第3章 勾股定理 单元复习+小测（核心知识+7易错辨析+8典例精讲）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学勾股定理单元复习讲义通过核心知识分点梳理、对比表格归纳及7个易错辨析构建知识体系，用框架图呈现勾股定理与逆定理的内在联系，突出“由形算数”“由数判形”的重难点分布。 讲义亮点在于“8典例精讲”的分层设计，如折叠问题用方程思想解题，赵爽弦图模型培养几何直观，题型覆盖实际应用与证明方法，帮助学生发展推理意识和运算能力，支持教师实施精准化复习教学。

第3章 勾股定理 单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+8典例精讲） 【知识点01】勾股定理 1. 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边a、b，斜边c，则：a²+b²=c²。 2. 变形公式 a²=c²-b²，b²=c²-a²； c=，a=，b=。 3. 适用条件：只适用于直角三角形，非直角三角形不能直接使用。 4. 课本证明：赵爽弦图（面积拼图法），利用图形割补前后面积不变推导公式。 5. 作用 ① 已知直角三角形两边，求第三边； ② 网格中画长度为的无理数线段； ③ 解决实际几何、生活问题。 【知识点02】勾股定理的逆定理 1. 内容：如果三角形三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角是直角。 2. 判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 计算较短两边平方和，与最长边平方对比； ③ 相等→直角三角形；不相等→不是直角三角形。 拓展：最长边为c，若a²+b²>c²，为锐角三角形；若a²+b²<c²，为钝角三角形。 【知识点03】勾股数 1. 定义：满足a²+b²=c²的三个正整数，叫做一组勾股数。 ⚠️ 小数、分数不是勾股数。 2. 常用勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17)。 规律：勾股数同时扩大相同正整数倍，仍然是勾股数。 【知识点04】勾股定理实际应用解题步骤 1. 勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 【知识点05】 勾股定理与逆定理对比 类别 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 三角形是直角三角形 三角形三边满足a²+b²=c² 结论 a²+b²=c² 三角形是直角三角形 功能 由形到数求边长 由数到形判定直角三角形 易错1：默认字母c为斜边 ❌ 错误认知：题目中字母c一定是斜边； ✅ 正确思路：最长边才是斜边，与字母无关。 例：直角三角形两边为6、8，第三边不一定是10，需结合边长长短判断。 易错2：无图解题，忽略分类讨论 已知直角三角形两边长，未说明是直角边还是斜边，必须分类讨论。 例：直角三角形两边为5、12： ① 5、12均为直角边，斜边为13； ② 12为斜边，5为直角边，另一直角边为。 易错3：逆定理判定方法错误 ❌ 错误：任意两边平方和与第三边平方对比； ✅ 正确：两条短边的平方和与最长边平方对比。 易错4：混淆勾股数定义 勾股数必须是正整数，满足平方关系的小数、分数不属于勾股数。 例：0.3、0.4、0.5满足平方关系，但不是勾股数。 易错5：非直角三角形乱用勾股定理 勾股定理是直角三角形专属定理，锐角、钝角三角形不可直接使用。 易错6：实际问题保留负根 线段长度为正数，利用勾股定理列方程求解后，必须舍去负数解。 易错7：赵爽弦图边长混淆 大正方形边长=直角三角形斜边；小正方形边长=两条直角边的差值。 【题型一】基础边长计算（含分类讨论） 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，字母所代表的正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，先得出字母所代表的正方形的面积，再求出其边长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图可知，以长直角边为边长的正方形面积为，以斜边为边长的正方形面积为， ∴字母所代表的正方形的面积为， ∴字母所代表的正方形的边长是， 故选：． 2．（2024八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，以、和为直径分别作半圆，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理得到，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【详解】在中，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，若两个大正方形的面积分别为144和108，则小正方形M的边长为________． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是明确“正方形面积边长的平方”；解题时将面积关系转化为边长的平方关系，再用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵以、为边的正方形面积分别为144和108，即，， ∴， ∴小正方形的边长． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，分别以，为边向外部作正方形，面积分别为60，40，则的长为________． 【答案】10 【知识点】求一个数的算术平方根、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记勾股定理是解题的关键．由勾股定理结合正方形的面积可得出结果． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知， 的长， 故答案为：10． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，分别以、、、为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，若，，，则长为___． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式和勾股定理可得：，又因为，可得，即可求出的长度． 【详解】解：，，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型二】逆定理判定直角三角形 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C．7，24，25 D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理． 根据勾股定理逆定理，逐一验证是否满足两边平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：选项A：，，，能组成直角三角形； 选项B：，，，能组成直角三角形； 选项C：，，，能组成直角三角形； 选项D：，，，不能组成直角三角形； 故选：D． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．6，7，10 C．3，4，5 D．4，12，1 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，勾股数是指三个正整数a，b，c满足，逐项验证即可． 【详解】解：A项：，，，所以不是勾股数； B项：，，，所以不是勾股数； C项：，，，所以是勾股数； D项：，，，所以不是勾股数． 故选：C． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ______． 【答案】17 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．据此求解即可． 【详解】解：①3，4，5中； ②5，12，13中； ③7，24，25中； ④9，40，41中； …． ∴， ∴， （负值已舍）． 故答案为：17． 9．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图所示，已知中，，是上一点，且，，求的面积为_______． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知识．熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． 由，可知是直角三角形，且，设，则，由勾股定理得，，即，可求的值，然后求面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）在中，， (1)若，，则_____； (2)一个三角形的三边长分别是、、，且，，，这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论． 【答案】(1)9 (2) 解：这个三角形是直角三角形．证明如下： ∵，，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理，是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理逆定理，进行证明即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：9； （2）略 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，点在线段上，连接，作，垂足为． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1) 解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴是直角三角形； (2) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，再由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴的面积， ∴， 即的长为． 【题型三】面积模型（勾股树、外作图形） 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 故选C． 13．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积S是（   ） A．10 B．58 C．49 D．100 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理得，则可得正方形的面积S是58． 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 14．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．根据题意知该直角三角形的斜边为c，则有，表示出并化简，另表示出，将两结果对比则可判断出结果． 【详解】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足， ∴该直角三角形的斜边为c， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 15．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别为、，则__________．（结果保留） 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理等知识，根据勾股定理得，再计算，代入即可求解﹒ 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ﹒ 16．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当时，阴影部分的面积为_____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、圆的周长和面积问题、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再分别求出以为直径的半圆的面积、以为直径的半圆的面积、以为直径的半圆的面积以及的面积，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 以为直径的半圆的面积， 以为直径的半圆的面积， 以为直径的半圆的面积， ， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积 分别为，，，则 的值为___． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 18．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】． 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，首先根据勾股定理求得边的长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 【详解】解：如图，中，，，， 由勾股定理知，， ∴， 故． 19．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； 【题型四】网格与数轴无理数作图 20．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点M的位置可得答案． 【详解】解：如图，由勾股定理可得 ∴， ∴在数轴上点M表示的实数是． 故选：C． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点表示的实数是___________． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】根据图得到两直角边长度为1和2，利用勾股定理求出斜边长度，再根据点在负半轴即可求出结果． 【详解】解：由图可知，两直角边长度为1和2， ∴斜边长度为：， ∵点在负半轴， ∴数轴上点表示的实数是． 22．（2025八年级上·江苏盐城·期末）如图，数轴上的点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为__________． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、勾股定理与无理数、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了勾股定理，数轴上点与数，平移，根据题意，，结合，，得到，结合平移思想解答即可． 【详解】根据题意，， ∵，， ∴， 点A向右平移个单位长度得到点D， 故点D表示的数为， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）请你在数轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】 如图，点C即为所求， 【知识点】实数与数轴、作垂线(尺规作图)、勾股定理与无理数 【分析】构造，使，，，根据勾股定理求出，以O为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴于C． 【详解】略 【题型五】赵爽弦图模型（高频填空、解答） 24．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和__________． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和之间的关系．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为， 大正方形的面积是， ， ， 直角三角形的面积是， ∴， ， ． 舍去负值． 故答案为：． 25．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求的值为______． 【答案】196 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查的是完全平方公式与几何图形面积的关系，勾股定理的应用，熟练地利用完全平方公式及其变形求解代数式的值是解本题的关键． 由图形面积可得，，可得，再代入进行计算即可． 【详解】解：由图可知，， ． 小正方形的面积是4， ， ， ， ． 故答案为：196. 26．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意可得，可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用，表示后，结合完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 朱入与朱出的三角形全等， 即， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 即，， ，， 阴影部分面积为 ， ，， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为： 27．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 【答案】(1) (2)新路比原路少千米 (3) 【知识点】以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）根据勾股定理，完全平方公式变形得出即可求解； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：依题意，， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 28．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1) 解：根据题意得， ， 则； (2)120 (3)9 【知识点】以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 29．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 【答案】(1) (2)28 (3)24 (4)10 (5) 【知识点】含30度角的直角三角形、以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，，，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为． 故答案为：28； （3）解：根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； 故答案为：24； （4）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10； （5）解：． 设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的高为． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， ， ∴． 【题型六】折叠问题（本章重难点，方程思想核心） 30．（2024八年级上·江苏宿迁·专题练习）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，若．求的长． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】先得出，，再求出的长，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即． 31．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． 【详解】（1）解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． （2）解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 32．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图长方形中，四个角为，，．为上一点，将△沿直线翻折至△的位置（点落在点处）． (1)当点落在边上时，只用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（）的条件下 ①用无刻度的直尺和圆规作出点； ②连接，求的长． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求； (2)①如图所示，点即为所求； ② 【知识点】勾股定理与折叠问题、作角平分线(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】（）以点为圆心，为半径画弧，交于点，则点即为所求； （）作的角平分线，交于点，则点即为所求； （）由折叠的性质可得，，即得，进而得到，设，则，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了基本作图，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）①略 ②由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 33．