江苏省南京市鼓楼区2026-2027学年九年级上学期数学期中复习模拟练习卷

2026-2027学年九年级上学期数学期中复习模拟练习卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 3．如图，内接于圆，过点B的直线与的延长线交于点D．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，分别以点、为圆心，为半径作圆，当与轴相切，与轴相切时，连接．若，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 6．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7．若方程是一元二次方程，则的取值范围为________． 8．若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 9．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为_____．（结果保留π） 10．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某大学利用周末向市民开放图书馆，据统计，第一个月进馆600人次，每月进馆人次增长率相同，第三个月进馆864人次，预计第四个月进馆人次将达到_________左右． 11．在函数的图象上有三个点，，，函数值，，的大小关系为________． 12．如图，在中，直径弦CD于点M，，，则CD的长为___________． 13．若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 14．如图，是的切线，A为切点， 的延长线交于点 B，连接．若，则的度数为__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是______． 16．如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大为_______．    三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解方程： (1) (2) 18．已知关于x的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根； (2)证明：无论k取何值，该方程总有实数根． 19．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求反比例函数的解析式和自变量的取值范围； (2)当时，求y的值； (3)判断点是否在这个函数的图象上． 20．加图，内接于，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 22．按要求作图（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作一条弦，使，且． (2)作一条弦，使，且与的夹角为． 23．如图，是的外接圆，为直径，为的中点，． (1)求证：为的切线； (2)已知，为的中点，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于、两点且点C的坐标为，点的坐标为． (1)直接写出一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当自变量取何值时，； (3)求的面积． 25．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 26．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了部分相应点， (1)如图，请你描出余下的点，并作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，， ，在函数图象上，则______，_____；（填“”，“”或“”） ②当函数值时，自变量的取值范围是______； ③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值为______； ④若直线与函数图象有三个不同的交点，的取值范围是______． 27．【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学期中复习模拟练习卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵选项A、C、D中的方程均含有2个未知数，∴均不是一元二次方程． ∵选项B中的方程只含1个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，∴是一元二次方程． 2．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 【答案】B 【分析】从反比例函数的值符号入手，结合其图象与性质判断各选项，注意增减性的适用范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数图象位于第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，图象与坐标轴不相交，故A、C正确，B错误． ∵当时，图象在第二象限， ∴，故D正确． 3．如图，内接于圆，过点B的直线与的延长线交于点D．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定理．掌握在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题关键．根据等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算根的判别式，结合平方的非负性判断其符号，进而确定根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，则有： ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，分别以点、为圆心，为半径作圆，当与轴相切，与轴相切时，连接．若，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，根据勾股定理可得，因为，所以得，再解方程即可作答． 【详解】解：根据题意可知， 把代入，得； 把代入，得； ∴，， ， ， ， ， 解得或（，故舍去）， 故选：D 6．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， 取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP， 点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P， 当点O、点P、点C三点共线时，PC最小 在中， ，，， ， 最小值为 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7．若方程是一元二次方程，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】原方程化为（k-6）x2+x-1=0，令k≠6即可． 【详解】原方程可化为（k-6）x2+x-1=0， ∵方程是一元二次方程， ∴k-6≠0， ∴k≠6． 故答案是：k≠6． 【点睛】考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，解题关键是根据定义令二次项系数不为0即可． 8．若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：． 9．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为_____．（结果保留π） 【答案】6π 【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π． 故答案为：6π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式． 10．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某大学利用周末向市民开放图书馆，据统计，第一个月进馆600人次，每月进馆人次增长率相同，第三个月进馆864人次，预计第四个月进馆人次将达到_________左右． 【答案】 1037人次 【分析】已知首月进馆600人次，第三个月进馆864人次，每月增长率固定，先求月平均增长率，再计算第四个月的预计进馆人次． 【详解】解：设每月进馆人次的平均增长率为， ∵ 进馆人次每月按固定增长率增长，从第一个月到第三个月共经过2次增长， ∴ 列方程得 ， 方程两边同时除以600，得 ， ∵ 进馆人次的增长率为正值，舍去不符合实际意义的负根， ∴ ，解得 ， ∵ 第四个月的进馆人次是在第三个月的基础上再增长一次， ∴ 第四个月预计进馆人次为 （次）． 11．在函数的图象上有三个点，，，函数值，，的大小关系为________． 【答案】 【分析】结合反比例函数的图象分布与增减性，根据三个点的横坐标判断所在象限，即可比较函数值大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点、的横坐标为负数， ∴这两个点位于第三象限，对应的函数值均为负数， ∵，且在第三象限内，随的增大而减小， ∴， ∵点的横坐标为正数， ∴该点位于第一象限，对应的函数值， 综上可得． 12．如图，在中，直径弦CD于点M，，，则CD的长为___________． 【答案】8 【分析】连接OC，根据勾股定理求出CM的长，再根据垂径定理即可得到CD的长度． 【详解】连接OC，如图， ∵，， ∴， 在Rt△OMC中， ， ∵直径于点M， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 13．若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】将所求代数式通分变形为含两根之和、两根之积的形式，结合一元二次方程根与系数的关系求出对应值，代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴将，代入， 可得． 14．如图，是的切线，A为切点， 的延长线交于点 B，连接．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先连接，根据切线的性质可得到，再根据角度的加减算出，根据等腰三角形的性质和外角的性质可得到的大小，再根据直角三角形中两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，外角的性质和直角三角形中两锐角互余，解决此题的关键是要正确的计算各个角度的大小． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是______． 【答案】 【分析】利用矩形的性质求出点的坐标，可求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，得到的长，过点作于，求出高的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点， ∴，，， ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴反比例函数， 把代入，得， ∴， ∴， 过点作于， 则， ∴． 16．如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大为_______．    【答案】 【分析】过点作的垂线，在垂线上截取，连接，从而可证，进而得到，将求线段的最大值转化为求的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接，    ∴， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 连接，并延长交圆于点，即为最大值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）利用配方法求解； （2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：移项，得， 配方得：，即， ，， 解得：，； （2）解：， 移项，得， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 18．已知关于x的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根； (2)证明：无论k取何值，该方程总有实数根． 【答案】(1)该方程的另一个根为 (2) 证明：∵ ， ∴无论k取何值，该方程总有实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式及根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程中得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值，再把k的值代入原方程求出原方程的解即可； （2）根据根的判别式进行判断即可． 【详解】（1）解：∵方程有一个根是2， ∴ 解得：． ∴原方程为：． 设另一根为，则， 解得． ∴该方程的另一个根为； （2）略 19．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求反比例函数的解析式和自变量的取值范围； (2)当时，求y的值； (3)判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，自变量的取值范围是． (2)． (3)点不在这个函数的图象上． 将代入，得． ， 点不在这个函数的图象上． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，写出取值范围即可； （2）把自变量的值代入计算即可； （3）把横坐标代入计算得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：设，当时，． ∴ 解得， ∴反比例函数的解析式为，自变量的取值范围是． （2）解：当时， （3）略 20．加图，内接于，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵内接于，， ∴， ∴平分， ∵过圆心， ∴； (2) 【分析】本题考查了勾股定理，弦与弧的关系，垂径定理的推论，熟练掌握知识点是解题的关键： （1）由得到，即平分，由垂径定理推论得到； （2）延长交于，连接，由垂径定理推论继续得到，在由勾股定理得，则，在中由勾股定理即可求解 ． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长交于，连接， 由上得，平分， ∵过圆心， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴由勾股定理得，． 21．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2)2011 【分析】（1）直接根据定义把二次项系数和常数项交换即可； （2）先根据定义写出原方程的倒方程，然后根据方程的解的定义得到，接着代入所求代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程 的倒方程是， ∴把代入方程， 得 ， ∴， ∴ ． 22．按要求作图（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作一条弦，使，且． (2)作一条弦，使，且与的夹角为． 【答案】(1) 连接并延长交于点，连接，过点作交于点，，作弦，连接，则弦即为所求； (2) 过点作于，分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接、，过点作的垂线交于点，过点、作直线与交于、两点，则弦即为所求． 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，过点作交于点，，作弦，连接，弦即为所求； （2）过点作于，分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接、，过点作的垂线交于点，过点、作直线与交于、两点，则弦即为所求． 【详解】（1）解：设分别交、于点、， 由作图步骤可知，， 、为的直径， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 则弦即为所求； （2）解：连接，，， 由作图步骤可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分，即垂直平分， ∴， ∴， ∴，即与的夹角为． ∴， ∵， ∴由垂径定理的推论可知，则弦即为所求． 23．如图，是的外接圆，为直径，为的中点，． (1)求证：为的切线； (2)已知，为的中点，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1) 证明：如图，连接． 为的中点， ． ， ， 为的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，根据平行线性质得到，从而得到结论； （2）根据圆周角定理得到，结合题意，得到，根据求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：为的直径， ， ． 为的中点，为的中点， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，扇形面积的求解，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于、两点且点C的坐标为，点的坐标为． (1)直接写出一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当自变量取何值时，； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先利用反比例函数的表达式计算出点的坐标，再使用待定系数法求出一次函数的表达式； （2）根据图象进行判断即可； （3）将分割为和，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， ∴点的坐标为， 将点，代入得，， 解得， ∴一次函数表达式为：； （2）解：由图象可知，当或时，； （3）解：将，代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 25．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 26．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了部分相应点， (1)如图，请你描出余下的点，并作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，， ，在函数图象上，则______，_____；（填“”，“”或“”） ②当函数值时，自变量的取值范围是______； ③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值为______； ④若直线与函数图象有三个不同的交点，的取值范围是______． 【答案】(1) (2)①，；②；③2；④ 【分析】（1）根据表格描出余下的点，再连线即可作出函数图象； （2）①观察函数图象的增减性，即可解答；②观察函数图象即可求解；③观察函数图象可知，当时，函数图象关于直线对称，再结合题意即可求解；④观察函数图象即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①观察图象可知，点，在上， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； 观察图象可知，点 ，在上，且当时，有， ∵，， ∴，， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； ②观察图象可得，当函数值时，自变量的取值范围是； ③观察图象可得，当时，函数图象关于直线对称， ∵在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴； ④∵直线与函数图象有三个不同的交点， ∴观察图象可得，的取值范围是． 27．【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 【答案】(1)3 (2) 证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， 是折弦的中点； (3) (4)或 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点； （3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出． 【详解】（1）解：是的切线，为切点， ， ， ，， ， ， 是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）略 （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， ； （4）解：是的直径， ， ，， ， 当点在上时，如图， ， ， 过点作交于点， ， ， ； 当点在上时，如图，， 过点作交于点， ， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 3 6 答案 B B D D D 7.k≠6 8.m>2 9.6π 10 1037人次 11. 2<y<y 12.8 13.-5 14.26% 15月 16.42+2 17.0)=1+3x=1-5 13 2)x=26=4: 18.(1)该方程的另一个根为2 (2) 证明：.△=(-k-4×2(k-3) =k2-8k+24 =(k-4)2+8>0 无论k取何值，该方程总有实数根 19.0四反比例函数的解折式为少=24 ,自变量的取值范围是x≠0： 12,2) (3)点 不在这个函数的图象上. 24 将x=12代入少=行，得y=-2. -2≠2， 点22 不在这个函数的图象上 20.(1) 证明：：△ABC内接于⊙O,AB=AC, AB-AC :A0平分BMC ,AO过圆心， .AO⊥BC: 230 21.(1)x2+3x-4=0 (2)2011 22.(1) 连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,过点O作CF⊥AE交⊙O于点C,F,作弦 FD=BE,连接CD,则弦CD即为所求； E M N B (2) 过点O作OM⊥AB于M,分别以点O、M为圆心，OM长为半径画弧，两弧相交于点N, 连接ON、MN,过点O作MN的垂线交AB于点F,过点N、F作直线与⊙O交于C、 D两点，则弦CD即为所求 23.(1) 证明：如图，连接OD 为 的中点， B D BC .OD⊥BC DE∥BC, OD⊥DE, DE为⊙O的切线； 9√3-3元 (2)2 24.0y+4 (2)x<-4或0<x<12 (3)32 25.(1)月平均增长率为20% (2)售价应降低20元 3 26.(154329 2 (2)①<，<：②x>3;③2：④0<a<2 27.(1)3 (2) 证明：在BC上截取CG=AB,连接MC、MG、MB、MA, M 点是 B 的中点， D G A M ABC ∴.MA=MC ∠A=∠C, ·.AMAB≌aMCG(SAS), .MB=MG. MD⊥BC, .BD=DG. ∴.AB+BD=CG+DG=CD. ∴D是折弦ABC的中点： (3)DB=CD+BA ④D=7V2V2 或