上海世外教育附属虹口区欧阳学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

上海市虹口区欧阳学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1．下列各数中，无理数是（　　） A．0 B． C． D．0.1010010001 2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．下列根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 4．下列方程是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（　　） A． B．2 C． D．0 6．如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7．16的平方根是 　　． 8．比较大小：　 　9． 9．某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学记数法表示这个数为 　　米． 10．已知，，则 　　． 11．要使式子有意义，则的取值范围是　　 ． 12．把根号外面的式子移到根号内，则　　． 13．分母有理化：　　． 14．方程的解是　　 ． 15．写一个关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是，两根之积是，这样的方程是：　　 ． 16．若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是　　 ． 17．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为　　 ． 18．观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 　　． 三、简答题（本大题共5题，每小题6分，共30分） 19．计算：． 20．计算：． 21．解不等式：． 22．解方程：． 23．用配方法解方程． 四、解答题（第24、25、26题8分，第27题10分，共34分） 24．已知，求的值． 25．已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相筹的实数根． （2）若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 26．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，． 当时，可忽略，得，解得，． （1）填空：的整数部分的值为 　　 ； （2）仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到． （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 27．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． （2）关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根　　 ． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、，求一元二次方程的两根． 上海市虹口区欧阳学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C C D A D 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1．下列各数中，无理数是（　　） A．0 B． C． D．0.1010010001 【考点】算术平方根；无理数 【专题】实数；数感 【分析】根据无限不循环小数是无理数判断即可． 【解答】解：、0是有理数，故此选项不符合题意； 、是有理数，故此选项不符合题意； 、是无理数，故此选项符合题意； 、0.1010010001是有理数，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式． 2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简二次根式 【专题】二次根式；运算能力 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； ，是最简二次根式，符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3．下列根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【考点】同类二次根式 【专题】推理能力；二次根式；运算能力 【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可． 【解答】解：、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 、与是同类二次根式，能合并，符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 4．下列方程是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【考点】一元二次方程的定义 【专题】运算能力；一元二次方程及应用；推理能力 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次项次数为2的整式方程）逐一判断各选项． 【解答】解：、方程中含有一个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、方程只含两个未知数，不符合题意； 、方程中含有一个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、方程中含有一个未知数，是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键 5．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（　　） A． B．2 C． D．0 【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【分析】先把代入一元二次方程得，再解关于的一元二次方程，然后根据一元二次方程的定义确定的值． 【解答】解：把代入一元二次方程得， 解得，， ， 的值为． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 6．如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（　　） A． B． C． D． 【考点】实数与数轴 【专题】实数；数感 【分析】用点加上即可求出点表示的数． 【解答】解：、两点对应的实数分别是和， ， 点与点关于点对称， ， 点对应的数为：． 故选：． 【点评】本题考查了用数轴表示点的相关应用，利用数轴比较点的大小是解题关键． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7．16的平方根是 　　． 【考点】平方根 【专题】实数；数感 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【解答】解：， 的平方根是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键． 8．比较大小：　　9． 【考点】：实数大小比较 【分析】利用二次根式的性质，把9化为，然后只需根据条件分析被开方数即可． 【解答】解：，， ， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的大小比较，注：无理数和有理数比较大小，常把有理数化成根式的形式． 9．某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学记数法表示这个数为 　　米． 【考点】科学记数法—表示较小的数 【专题】实数；数感 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了科学记数法表示较小的数，掌握形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是关键． 10．已知，，则 　449.9　． 【考点】算术平方根 【专题】运算能力；实数 【分析】被开方数的小数点向右移动4位，其算术平方根的小数点就相应的向右移动2位，由此计算即可． 【解答】解：， ， 故答案为：449.9． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的小数点移动规律是解题的关键． 11．要使式子有意义，则的取值范围是 ． 【考点】二次根式有意义的条件 【专题】二次根式；运算能力 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【解答】解：要使式子有意义，则， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12．把根号外面的式子移到根号内，则　　． 【考点】二次根式的性质与化简 【专题】二次根式；运算能力 【分析】直接利用二次根式的性质得出的符号，进而化简得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 13．分母有理化：　　． 【考点】76：分母有理化 【专题】11：计算题 【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答． 【解答】解：， 故答案为． 【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 14．方程的解是， ． 【考点】解一元二次方程直接开平方法 【专题】运算能力；一元二次方程及应用 【分析】利用直接开平方法解出方程． 【解答】解：， 则， ， ，， 故答案为：，． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 15．写一个关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是，两根之积是，这样的方程是： ． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的一般形式 【专题】一元二次方程及应用；推理能力 【分析】设一元二次方程为，则，，解得，，即可得到答案． 【解答】解：设一元二次方程为， 则，， 解得，， 一元二次方程为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 16．若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是 ． 【考点】根的判别式 【专题】运算能力；一元二次方程及应用 【分析】若关于的一元二次方程，没有实数根，则△，列出关于的不等式，求得的取值范围即可． 【解答】解：关于的一元二次方程，没有实数根， △， 即， 解这个不等式得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根． 17．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为　10或11　 ． 【考点】一元二次方程的解；等腰三角形的性质；解一元二次方程因式分解法；三角形三边关系 【专题】等腰三角形与直角三角形；一元二次方程及应用；运算能力 【分析】利用因式分解法解出方程，再根据等腰三角形的性质、三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：， 则， 或， ，， 当长为3的边是三角形的腰时，三角形的周长为：， 当长为4的边是三角形的腰时，三角形的周长为：， 综上所述：该三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 18．观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 　　． 【考点】实数的运算；规律型：数字的变化类 【专题】运算能力；规律型；实数 【分析】观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含的等式表示出第个式子是解题的关键． 三、简答题（本大题共5题，每小题6分，共30分） 19．计算：． 【考点】二次根式的混合运算 【专题】运算能力；二次根式 【分析】先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 20．计算：． 【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简 【专题】运算能力；二次根式 【分析】利用二次根式的乘除法则及性质计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查二次根式的乘除法及性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 21．解不等式：． 【考点】：二次根式的应用；：解一元一次不等式 【分析】按照移项、合并同类项、系数化1的顺序依次计算即可，注意最后结果化为最简． 【解答】解：移项得： 合并同类项得：， 即： 系数化1得： 化简得： 【点评】本题考查了二次根式的应用及一元一次不等式的解法，属于基础运算，应该重点掌握． 22．解方程：． 【考点】：解一元二次方程因式分解法 【分析】先移项得到，再把方程左边分解得到，则方程转化为，，然后解一次方程即可． 【解答】解：． ． ， ，， ，， 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把一元二次方程化为一般式，然后把方程左边分解为两个一次式的积，从而可把一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，得到一元二次方程的解． 23．用配方法解方程． 【考点】：解一元二次方程配方法 【分析】借助完全平方公式，将原方程变形为，开方，即可解决问题． 【解答】解：， ， ， ， ． 【点评】该题主要考查了用配方法来解一元二次方程的问题；准确配方是解题的关键． 四、解答题（第24、25、26题8分，第27题10分，共34分） 24．已知，求的值． 【考点】分母有理化；二次根式的化简求值 【专题】分式；运算能力；二次根式 【分析】利用分母有理化把的值化简，代入原式计算得到答案． 【解答】解：， 则原式． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、分母有理化，熟记二次根式的混合运算法则是解题的关键． 25．已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相筹的实数根． （2）若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 【考点】根的判别式；根与系数的关系 【专题】运算能力；一元二次方程及应用 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，只要证明△恒成立即可． （2）设两根为，，结合两个实数根的平方和等于5以及根与系数的关系求解即可． 【解答】（1）证明：△， 不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； 解：（2）设方程的两根为，， 由韦达定理可知，，， 方程两个实数根的平方和等于5，即 ， 即， 解得或， 当时，方程为，解得，； 当时，方程为，解得，； 综上，，根为，；或，根为1，2． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式△的符号的关系，利用根与系数的关系正确求得的值是解题关键． 26．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，． 当时，可忽略，得，解得，． （1）填空：的整数部分的值为 　12　 ； （2）仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到． （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【考点】估算无理数的大小 【专题】实数；运算能力 【分析】（1）先估算的大小，从而求出其整数部分； （2）设，，画出边长为的正方形，然后结合图形，根据面积公式，列出关于的方程，解方程求出，从而求出答案即可． 【解答】解：（1）， ， 的整数部分是12， 故答案为：12； （2）， 设，，如图所示： ， ， ，忽略得：， 解得：， ． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 27．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． （2）关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根 ． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、，求一元二次方程的两根． 【考点】一元二次方程的解；根的判别式；根与系数的关系 【专题】运算能力；一元二次方程及应用 【分析】（1）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； （2）根据一元二次方程根的定义：将代入方程中，再两边同时除以，可得结论． （3）利用根与系数的关系求得，，代入个方程，整理后，利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）设所求方程的根是，则，所以， 把代入，得； （2）关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、， ，， ，， 方程化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $