河北冀州中学2026-2027学年高一上学期第二次月考数学试题

衡水市冀州区河北冀州中学2026-2027学年高一第二次月考数学试题　参考答案与解析 （满分150分　时间120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D D A C D D 1. B 令 t=|x|≥0，原不等式化为 t²−2t−3≤0，即 (t−3)(t+1)≤0，得 0≤t≤3，即 |x|≤3，所以 −3≤x≤3，解集为 [−3,3]。 2. A A=[a,3]，B=(−1,2)。要使 A∩B=∅，A 的左端点须不小于 2（a=2 时 A=[2,3]，与 (−1,2) 无公共元素）；当 a>3 时 A=∅，也满足。故 a≥2。 3. D A 错：∛((2−π)²)=∛((π−2)²)=(π−2)^(2/3)，而 ∛(2−π) 为负数，两者不相等。 B 错：log₂5−log₂3=log₂(5/3)≠1。 C 错：10^(−lg2)=10^(lg(1/2))=1/2≠−2。 D 对：log₂3·log₃5·log₅8=(lg3/lg2)·(lg5/lg3)·(lg8/lg5)=lg8/lg2=log₂8=3。 4. D Δ=9+32=41>0，x₁+x₂=−3/2，x₁x₂=−2， |x₁−x₂|=√((x₁+x₂)²−4x₁x₂)=√(9/4+8)=√(41/4)=√41/2。 5. A 零点为 −3、1、2，其中 x=1 使分母为零，须挖去。由穿针法，≥0 的部分为 [−3,1)∪[2,+∞)。 6. C 先要求根式有意义：4x−x²≥0，即 0≤x≤4；又右边 x 必须为正（否则不等式不能成立），故 0<x≤4。两边平方：4x−x²<x²，即 x²−2x>0，得 x<0 或 x>2。综上 2<x≤4。 7. D b=[(a+b)−(a−b)]/2。由 1<a+b<4、−2<a−b<−1 得 b 的最大值 <(4−(−2))/2=3，最小值 >(1−(−1))/2=1，故 1<b<3。 8. D ① a=0 时，1≤0 无解，解集为空，不合题意。 ② a<0 时，抛物线开口向下，x→±∞ 时函数值趋于负无穷，不等式必有解。 ③ a>0 时，需最小值 ≤0，即 f(−1/2)=1−a/4≤0，得 a≥4。 综上，a<0 或 a≥4。 二、多选题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 ABD ACD BCD 9. ABD（选假命题） A 假：x²+1≥1>0，不存在 x 使 x²+1<0。 B 假：x∈N* 时 x≥1，故 4x≥4>3，不存在 4x<3 的 x。 C 真：由绝对值定义，任意实数 x 都有 |x|≥0。 D 假：取 x=⁴√2，则 x²=√2 是无理数，不是有理数。 10. ACD A 对：ab>a² 即 a(b−a)>0，由 a<0 得 b−a<0，故 b<a<0，从而 |b|>|a|，b²>a²。 B 错：ac>0 说明 a、c 同号。若同为正，由 a>b>c>0 得 1/a<1/b<1/c；若同为负（如 −1>−2>−3），则 −1<−1/2<−1/3，仍有 1/a<1/b<1/c。两种情形都得不出 1/a>1/b>1/c。 C 对：(b+m)/(a+m)−b/a=[a(b+m)−b(a+m)]/[a(a+m)]=m(a−b)/[a(a+m)]>0（因 a−b>0，m>0，a>0），故 b/a<(b+m)/(a+m)。 D 对：由 ac²>bc² 知 c≠0，c²>0，两边同除以 c² 得 a>b。 11. BCD 由解集为 {x|−2<x<1} 知抛物线开口向下，a<0，A 错；且 −2、1 是 ax²−bx+c=0 的两根，故 ax²−bx+c=a(x+2)(x−1)=a(x²+x−2)，比较系数得 b=−a，c=−2a。 B 对：a−b+c=a−(−a)+(−2a)=0。 C 对：不等式化为 −2ax²+ax+a>0，两边除以 a（a<0，不等号反向）得 2x²−x−1>0，即 (2x+1)(x−1)>0，解集为 {x|x<−1/2 或 x>1}。 D 对：二次函数 y=ax²−bx+c 的零点就是 (−2,0) 与 (1,0)。 三、填空题（每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 4 3/2 9 12. 4 原式=−log₃2+3/2+log₃18+1/2=log₃(18/2)+2=log₃9+2=2+2=4。 13. 3/2 设 t=log_ab>0，则 t+1/t=2，即 t²−2t+1=0，t=1，故 log_ab=1，a=b。 又 ab=2，得 a=b=√2，所以 log₂(a+b)=log₂(2√2)=log₂2^(3/2)=3/2。 14. 9 令 x=a−b>0，y=b−c>0，则 x+y=a−c=1。 1/x+4/y=(1/x+4/y)(x+y)=5+y/x+4x/y≥5+2√((y/x)·(4x/y))=5+4=9， 当且仅当 y/x=4x/y，即 y=2x（此时 x=1/3，y=2/3）时取等号，最小值为 9。 四、解答题（共77分） 15.（13分）求下列不等式的解集 (1) 2x²−x−1>0 因式分解：(2x+1)(x−1)>0，两根为 x=−1/2、x=1，开口向上，大于取两边。 解集为 {x|x<−1/2 或 x>1}。 (2) x²+x+1>−4−x 移项整理得 x²+2x+5>0。因为 Δ=4−20=−16<0，且二次项系数 1>0， 所以 x²+2x+5=(x+1)²+4>0 对任意实数恒成立。 解集为 R。 (3) (x−3)/x>2 移项通分（不能直接去分母，因 x 的符号未知）： (x−3)/x−2>0 ⇒ (x−3−2x)/x>0 ⇒ −(x+3)/x>0 ⇒ (x+3)/x<0， 即 x(x+3)<0，解得 −3<x<0。 解集为 {x|−3<x<0}。 16.（15分） 集合 A={x|ax²+6x+3=0}，B={x|bx+1=0}。 (1) A 的子集有两个 ⇔ A 恰有 1 个元素。 ① a=0 时，方程为 6x+3=0，x=−1/2，A={−1/2}，恰有一个元素，符合； ② a≠0 时，方程为二次方程，恰有一解 ⇔ Δ=36−12a=0，得 a=3。 所以 a 的取值集合为 {0,3}。 (2) 由 1∈A 得 a+6+3=0，即 a=−9。 此时 A={x|−9x²+6x+3=0}={x|3x²−2x−1=0}={x|(3x+1)(x−1)=0}={1,−1/3}。 由 B⊆A 分类讨论： ① b=0 时，B=∅，空集是任何集合的子集，符合； ② b≠0 时，B={−1/b}，需 −1/b=1 或 −1/b=−1/3，得 b=−1 或 b=3。 所以 b 的取值集合为 {−1,0,3}。 17.（15分） x₁+x₂=m，x₁x₂=4m²−3，Δ=m²−4(4m²−3)=12−15m²。 (1) 两根均为正，需同时满足： ① Δ≥0：12−15m²≥0，即 m²≤4/5，得 −2√5/5≤m≤2√5/5； ② x₁+x₂=m>0； ③ x₁x₂=4m²−3>0，即 m²>3/4，得 m>√3/2 或 m<−√3/2。 由②③取 m>√3/2，与①联立得 √3/2<m≤2√5/5，即 m∈(√3/2, 2√5/5]。 (2) 1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=m/(4m²−3)=1， 得 4m²−3=m，即 4m²−m−3=0，(4m+3)(m−1)=0，m=1 或 m=−3/4。 检验：m=1 时 Δ=12−15=−3<0，无实根，舍去；m=−3/4 时 Δ=12−15×(9/16)=57/16>0，符合。 所以 m=−3/4。 18.（17分） f(x)=ax²−ax+1。 (1) f(x)<0 的解集为 ∅，即 f(x)≥0 对一切 x∈R 恒成立。 ① a=0 时，f(x)=1≥0 恒成立，符合； ② a≠0 时，需 a>0 且 Δ=a²−4a≤0，得 0<a≤4。 综上 0≤a≤4。 (2) f(x)≥2−x ⇔ ax²−ax+1≥2−x ⇔ ax²+(1−a)x−1≥0， 而 ax²+(1−a)x−1=(ax+1)(x−1)，故解不等式 (ax+1)(x−1)≥0。 ① a=0 时，化为 x−1≥0，解集为 {x|x≥1}； ② a>0 时，开口向上，两根为 x=−1/a<0 与 x=1，大于取两边，解集为 {x|x≤−1/a 或 x≥1}； ③ a<0 时，开口向下，两根为 x=1 与 x=−1/a>0，解在两根之间，需比较 −1/a 与 1 的大小： • 当 a<−1 时，−1/a<1，解集为 {x|−1/a≤x≤1}； • 当 a=−1 时，两根重合，不等式化为 −(x−1)²≥0，解集为 {1}； • 当 −1<a<0 时，−1/a>1，解集为 {x|1≤x≤−1/a}。 (3) 原不等式即 g(x)=ax²−(a+1)x+a≥0 对任意 x≥1 恒成立。 必要性：取 x=1，得 g(1)=a−1≥0，即 a≥1。 充分性：当 a≥1 时，g(x)=(x−1)(ax−1)+(a−1)。 因 x≥1，有 x−1≥0；又 ax≥a≥1，故 ax−1≥0，于是 (x−1)(ax−1)≥0， 从而 g(x)≥a−1≥0，恒成立。 所以 a 的取值范围是 [1,+∞)。 19.（17分） 由 x²−(2n+1)x+2n=(x−1)(x−2n)≤0（n∈N*）得 U_n={1,2,…,2n}，共 2n 个元素。 映射 φ(a)=2n+1−a 是 U_n 到自身的双射，且 A*=φ(A)，故 card(A*)=card(A)。 (1) 是。 n=3 时 U₃={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，A*={7−a|a∈A}={6,4,2}={2,4,6}。 A∩A*=∅，且 A∪A*={1,2,3,4,5,6}=U₃，故 A 是 U₃ 的"完美镜离集"。 (2) 证明： 因为 A 是镜离集，A∩A*=∅，所以 card(A∪A*)=card(A)+card(A*)=2card(A)。 又 A∪A*⊆U_n，故 2card(A)≤card(U_n)=2n，即 card(A)≤n。证毕。 (3) n=4 时，U₄={1,2,…,8}，A*={9−a|a∈A}。 由 A 是完美镜离集得 A∩A*=∅，A∪A*=U₄， 所以 2card(A)=8，card(A)=4；且 s(A)+s(A*)=1+2+…+8=36。 又 |s(A)−s(A*)|=2，故 s(A)=17 或 s(A)=19。 把 U₄ 按和为 9 配对：(1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)。由完美性，A 恰从每一对中取一个元素。 以 {1,2,3,4} 为基准（和为 10），第 k 对若改取 9−k，则和增加 8−2k，即四对分别增加 7、5、3、1。 • 若 s(A)=17，需增加 7，只能取第 1 对中的 8，得 A={2,3,4,8}； • 若 s(A)=19，需增加 9=5+3+1，取第 2、3、4 对中的 7、6、5，得 A={1,5,6,7}。 检验：A={2,3,4,8} 时 A*={1,5,6,7}，s(A)=17，s(A*)=19，差为 2，符合；A={1,5,6,7} 时同理。 所以 A={2,3,4,8} 或 A={1,5,6,7}。 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D D A C D D ABD ACD BCD 题号 12 13 14 答案 4 3/2 9 • 15：(1) x<−1/2 或 x>1；(2) R；(3) −3<x<0 • 16：(1) {0,3}；(2) {−1,0,3} • 17：(1) (√3/2, 2√5/5]；(2) m=−3/4 • 18：(1) 0≤a≤4；(2) 见解析（按 a 的五种情况分类）；(3) a≥1 • 19：(1) 是；(2) 证明见解析；(3) A={2,3,4,8} 或 A={1,5,6,7} — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一第二次月考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分共40分） 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．设集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．不等式的解集是（ ） A． B． C． D 7．若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式的解集不为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分．全部选对6分，部分选对2分，有选错0分） 9．下列命题中为假命题的是（ ） A．，使得 B．，使得 C．， D．， 10．下列命题中，正确的有（ ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，则 11．已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A． B． C．不等式的解集是 D．二次函数的零点是， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分共15分） 12．计算：__________． 13．已知，，若，且，则__________． 14．若，且，则的最小值为__________． 四、解答题（共77分） 15．（13分）求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）． 16．（15分）已知集合，． （1）若的子集有两个，求实数的取值集合． （2）若且，求实数的取值集合． 17．（15分）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，． （1），均为正根，求实数的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 18．（17分）设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 定义有限集的元素个数为，如，则． 设集合，其中． 对集合，定义它的“镜像集合”为． 若，则称为的“镜离集”； 若还满足，则称为的“完美镜离集”．记集合中所有元素之和为． （1）当，时，判断是否为的“完美镜离集”，并说明理由； （2）证明：若是的“镜离集”，则； （3）当时，求所有满足的的“完美镜离集”． 学科网（北京）股份有限公司 $