精品解析：黑龙江绥化市望奎县火箭联盟体2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年度第一学期初四数学期中考试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 本卷满分120分，考试时间90分钟． 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 若一元二次方程的一个根为，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 5. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点的坐标为，作与关于点成中心对称的，顶点的坐标为，再作与关于点成中心对称的，顶点的坐标为，，按照这样的规律一直作下去，则的顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 11. 已知外一点，若线段，则的半径为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 10 12. 如图，抛物线的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 直角三角形中斜边长为10，另两条边的长为连续偶数，则直角三角形的周长为____________________． 14. 一元二次方程化成一般形式为__________． 15. 如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___ 16. 如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是________． 17. 已知反比例函数，（为常数，）若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，则的取值范围是___________； 18. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则a的取值范围是___________________________． 19. 已知正方形，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，，则的长为________． 20. 在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________． 21. 已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______． 22. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 三、作图题（6分） 23. 如图，在平面直角坐标系内，点，，，将绕点顺时针旋转，得到． （1）在图中画出； （2）直接写出点和点的坐标． 三、解答题（48分） 24. （1）解方程：． （2）已知关于的二次函数的图像经过点，求的值． 25. 先化简，再求值：，其中点在反比例函数上，且，均为整数． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 27. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 28. 如图，在中，，，．点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． （1）求证：； （2）若时，求的长； （3）点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期初四数学期中考试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 本卷满分120分，考试时间90分钟． 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 若一元二次方程的一个根为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程，求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 解得． 2. 反比例函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积等于比例系数，据此计算各选项判断即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴图象上的点满足； 选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，符合题意； 选项D：，不符合题意． 3. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】表示出第二天和第三天票房，然后根据“三天后累计票房收入达2亿元”列方程． 【详解】解：∵第一天票房约0.5亿元，增长率为， ∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元， 根据题意得，． 4. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到的值，整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 5. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、B选项，分别为正比例函数和一次函数，均不符合反比例函数定义． C选项，中的次数为，不符合反比例函数定义． D选项，可化为，符合反比例函数定义． 6. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各点横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 同理，得，. ， ． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当  时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B不符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C均不符合题意，D符合题意． 8. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点的坐标为，作与关于点成中心对称的，顶点的坐标为，再作与关于点成中心对称的，顶点的坐标为，，按照这样的规律一直作下去，则的顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别找到点，，的横坐标和纵坐标的规律，然后求解即可． 【详解】解：∵题中的三角形都是等边三角形，且都是依次作中心对称得到， 根据题意得，，，， ∴横坐标分别为，，， ∴横坐标为， 当n为奇数时，纵坐标为；当n为偶数时，纵坐标为， ∴当时，101为奇数，， ∴的顶点的坐标为． 10. 如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出，进而求出，利用阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 11. 已知外一点，若线段，则的半径为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点在外， ∴点到圆心O的距离大于半径， 结合线段，可得半径小于7， 选项中只有6符合条件. 12. 如图，抛物线的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线图象与轴有两个交点， ，①正确； 由函数图象开口向上知， 抛物线的图象与轴相交于、两点， 对称轴为直线，即， ，则，④正确； 抛物线图象与轴相交于负半轴， ， ，②正确； 由于抛物线图象开口向上，则时图象在轴上方，对应或，故③错误； 当时，， 时，或， 当时，，且在和之间， ，⑤正确； 故正确的有①②④⑤，共4个， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 直角三角形中斜边长为10，另两条边的长为连续偶数，则直角三角形的周长为____________________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用和解一元二次方程．根据两直角边为连续偶数的关系设未知数，结合勾股定理求解边长，进而计算三角形周长． 【详解】解：设较短的直角边长为，由两直角边为连续偶数可知，较长的直角边长为 ∵ 该三角形为直角三角形，斜边长为， ∴ 根据勾股定理列方程得， 展开整理得， 两边同除以2化简得， 因式分解得， 解得，， ∵ 三角形边长为正实数， ∴ 舍去负根，取， ∴ 较长直角边长为， ∴ 该直角三角形的周长为． 14. 一元二次方程化成一般形式为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 移项得． 15. 如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___ 【答案】10 【解析】 【分析】根据落地时，，代入求解即可． 【详解】解：∵落地时，， ∴将代入，得 ， 即， ， 解得（负根舍去）． 故铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是． 16. 如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标为，发现点与点纵坐标相同，利用抛物线对称性求出对称轴，再利用点与点关于对称轴对称求出点横坐标． 【详解】解：抛物线与轴相交于点， 点的坐标为． 点在该抛物线上，且坐标为， 点与点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为直线． 抛物线与轴相交于、两点， 点与点关于直线对称， 点的横坐标为． 17. 已知反比例函数，（为常数，）若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，则的取值范围是___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，当函数图象每一分支上随增大而增大时，比例系数小于0，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数，（为常数，）的图象每一分支上，随的增大而增大时， ∴， 解得． 18. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则a的取值范围是___________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的对应关系，列出关于a的不等式，求解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴该函数的比例系数小于0，即， 移项得， 两边同时除以2，得． 19. 已知正方形，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转性质得到，，结合正方形的边、角性质构造等腰直角三角形，通过勾股定理建立关系求解线段长度，最终计算的长. 【详解】解：∵ 四边形为正方形， ∴ ， ∵ 边绕点顺时针旋转得到线段 ∴ ， 延长交的延长线于点，过点作于点，延长交的延长线于点， ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形 ∴ ， ∵ ， ∴ 四边形为矩形 ∴ ， ∵ ∴ 为等腰直角三角形 ∴ ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形 ∴ 设 则， ∴ 在中，由勾股定理得 代入得： 整理得 ∵ 线段长度为正 ∴ ，即 ∴ ， ∴ 在中，由勾股定理得： 20. 在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过三边的平方关系判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形外接圆的直径等于斜边长的性质计算半径． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ． ∴ 由勾股定理的逆定理可得，是直角三角形，且． ∵ 圆周角为直角时，其所对的弦为圆的直径， ∴ 直角三角形的外接圆直径与斜边长度相等． ∴ 外接圆半径为． 21. 已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出扇形半径，再利用圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长求出，最后根据勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为， 由题意得， 解得， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， ∴． 22. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到；由垂径定理得到的长，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的长． 三、作图题（6分） 23. 如图，在平面直角坐标系内，点，，，将绕点顺时针旋转，得到． （1）在图中画出； （2）直接写出点和点的坐标． 【答案】（1）如图所示： （2）， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质进行作图即可； （2）由图可直接写出坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为． 三、解答题（48分） 24. （1）解方程：． （2）已知关于的二次函数的图像经过点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数的性质． （1）将原方程整理得到，根据因式分解法求解即可； （2）根据图像经过点得到，即，根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 展开左边：， 移项：， 化简：， 因式分解：， ∴； （2）解：∵二次函数图像经过点， ∴当时，， 代入解析式：， 即， 移项：， 化简：， 因式分解：， ∴． 25. 先化简，再求值：，其中点在反比例函数上，且，均为整数． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内分式减法，然后计算除法，直至化为最简分式，再结合点在反比例函数上，且，均为整数以及分式有意义的条件得出的值，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵，，， ∴且． 由点在反比例函数上，得． 因为a，b均为整数，所以a的所有可能取值为，． ∵且 ∴． 将代入得：原式． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 27. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理，结合三角形中位线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 28. 如图，在中，，，．点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． （1）求证：； （2）若时，求的长； （3）点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：由旋转得，，， ，即， 又∵， ． （2） （3）存在，最小值为72 【解析】 【分析】（1）由即可证明； （2）由全等的性质得到，求出，利用勾股定理求出； （3）证明，当时，最小，此时的值最小，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ，， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由（2）可知，． 当时，最小，此时的值最小， 为等腰直角三角形， ∴此时， ． ∴的最小值为72． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $