可得，即可判断①③，根据抛物线与轴有2个不同交点可得；根据时，可得，根据对称轴为直线，则时，y随x的增大而增大；根据离对称轴越远函数值越大，比较三点，，与的距离即可求解． 【详解】解：已知抛物线的对称轴为直线，且其与x轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点为， 即 ，故①不正确，③正确； ∵抛物线与轴有2个不同交点； ∴，故②正确； ∵时，可得，故④不正确 ∵抛物线对称轴为直线，开口向上， ∴时，y随x的增大而增大；故⑤不正确 抛物线上有三点，，，对称轴为， 又 ． 故⑥正确， 故正确的有②③⑥． 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 8. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故不合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、是一元一次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 9. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 10. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 11. 某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租辆客车，分别编号为、、，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐一辆车的概率为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再从中选出符合条件的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解；画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果数，其中两人同坐一两场的结果数为3种， ∴ 两人同坐一辆车的概率为， 故选：C． 12. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，根据两内项之积等于两外项之积整理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 13. 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为(　　) A. 2.4cm B. 4.8cm C. 5cm D. 9.6cm 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD， ∴AB=， ∵菱形ABCD的面积=AB•DE=AC•BD=×8×6=24， ∴DE==4.8cm； 故选B． 二、填空题：本题共14小题，共50分． 14. 将x2-6x-7=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为____________. 【答案】（x-3）2=16 【解析】 【详解】x2−6x−7=0， x2−6x=7， x2−6x+9=7+9， (x−3)2=16； 故答案为(x−3)2=16. 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，再根据一元二次方程的定义得到，由此联立求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 16. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为______ 【答案】y=3（x+2）2﹣1 【解析】 【详解】解：抛物线y=3x2的图象向左平移2个单位所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2；抛物线y=3(x+2)2的图象向下平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2﹣1， 故答案为y=3(x+2)2﹣1． 17. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则共有__________支球队参赛． 【答案】8 【解析】 【详解】设有支球队参赛，则有： ， 解得：，（舍）， ∴有个球队参赛． 18. 如图，二次函数的图象交轴于A、两点，交轴于点，的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数求出A、两点坐标，再求出点C的坐标，即可求出、得值，然后根据面积公式即可得出答案． 【详解】 ， 令 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标是解题的关键． 19. 抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式求解，即抛物线与轴的交点是，，则抛物线的对称轴为直线． 因为点与的纵坐标都为，所以可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：抛物线与轴的交点为，， 两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 20. 一元二次方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解求一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求一元二次方程即可． 【详解】解：， 提取公因式得，， ∴或， 解得，， 故答案为： ． 21. 已知点P是线段的黄金分割点（），若，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点，掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可求出结论． 【详解】解：根据黄金分割的定义， ∵点P是线段的黄金分割点，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 如图，矩形的对角线与相交于点，，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键． 连接，与交于点，由四边形为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形的面积即可． 【详解】解：连接，与交于点， 四边形为矩形， ，，且，即， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ，，， ，且， 四边形为平行四边形， ，， ，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 则． 故答案是：． 23. 关于x的方程kx2-4x-=0有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k≥-6 【解析】 【详解】当k=0时，方程变为一元一次方程，有实数根； 当k≠0时，则有△=（-4）2-4×（-）k≥0， 解得k≥-6； 综上可得k≥-6． 24. 袋子中有8个白球和若干个黑球，小华从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了100次后，共有32次摸出白球，据此估计袋中黑球有________个. 【答案】17 【解析】 【分析】100次中共有32次摸出白球，则可求摸到白球的概率，据此求袋中黑球个数. 【详解】设黑球有m个，根据已知可列出 =，m=17， 所以黑球有17个. 【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，熟练掌握这一点是解题的关键. 25. 如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴ ， ∵AC=2，AD=1， ∴， 解得DB=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边． 26. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法，进行求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∴； 故答案为：． 27. 如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若，，则点D的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的四条边都相等，菱形的性质和等边三角形的性质，求出D点到x轴的距离和到y轴的距离即可． 【详解】解：过点D作于点G， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形，四边形 ABCO是正方形， ∴， ∴， =， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形和菱形的性质，等边三角形的性质，运用了解直角三角形的知识，解题关键是牢记相关性质以及灵活运用解直角三角形的公式． 三、解答题：本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 28. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元 （2）每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每件童装降价x元，根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可； （2）设利润为w，根据总利润=单件利润×数量，列出w关于x的函数解析式，结合二次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：设每件童装降价x元， ， 整理得：， 解得：， 为减少库存，取， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 【小问2详解】 解：设利润为w， ， ∵， ∴当时，w有最大值1250， 即每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元． 29. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y= ，抛物线的对称轴是 x=3； （2）存在；P点坐标为（3，）． （3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．N（，-3） 【解析】 【详解】(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)． 把点A(0，4)代入上式，解得a＝． ∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－． ∴抛物线的对称轴是直线x＝3． (2)存在，P点的坐标是(3，)．如图1，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB． ∵点B与点C关于对称轴对称， ∴PB＝PC． ∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC． ∴此时△PAB的周长最小． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b．把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴y＝－x＋4． ∵点P的横坐标为3， ∴y＝－×3＋4＝． ∴P(3，)． (3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大． 如图2，设N点的横坐标为tt，此时点N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)． 过点N作y轴的平行线，分别交x轴，AC于点F，G，过点A作AD⊥NG，垂足为D． 由(2)可知直线AC的解析式为y＝－x＋4． 把x＝t代入y＝－x＋4，得y＝－t＋4． ∴G(t，－t＋4)． ∴NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t． ∵AD＋CF＝OC＝5， ∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝NG·OC ＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋． ∵当t＝时，△NAC面积的最大值为． 由t＝，得y＝×()2－×＋4＝－3． ∴N(，－3)． 30. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基本解法是解题关键． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问3详解】 解：， ， ， ，，， ， ， ，； 【小问4详解】 解：， ， 或， ，． 31. 一只不透明的袋子中，装有2个白球（标有号码1、2）和1个红球，这些球除颜色外其他都相同． （1）搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？ （2）搅匀后从中一次摸出两个球，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）P（一个球是白球）=； （2）树状图如下： 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴（两个球都是白球）． 【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，互为对立事件的两个事件概率之和为1． 32. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设每千克水果应涨价元，依题意列方程得：，解方程得，要使顾客得到实惠，应取，即可得到答案． 【详解】解：设每千克水果应涨价元， 依题意列方程得： 整理，得 解这个方程，得 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价元． 33. 已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0， （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积． 【答案】 （1）证明：根据题意得：△＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2． ∵无论k为何值，总有（k+1）2≥0， ∴无论k为何值，原方程都有实数根； （2）k=2；菱形的面积是9． 【解析】 【分析】（1）首先计算根的判别式，再根据判别式的值判断方程根的情况； （2）由根与系数关系及x1x2+2x1+2x2＝36可以得到关于k的一元二次方程，解方程可以得到k的值，再根据菱形面积等于可以求得答案． 【详解】（1）略 （2）∵关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两实数根是x1、x2， ∴x1+x2＝3k+3，x1x2＝2k2+4k+2， ∴由x1x2+2x1+2x2＝36，得2k2+4k+2+2（3k+3）＝36， 整理，得（k+7）（k﹣2）＝0． 解得k1＝﹣7（舍去），k2＝2． ∴x1x2＝×2（k+1）2＝（2+1）2＝9． 即菱形的面积是9． 【点睛】本题考查一元二次方程与菱形的综合应用，熟练求解根的判别式及利用根与系数关系求出k的值是解题关键． 34. 已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF． （1）求证：AF＝CE； （2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论． 【答案】 （1）证明：在△ADF和△CDE中， ∵AF∥BE， ∴∠FAD＝∠ECD． 又∵D是AC的中点， ∴AD＝CD． ∵∠ADF＝∠CDE， ∴△ADF≌△CDE． ∴AF＝CE． （2）四边形AFCE是矩形． 证明：由（1）知：AF＝CE，AF∥CE， ∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵AC＝EF， ∴平行四边形AFCE是矩形． 【解析】 【分析】（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD＝CD，∠ADF＝∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF＝CE． （2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质,矩形的判定与性质,勾股定理的运用,正确分析条件与所求问题之间的联系, 理清思路解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $