精品解析：上海市虹口区2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

2026学年度第一学期期中学生学习能力诊断练习八年级数学学科试卷 （90分钟完成，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 下列各选项中，的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） ①互为相反数的两个数的立方根也互为相反数； ②任何实数不是正实数就是负实数； ③任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示； ④有理数是有限小数或无限循环小数； A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 5. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 6. 图1是一张等腰直角三角形纸片，其中，现按照图2的方法在该纸片上裁剪出若干条宽度为的长方形纸条（），剪拼这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图3所示，镶边后得到正方形，那么原来这幅正方形美术作品的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 121的算术平方根是______． 8. 将化成小数是____________． 9. 的小数点与左起第一个非零数字之间有___________个0． 10. 已知关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围是___________． 11. 我国神舟二十号飞船在轨道运行速度约为，则按该速度飞行100天路程用科学记数法表示为___________． 12. 实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果是__________________ 13. 若，则x的取值范围为____． 14. 已知，那么的值是___________． 15. 化简：________． 16. 南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中提出“幻圆”的概念．如图，“幻圆”中内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，那么___________． 17. 已知，，且实数，那么的值为___________． 18. 如图，面积为的正方形的边在数轴上，点B表示的数为1．将正方形沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为，点A、B、C、D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为S．当时，数轴上点表示的数是__________（用含a的代数式表示）． 三、简答题（本大题共6题，每小题6分，共36分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 解方程： 22. 用公式法解方程：． 23. 用配方法解方程：． 24. 先化简，再求值：，其中，． 四、解答题（本大题共4题，其中25、26题各6分，27、28题各8分，共28分） 25. 已知关于的方程有两个实数根、，且，求的值． 26. 整理错题是一种很好的学习习惯，欢欢和乐乐把自己的错题进行了整理，并互相分享： 欢欢分享的题目 乐乐分享的题目 化简：． 化简求值：，其中． 乐乐的解答 欢欢的解答 解：原式 ． 解：原式 ． 你认为欢欢和乐乐的解答对吗？如果做得不对，请帮其予以改正． 27. 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． 推理证明： 解：设、是连续的正整数， ，， 对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． （1）【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明； （2）【深入思考】若（，为两个连续奇数，，），求证：一定是偶数． 28. 我们称关于的方程与关于的方程互为伴随方程，其中、、为已知数，且．例如，方程的伴随方程是． （1）如果是方程的伴随方程的解，那么的值是___________； （2）如果关于的方程的两个实数根分别为、，关于的方程的两个实数根分别为、，请你猜想、、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）已知关于的方程的两个实数根是，，解关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年度第一学期期中学生学习能力诊断练习八年级数学学科试卷 （90分钟完成，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数； C、是整数，属于有理数； D、是分数，属于有理数． 2. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】先将各组二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同． 【详解】解：A选项： ∵，， ∴被开方数不同，不是同类二次根式． B选项： ∵， ∴化简后被开方数为7，与的被开方数相同，是同类二次根式． C选项： ∵与均为最简二次根式，且被开方数不同， ∴不是同类二次根式． D选项： ∵， ∴与的被开方数不同，不是同类二次根式． 3. 下列各选项中，的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式，判断选项与相乘后是否不含二次根式. 【详解】解：，积不含二次根式，符合要求， 其余选项与相乘后均含二次根式，不符合要求. 4. 下列说法中正确的是（ ） ①互为相反数的两个数的立方根也互为相反数； ②任何实数不是正实数就是负实数； ③任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示； ④有理数是有限小数或无限循环小数； A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先明确每个说法对应的数学概念，逐一验证每个说法的正确性． 对于①，利用相反数的定义和立方根的性质，推导互为相反数的两个数的立方根的关系． 对于②，回忆实数的分类，判断是否存在既不是正实数也不是负实数的实数． 对于③，依据实数与数轴上的点一一对应的关系，分析无理数与数轴的对应性． 对于④，根据有理数的定义，判断有理数是否为有限小数或无限循环小数． 最后结合各说法的正确性，匹配对应的选项． 【详解】①设互为相反数的两个数为与， ∵， ∴①正确． ②∵存在实数既不是正实数也不是负实数， ∴②错误． ③∵数轴上的点与实数一一对应，无理数是实数的一部分， ∴③正确． ④∵有理数都可以化为有限小数或无限循环小数， ∴④正确． 综上，正确的说法是①③④． 5. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 6. 图1是一张等腰直角三角形纸片，其中，现按照图2的方法在该纸片上裁剪出若干条宽度为的长方形纸条（），剪拼这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图3所示，镶边后得到正方形，那么原来这幅正方形美术作品的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出能裁剪的纸条的条数为条，再证出是等腰直角三角形，且，从而可得的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∵按照图2的方法在该纸片上裁剪出若干条宽度为的长方形纸条， ∴能裁剪的纸条的条数为（条），，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 同理可得，另两条纸条的长分别为，， ∴长方形纸条的总长度为， ∵按照图3镶边后得到正方形， ∴，， ∴， ∴正方形美术作品的面积为． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 121的算术平方根是______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】∵， ∴，即121的算术平方根是11， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了算术平方根的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 8. 将化成小数是____________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】将带分数拆分为整数部分与真分数部分的和，通过分子除以分母计算真分数对应的小数值，再与整数部分合并得到最终小数结果． 【详解】解：∵带分数可拆分为整数部分与真分数部分的和， ∴， 真分数部分的小数值为， ， 故（或）． 9. 的小数点与左起第一个非零数字之间有___________个0． 【答案】7 【解析】 【分析】将科学记数法表示的较小数还原为原数，数出小数点与左起第一个非零数字之间的0的个数即可． 【详解】解：， 小数点与左起第一个非零数字3之间共有7个0． 10. 已知关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求确定的取值范围． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项合并同类项可得， ∵该方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0， 即， ∴． 11. 我国神舟二十号飞船在轨道运行速度约为，则按该速度飞行100天路程用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算100天的总飞行小时数，再根据路程等于速度乘时间计算总路程，最后根据科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数，将结果表示出来即可． 【详解】解：100天的总飞行时间， 飞行总路程． 12. 实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果是__________________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式和计算立方根，根据数轴可得到，则，据此计算立方根和化简二次根式并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 若，则x的取值范围为____． 【答案】﹣≤x＜1 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 解得：﹣≤x＜1， 故答案为﹣≤x＜1． 14. 已知，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察已知x的表达式，先计算的取值，再对分式的分子通过配方法变形，简化运算． 【详解】解： ， ， 原式． 15. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据最简二次根式的定义，需将根式内的分母去掉，因此要根据的符号和被开方数的非负性判断出的符号，然后再化简． 【详解】解：，且， ， ． 16. 南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中提出“幻圆”的概念．如图，“幻圆”中内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，那么___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由内圆四个数字的和与外圆纵向直径上的四个数字的和相等，即可求解． 【详解】解：设内圆上未知的数字为x， 由题意得， ∴． 17. 已知，，且实数，那么的值为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】由已知条件可判断p、q是一元二次方程的两个不相等的实数根，借助根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ p、q是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ ．， ∴． 18. 如图，面积为的正方形的边在数轴上，点B表示的数为1．将正方形沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为，点A、B、C、D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为S．当时，数轴上点表示的数是__________（用含a的代数式表示）． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，分情况讨论：当正方形沿着数轴水平向右移动时，当时得到，求出，根据点表示的数为，可得到点表示的数；正方形沿着数轴水平向左移动时， 当时得到，求出，根据点表示的数为，可得到点表示的数． 【详解】解：如图，当正方形沿着数轴水平向右移动时， 正方形的面积为， 正方形的边长为， 移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为， 当时，， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 当正方形沿着数轴水平向左移动时， 移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为， 当时，， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 综上所述：点表示的数为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了实数与数轴，数轴上两点间的距离，分情况讨论，利用得到是解题的关键． 三、简答题（本大题共6题，每小题6分，共36分） 19. 计算：． 【答案】 0 【解析】 【分析】先化简算术平方根、立方根与二次根式，再计算即可． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 21. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解： 或 ∴，； 【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 22. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先确定一元二次方程一般形式中的a、b、c的值，再计算判别式，然后代入求根公式求解即可． 【详解】解：由方程，得， ∴， ∴，即， ． 23. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 24. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【解析】 【分析】对两个分式分别因式分解约去公因式完成化简，再代入给定的a，b值计算即可． 【详解】解： , 当时， 原式． 四、解答题（本大题共4题，其中25、26题各6分，27、28题各8分，共28分） 25. 已知关于的方程有两个实数根、，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式得到，由根与系数的关系得到，根据得到关于的一元二次方程，进行计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 根据根与系数的关系可得：， 又∵， ， ∴， 整理得， 解得． ∵， ． 26. 整理错题是一种很好的学习习惯，欢欢和乐乐把自己的错题进行了整理，并互相分享： 欢欢分享的题目 乐乐分享的题目 化简：． 化简求值：，其中． 乐乐的解答 欢欢的解答 解：原式 ． 解：原式 ． 你认为欢欢和乐乐的解答对吗？如果做得不对，请帮其予以改正． 【答案】 乐乐的解答错误，欢欢的解答错误． （1）欢欢分享的化简题正确结果为，改正过程： ∵且， ∴， ∴原式 ； （2）乐乐分享的化简求值题正确结果为，改正过程： 原式 ， ∵， ∴， ∴， ∴原式 ． 【解析】 【分析】欢欢分享的题目：先根据二次根式有意义的条件确定为负数，再利用二次根式的性质化简各项，合并后得到结果；乐乐分享的题目：先将根号内的式子配方为完全平方式，再结合的取值判断绝对值内式子的符号，去绝对值后代入计算． 【详解】略 27. 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． 推理证明： 解：设、是连续的正整数， ，， 对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． （1）【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明； （2）【深入思考】若（，为两个连续奇数，，），求证：一定是偶数． 【答案】（1） 证明：设、是连续的正整数， ， ； （2） 证明：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴ ， ∴p一定是偶数． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）设、是连续的正整数，根据题意列式计算即可证明； （2）由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 我们称关于的方程与关于的方程互为伴随方程，其中、、为已知数，且．例如，方程的伴随方程是． （1）如果是方程的伴随方程的解，那么的值是___________； （2）如果关于的方程的两个实数根分别为、，关于的方程的两个实数根分别为、，请你猜想、、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）已知关于的方程的两个实数根是，，解关于的方程． 【答案】（1） （2）猜想：，． 证明：∵是方程的实数根 ∴ ∵ ∴，，， ∴方程两边同时除以 ， ， ∴是方程的实数根， ∴是方程的两个实数根， 又∵， ∴，； （3），． 【解析】 【分析】（1）先写出方程的伴随方程，再把代入伴随方程求出； （2）猜想原方程的根的倒数是伴随方程的根，设原方程的根，在等式两边同除以变形，证明满足伴随方程； （3）先整理关于的方程，换元，利用伴随方程根的关系求解． 【小问1详解】 解：∵方程的伴随方程是， ∵是伴随方程的解 ∴， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ∵方程的两根为，， ∴它的伴随方程的两根为， ， ∴或， ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $