第3章勾股定理 数学活动-探寻“勾股数” 教案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

淮安市北京路中学2025-2026学年八年级上学期数学教案 主备：阮燕 第3章勾股定理 数学活动-探寻“勾股数” 【教学目标】 1. 经历运用已有的知识解决问题的过程，在这个过程中，体会数学知识的内在联系. 2. 经历多种方法探索勾股数，体验勾股定理的文化价值. 3. 经历克服困难和取得成功的过程，获得一些研究问题的经验和方法. 【教学重点】 多种方法探索勾股数 【教学难点】 运用已有的知识解决问题 1、 创设情境： 1. 回忆“勾股数”的定义. 满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2. 直角三角形的三边长和勾股数有什么关系？ (1)当直角三角形的三边的长是整数时，三边的长是勾股数； (2)当直角三角形的三边的长不是整数时，三边的长不是勾股数. (3)以勾股数为边长的三角形一定是直角三角形. 3. 勾股数有多少？勾股数有规律吗？ 2、 探究新知： 活动一 试构造5组勾股数 构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“两个数的平方和 (或差)等于第三个数的平方”，即满足以下形式： ① ① 或 ② ② 要满足上述①、②的形式，不妨从乘法公式入手.我们已经知道： ③ ③ 如果等式③的右边也能写成“( )²”的形式，那么它就符合②的形式.因此，只要设x=，y= ③式就可以化成：. 于是，当m、n为任意正整数，且m＞n时， 、和 2mn就是勾股数. 根据勾股数的这种表达式，就可以找出无数组勾股数. 活动二 在下表中填写勾股数： 6 5 11 60 61 … 活动三 一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用 (n为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，你能找出另外两个数的表达式吗? 3、 例题精讲： 例1观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 四、课堂练习： 1．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，15 2．三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 3．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为（    ） A．162 B．200 C．224 D．450 4．下列四个说法： ①如果a，b，c为一组勾股数，那么仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是8、15，那么斜边必是17； ③如果一个三角形的三边是12、25、20，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 5．能构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数．请你写出一组都是两位数的勾股数： ． 6．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 7．阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 8．将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 9．我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 10．已知，，． (1)当时，若a，b，c为三角形的三边长，求这个三角形的面积． (2)小敏发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小敏的发现正确吗？请判断并说明理由． 11．勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数． (1)如果是一组勾股数，即满足，则（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数； (2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当（为正整数，时，构成一组勾股数；请证明满足以上公式的是一组勾股数． 五、课堂小结： 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 修改意见 或二备内容 板书设计 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$