精品解析：河北省安平中学2026-2027学年高一年级上学期11月月考数学试题（A部）

河北安平中学高一年级 A 部第一学期月考数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数有意义、根式有意义列不等式求解即可． 【详解】因为函数， 所以，解之可得， 函数的定义域为． 故选：C． 2. 已知幂函数f (x)的图象经过点A(4，2)，B(16，m)，则m＝（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得4＝2，解得，再求解f（16）即可． 【详解】由已知幂函数f（x）＝的图象经过点（4，2），则有4＝2，解得，则f（x）＝， 故f（16）＝，即m＝4. 故选：C 【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题． 3. 函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（ ） A. (1,5) B. (1,4) C. (0,4) D. (4,0) 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数型函数图象过定点的知识即得. 【详解】当时，， 所以. 故选：A. 4. 用表示两个数中的最小值．设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将本题转化为求分段函数的最大值的问题，根据函数的单调性，即可求出其最大值. 【详解】由题意，函数， 因当时，函数为减函数；当时，函数为增函数. 所以，当时，函数取最大值，最大值为. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的单调性和最值问题，考查了转化和分类的数学思想. 5. 近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由题意且，结合指数函数的单调性解不等式求解即可. 【详解】由题意，令且，则， 由在上单调递减，且， 所以该种果树从栽种开始至少需要5年才能进入“稳定期”. 故选：B 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由,结合函数是定义在上的奇函数,可得,求出即可求得答案. 【详解】由题意,, 因为函数是定义在上的奇函数，所以, 当时，，则,故. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查对数式的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题. 7. 已知奇函数在上单调递增的，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的单调性的性质，结合奇函数的定义进行求解即可. 【详解】因为奇函数在上单调递增的，且， 所以奇函数在上单调递增的，且，所以有： （1）当时，因为，所以当时，，当时，， 当时，由， 当时，由，所以， （2）当时，因为，所以当时，，当时，， 因此由， 综上所述：由， 故选：D 8. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求解判别式确定方程有两个不相等的实数根的条件，再通过韦达定理求出两根的关系式，再将关系式代入目标表达式中化简，通过基本不等式化简求解即可. 【详解】由题设，得， 且，， ， 又因为，所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号，所以， 即的最大值为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若函数，则 C. 若奇函数满足：当时，，则当时， D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，根据两函数的定义域不同，判断不是同一函数；选项B，利用换元法，即可求出的解析式； 选项C，根据奇函数的定义，由时的解析式，求时的解析式；选项D，根据函数的定义域，即可求解的定义域． 【详解】对于A，函数的定义域是，函数的定义域是， 两函数的定义域不同，不是同一函数，选项A错误； 对于B，设，，则，所以， 即，选项B正确； 对于C，奇函数满足：当时，， 时，，，选项C错误； 对于D，函数的定义域为时，令，解得， 所以函数的定义域为，选项D正确． 故选：BD. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可判断A；由基本不等式可得B；作差可判断C，利用基本不等式结合换元法可得D. 【详解】对于A，令，则 ，故A错误； 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 因为且，则，所以，故C正确； 对于D，若，则，当且仅当时取等号， 令，所以，解得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，若有四个解满足，则下列命题正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数与的图象，结合图象判断A； 由图象可得，进而得出，结合对勾函数的性质即可判断B； 结合B选项和即可判断C、D. 【详解】解：作函数的图象如下， 有四个解，即与的图象有4个交点，， 可得，可知选项A正确； 图象可得，则 ，且，∴ 又因为对勾函数y=x+在区间内是单调递减的，故当 ，故B错误． ，，， ； ，可知选项C正确； 令，解得， 从图象可知，即D选项正确． 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，且，则实数的值为____________________. 【答案】0或 【解析】 【分析】由题意得或，求解并验证即可. 【详解】由， 可得：或， 即或或， 当时，，，，符合； 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时， ，，且，符合； 所以实数a的值为0或， 故答案为：0或 13. 若函数在上严格单调递减，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数、一次函数的单调性及端点处函数值大小关系求解即可. 【详解】由题意知，解得，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数，若实数、满足，则的最大值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】判断出函数在上为增函数，以及，由得出，可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为， 对任意的，，即函数的定义域为， 因为函数在上为增函数，函数在上为增函数， 由复合函数法可知函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数， 因为， 所以，故函数的图象关于点对称， 由可得， 所以，则，即， 要考虑的最大值，只需考虑时， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 已知集合，，. （1）当时，求集合； （2）已知是的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式和分式不等式的解法分别求出集合，再根据并集的定义即可得解； （2）由是的必要不充分条件，可得集合C是集合A的真子集，列出不等式组，解之即可. 【小问1详解】 解：， 当时，， 所以； 【小问2详解】 解：， 因为是的必要不充分条件， 所以集合C是集合A的真子集， 则（不同时取等号），解得， 所以m的取值范围为. 16. 已知，命题恒成立；命题存在，使得． （1）若p为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得，即，接着解不等式即可； （2）先求出q为真命题时，m的取值范围，再分p真q假和p假q真讨论求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴， 解得， 故实数m的取值范围是， ∴m的最大值为3； 【小问2详解】 当q为真命题时，则，解得， ∵p，q有且只有一个真命题， 当p真q假时，，解得； 当p假q真时，，解得； ∴或． 17. 已知函数. （1）当时，求满足的实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求的值； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）将转化为一元二次不等式，由此可求实数的取值范围； （2）将转化为一元二次不等式，根据解集直接确定出的值； （3）对进行分类讨论，根据的大小关系求解出不等式解集. 【小问1详解】 当时，，解得或， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为，且的解集为， 所以的解集为， 所以，所以. 【小问3详解】 ， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为， 当，即时，不等式解集为； 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 18. 定义在上的函数是单调函数，，且. （1）求，判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0，奇函数. （2）函数为上的增函数.证明如下： 任取，且，则，所以. 因为， 所以， 所以，函数在上为增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）赋值法得到，令，可得，证明出奇偶性； （2）任取，且，则，从而证明出为上的增函数； （3）变形后，结合函数的奇偶性和单调性得到，令，其中，得到为偶函数， 定义法得到在上单调递增，则当时，，求出，令，则，令，其中，由单调性求出，则，因此，实数的取值范围是. 【小问1详解】 在等式中， 令，可得，解得. 因为函数的定义域为， 令，可得，所以， 因此，函数为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由存在使得， 可得. 因为函数在上为增函数，则. 令，其中，则， 即函数为偶函数， 任取，且， 则 ， 因为，则，则， 所以，则， 所以，函数在上单调递增，则当时，， 即， 所以，当时，. 令，则，则， 所以，可得. 令，其中，由题意可得. 因为函数在上单调递减， 则， 则，因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知，试判断是否为“类函数”? （2）若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； （3）若为“类函数”，求实数m的取值范围. 【答案】（1）不为“类函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算求出满足“类函数”定义不能得出的值即可判断； （2）根据题意将题设问题转化为在上有解分析求解即可； （3）根据对数函数的性质，得到对恒成立，求得，再由为“类函数”，得到存在实数，满足，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足， 可得，即，所以方程无解，所以不是“类函数”. 【小问2详解】 因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数，满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，；当时，， 所以，解得， 所以实数的最小值为. 【小问3详解】 由函数， 可得对恒成立，即对恒成立，所以， 若函数为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足， ①当时，，所以，所以， 因为函数在上是增函数， 当时，可得，所以；   ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数在上是减函数， 当时，可得，所以；   综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北安平中学高一年级 A 部第一学期月考数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数f (x)的图象经过点A(4，2)，B(16，m)，则m＝（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（ ） A. (1,5) B. (1,4) C. (0,4) D. (4,0) 4. 用表示两个数中的最小值．设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则 A. B. C. D. 7. 已知奇函数在上单调递增的，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. ． 8. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若函数，则 C. 若奇函数满足：当时，，则当时， D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 11. 已知函数，若有四个解满足，则下列命题正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，且，则实数的值为____________________. 13. 若函数在上严格单调递减，则的取值范围是__________ 14. 已知函数，若实数、满足，则的最大值为__________ 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 已知集合，，. （1）当时，求集合； （2）已知是的必要不充分条件，求m的取值范围. 16. 已知，命题恒成立；命题存在，使得． （1）若p为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 17. 已知函数. （1）当时，求满足的实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求的值； （3）解关于的不等式. 18. 定义在上的函数是单调函数，，且. （1）求，判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若存在使得成立，求实数的取值范围. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知，试判断是否为“类函数”? （2）若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； （3）若为“类函数”，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $