4.4.2 对数函数的图象与性质（第2课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.2 对数函数图象与性质（第2课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 指数 指数函数 指数函数的概念 指数函数的图象与性质 对数 对数的概念 函数的应用（二） 本章知识框图 n次方根与分数指数幂 无理指数幂及其运算性质 对数的运算 对数函数 对数函数的概念 对数函数的图象与性质 不同函数增长的差异 函数的零点与方程的解 用二分法求解方程的近似解 函数模型的应用 课标要求 ①理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 知道对数函数与指数函数互为反函数 (. 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 03 01 02 理解并掌握对数（型）函数单调性，最值（值域）等的求解方法. 课时教学目标 掌握对数函数图象的变换，能够进行简单的对数图象变换运算. 能从指数与对数关系视角认识指数函数与对数函数的关系，知道他们互为反函数. 环节一 新课导入 问题1：上一节，我们学习了对数函数的图象与性质，你能说说其图象特征与性 质吗？ 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 单调递减函数 单调递增函数 非奇非偶函数 环节一 新课导入 ①上下比较： 在直线 的右侧，当 时， 越大，图象越靠近轴； 当 时，越小，图象越靠近轴. ②左右比较：(比较图象与直线的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 对称性： 与的图象关于轴对称 对数函数的图象特征 环节一 新课导入 我们知道，对数函数的概念是在学习指数函数的基础上，通过提出“反过来的问题”，并利用指数与对数的内在联系而建立起来的. 所以，就像利用指数幂的运算性质证明对数的运算性质那样，我们猜想可以通过对数函数与指数函数的联系，利用指数函数的图象和性质，得出对数函数的图象与性质,本节课我们继续探究. 环节二 新课探究 问题2：请同学们在同一坐标系中 ，利用描点法作出函数 与 的图象，并观察、猜想，你能发现它们图象之间的关系吗？ x y x y 0.5 0.5 0 1 1 0 1 2 2 1 2 4 4 2 3 8 8 3 描点、连线 列表 点点关于直线对称 点点关于直线对称 点点关于直线对称 环节二 新课探究 环节二 新课探究 问题3：类比以上与图象特征的探究，你能说说一般指数函数 与图象的对称关系吗？ 环节二 新课探究 环节二 新课探究 指数函数与 对数图象关系 一般地，指数函数与对数图象关于直线对称 ，此时称它们互为反函数，它们的定义域与值域正好互换. 环节三 应用新知 例1 【答案】B 环节三 应用新知 例1 【答案】C 环节四 应用拓展——对数函数图象变换问题 例2 x轴上方不变 下方翻到x轴上方 环节四 应用拓展——对数函数图象变换问题 例2 x轴右侧不变 右侧翻到x轴左侧 环节四 应用拓展——对数函数图象变换问题 例2 图象向右平移1个单位 x轴上方不变 下方翻到x轴上方 环节四 变式训练 应用拓展——对数函数图象变换问题 环节四 变式训练 应用拓展——对数函数图象变换问题 环节四 变式训练 应用拓展——对数函数图象变换问题 环节四 变式训练 应用拓展——对数函数图象变换问题 【答案】 环节四 应用拓展——对数函数（含复合函数）的单调性问题 例3 环节四 应用拓展——对数函数（含复合函数）的单调性问题 例3 环节四 应用拓展——对数函数（含复合函数）的单调性问题 对数复合函数单调性判断方法 解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断单调性；三是要注意函数的定义域． 对数型复合函数一般可分为两类： 一类是对数函数为外函数，即型； 一类是对数函数为内函数，即型． 环节四 应用拓展——对数函数（含复合函数）的单调性问题 对数复合函数单调性判断方法 对于型的函数的单调性，有以下结论：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． 研究型复合函数的单调性，一般用复合函数的单调性法则判定即可，即令，则只需研究及的单调性即可． 环节四 应用拓展——对数函数（含复合函数）的单调性问题 变式训练 环节四 应用拓展——对数函数（含复合函数）的单调性问题 变式训练 环节四 应用拓展——对数函数（含复合函数）的单调性问题 变式训练 环节四 应用拓展——对数（型）函数的值域最值问题 例4 环节四 应用拓展——对数（型）函数的值域最值问题 例4 环节四 应用拓展——对数（型）函数的值域最值问题 例4 环节四 应用拓展——对数（型）函数的值域最值问题 求对数（型）函数值域或最大(小)值的常用方法 (1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域． (2)配方法：当所给的函数是可化为二次函数形式的(形如，求函数值域问题时，可以用配方法． (3)单调性法：根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域． (4)换元法：求形如型函数值域的步骤：①换元，令，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用的单调性、图象求出y的取值范围． 环节四 应用拓展——对数（型）函数的值域最值问题 变式训练 环节四 应用拓展——对数（型）函数的值域最值问题 变式训练 环节四 应用拓展——对数（型）函数的值域最值问题 变式训练 环节四 应用拓展——对数函数与指数函数综合问题 例5 环节四 应用拓展——对数函数与指数函数综合问题 例5 环节四 应用拓展——对数函数与指数函数综合问题 环节四 应用拓展——对数函数与指数函数综合问题 环节四 应用拓展——对数函数与指数函数综合问题 变式训练 环节四 应用拓展——对数函数与指数函数综合问题 变式训练 环节四 应用拓展——对数函数与指数函数综合问题 变式训练 环节四 应用拓展——对数函数与指数函数综合问题 变式训练 环节五 归纳小结 指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线对称.它们的定义域与值域正好互换. 对数函数图象与性质应用 对数函数图象变换 对数函数（复合函数）单调性问题 对数（型）函数的最值值域问题 对数函数的综合问题 环节六 作业布置 巩固作业： 优化设计对应练习. 感谢聆听 设点 是函数 图象上的任意一点， 则 ，于是 ， 所以点 满足 ，即点 在 的图象上； 反之，设点 是 图象上的任意一点， 则 ，于是 ， 所以点 是函数 图象上的一点. 综上可知， 的图象和 的图象关于 对称. 此时，我们称函数 与 互为反函数. 设点 是函数 图象上的任意一点， 则 ，于是 ， 所以点 满足 ，即点 在 的图象上； 反之，设点 是 图象上的任意一点， 则 ，于是 ， 所以点 是函数 图象上的一点. 综上可知， 的图象和 的图象关于 对称. 1．函数 的反函数是（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【详解】由 ，可得，故原函数的反函数为 ， ． 2．函数 的反函数是（   ） A． B． C． D． 【详解】由 得， ． 因此函数 的反函数是 . 1．作出下列函数的图象 (1) ； (2)； (3) ； 1．作出下列函数的图象 (1) ； (2)； (3) ； 1．作出下列函数的图象 (1) ； (2)； (3) ； 1．作出下列函数的大致图象： (1) ；(2)；(3) ． 【详解】（1）第一步：作函数 的图象； 第二步：把函数 的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折（位于x轴和x轴上方的不变），即得 的图象，如下图： 1．作出下列函数的大致图象： (1) ；(2)；(3) ． （2）第一步和第二步同（1）； 第三步：把 的图象向右平移1个单位长度即得的图象如下图所示： 1．作出下列函数的大致图象： (1) ；(2)；(3) ． （3）第一步：作函数 的图象； 第二步：把函数 的图象沿y轴翻折，得 的图象； 第三步：把 的图象向右平移1个单位长度，得函数 的图象； 第四步：把 的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折（x轴上及x轴上方的不变），即得 的图象如下图所示： 2．为了得到函数 的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【详解】把 的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为， 再把所得各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为 . 1．函数 的单调递增区间为_________． 【详解】由 ，解得，所以定义域为 ， 易知 在定义域单调减，由复合函数的单调性：同增异减， 求出 的减区间即为函数 的单调递增区间， 再结合二次函数的性质可知， 的单调递增区间为 . 2．函数 在区间上单调递增， 则实数 的取值范围为______. 【详解】令 ，则函数的开口向上，对称轴为 ， 函数 ，即为 ， 由对数函数的性质可得 为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知 在区间 上单调递减，且恒大于等于0， 所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 . 1．已知函数 ，求的单调递减区间． 【详解】（1）因为 的定义域为， 所以 ， 令 ， ，则 ， 因为 在 上单调递增， 所以，要求函数 的单调递减区间，只需求 的单调递减区间， 因为 在 上单调递减，所以， ，解得 ， 所以 的单调递减区间为 . 2．若函数 与函数互为反函数，则 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【详解】由反函数定义可知 ，其在上单调递增， 由 得 ，其中 在 上单调递增，在 上单调递减， 由同增异减可知 的单调递减区间是 . 3．若函数 （且 ）在区间 内单调递增，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】令 ，∵，∴ 在 上单调递减， ∵函数 （ 且 ）在区间 内单调递增， ∴函数 是减函数，且 在 上恒成立， ∴ ，∴ ，即 的取值范围是 1．已知函数 （且 ）在区间 上的最大值与最小值之差为1，则实数 的值为（    ） A． B． C． 或 D．2或 【详解】设 ，对称轴为直线，定义域为 ， 则 在 上单调递增，当 ，当 ，得 ， ，分两种情况讨论对数函数的单调性： ①当 ， 在 上单调递增，最大值为 ，最小值为 ，所以 ，得 ，得 ，满足 ②当 ， 在 上单调递减，最大值为 ，最小值为 ，所以 ，得 ，得 ，满足 综上， 或 . 2．函数 的值域为，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】令 ， 函数 的值域为 ，即 能取到所有正数. 当 时， ，能取到所有正数，满足条件； 当 时， 是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需 ，所以 ； 当 时， 是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上， ，故实数 的取值范围是 . 3．已知函数 . (1)当 时，求该函数的值域；(2)若 对于 恒成立，求实数 的取值范围. 【详解】（1） 令 ，则 在 上的值域 在 上的值域 由于 .所以 在 上的值域为 . （2）令 ，因为，所以 ，则 变为 ， 化简得 ，即 成立. 因为 在 上单调递增，所以 . 所以 的取值范围为： . 1．已知函数 ，则函数值域为________． 【详解】所以当 时，在定义域内单调递减， 在 取到最小值，所以 . 当 时， ，所以 ，函数在定义域内单调递增，故 . 所以 . 2．已知对数函数 在上的最大值和最小值的和为1． (1)求 的解析式． (2)已知函数 ． （i）若 的定义域为 ，求 的取值范围； （ii）若 的值域是 ，求 的值． 【详解】（1）设 （且 ）， 因为 是单调函数，所以 在 上的最大值和最小值的和为 ， 则 ，解得 ，所以 . （2）由题意得 ， （i）由 的定义域为 ，可知 在 上恒成立， 当 时， ，符合题意；当 时， ，解得 ， 综上所述 的取值范围是 ； （ii）令 ，由 的值域是 ， 可得 取得 内任意实数，则 的最大值是16. 由 ，得 ，且 ，则 . 1．已知函数 （a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断 的单调性并加以证明； (3)当 时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围． 【详解】（1）因为 是奇函数， 所以 ，即 ，则 ， 故 ，则 ，由于x不恒为常数，则 ，即 ， 当 时， ，不满足题意； 当 时，由 ，得 或 ， 所以 的定义域为 ，关于原点对称， 又 ，所以 满足题意；综上， ． (2) 在区间和 单调递增，证明如下： 的定义域为 ， 当 时，因为 ，令 ，则 ，取 ， 则 ，即 ， 因为 在其定义域上单调递增，所以 ，所以 ，即 ， 所以 在 上单调递增. 因为 是奇函数，所以 在 上也是单调递增，所以 在区间 和 单调递增； （3）因为 为奇函数， 所以由 ，得 ， 因为 在其定义域上单调递增，所以 在 上恒成立，则 恒成立， 令 ，则 ， ，所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时，等号成立， 所以 ，即实数 的取值范围为 1．判断下列函数的奇偶性. （1） ；（2） 【详解】（1）由 得，可知 的定义域为 ，定义域关于原点对称， 且 ，则 是定义在 上的偶函数， （2）函数 的定义域为， 又 ， 所以函数 是奇函数. 2．已知函数 ，不等式在 上恒成立，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】因为 在上单调递增，且 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增，又 定义域为 ， 且 ，所以 是偶函数， 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 化为 ， 即 在 上恒成立，又函数 在 上单调递减， 所以 时， 最小，且为 ，所以 ， ， 又 时， ，不符合题意，所以 或 ， 即 的取值范围是 . 3．已知函数 为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围； 【详解】（1）∵ 是奇函数，且定义域为，∴ ，即 ， 解得 ，将 代入函数得 ， ，符合奇函数定义，∴ . （2）∵ ，单调递增，∴ 在定义域 上单调递增， 又 ， ，∴ ， ∵ ， ∴令 ，则 ， 又 ， ，函数 对称轴为 ，开口向上，∴ ， ∵对任意的 ，总存在 ，使得 成立，即 ， 即 ，∴ .所以实数 的取值范围为 . $