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，四边形ABCD是长方形，，，，，，点E是边上一点，连接，过点E作的垂线，交于点F，将沿所在直线翻折得到，其中点G是点B的对应点． (1)如图2，连接，若，直接写出的长为________； (2)连接DG，若是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，连接，若的延长线正好经过点D，直接写出的面积为________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】勾股定理与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形面积计算； （1）由翻折的性质得，，，从而得到四边形为正方形，最后在中勾股定理即可求解； （2）分两种情况：①当，设，利用在中建立方程求解；②当，设，过D点作，证明得到建立方程求解； （3）连接，若的延长线正好经过点D，设，则，，在中建立方程可求出，从求出的面积，再利用与的比例关系即可求出的面积. 【详解】（1）解：∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴在中，. （2）解：若是以为腰的等腰三角形，分两种情况： ①当，如图所示，设， ∵， ∴， 由翻折可得：， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ②当，如图所示，设，过D点作， ∵， ∴， 由翻折可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 由翻折可得：， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴. 综上：或. （3）解：连接，若的延长线正好经过点D，如图所示， 由翻折可知： ，，， ∵的延长线正好经过点D， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ∵, ∴. 34．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1) ①即为所求， ； ② (2)或 【知识点】勾股定理与折叠问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得； ②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 35．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)10 (2) (3)或或或 【知识点】勾股定理与折叠问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，进行求解即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直角三角形中，，， ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； （3）由（2）可知：； 当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当时： 则：； ②当时： 则：，或 ③当时： 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 综上：或或或． 【题型七】实际应用问题 36．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 答：至少需要的彩旗带． 37．水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水池深尺，芦苇长尺 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度尺， 答：水池深尺，芦苇长尺． 38．（2024八年级上·江苏苏州·期中）某地规定小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过72千米/时．若一辆“小汽车”在城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了5秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由． 【答案】超速了，理由见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】根据题意得到AC和AB的长，用勾股定理求出BC的长，算出小汽车的速度，看是否超速． 【详解】解：根据题意，，， 由勾股定理，， 小汽车的速度是， ，超速了． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理解直角三角形，需要注意单位的换算． 39．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【答案】 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设，根据勾股定理可得，即可解得的长． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． 40．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？ 【答案】蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是． 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求最短距离，解题的关键是利用轴对称的性质以及勾股定理进行求解． 将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是． 41．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． (1)求点B到地面的距离； (2)如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 【答案】(1)点B到地面的距离为米； (2)消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）过点A作于点H，根据勾股定理求得，，进而可得出结论； （2）连接并延长交于点H，由勾股定理求得，，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点A作于点H， 由题意得米，米，米， ∵在中，，即， ∴， ∴（米）， 答：点B到地面的距离为米； （2）解：连接并延长交于点H，则，又，故A、C、H三点共线， ∵，， ∴， ∵当云梯伸至最长40米时，前进的距离最小， 此时，在中，即， 解得， ∴（米）， 答：消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援． 42．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【知识点】用勾股定理解三角形、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 43．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)21.6米 (2)8米 【知识点】用勾股定理解三角形、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用勾股定理解三角形，准确运用勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出来的长，然后加上小明的身高即可； （2）先根据降低的高度求出的长，然后根据勾股定理求出的长，然后用风筝线长减去的长即可求出结果． 【详解】（1）在中， 由勾股定理得， 由，得 米． ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，设下降后的点为F， ∵ ∴， 在中 由勾股定理得，． 由得． 米， 他应该往回收线8米． 44．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．已知台风中心的移动速度为． (1)求的度数． (2)海港是否受台风影响？若受影响，求出影响时长；若不受影响，说明理由． 【答案】(1) (2)海港受台风影响，时间为5小时 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形，； （2）解：海港受台风影响． 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为40米/小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为5小时． 【题型八】勾股定理的证明方法 45．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【答案】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证. 【详解】略 46．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． (2) 证明：∵， ∴， 根据图形可知， 即， ∴． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、勾股定理的证明方法、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的证明，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意，可知为等腰直角三角形，则证，得，再根据，得到，即可求证； （2）根据，将代入，即可求证． 47．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1) 证明：五边形的面积拆分为正方形、三角形与三角形的面积和， 即 五边形的面积也拆分为正方形、正方形、三角形与三角形的面积和， 即 ∵两种方法表示的面积相等， ∴， 两边消去，得，即勾股定理得证． (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的面积法证明及组合图形的面积拆分计算，解题的关键是将五边形面积拆分为不同基本图形（正方形、矩形、三角形）的面积和，通过面积相等建立等式推导勾股定理，再利用勾股定理计算空白部分面积． （1）将五边形的面积用两种不同的基本图形组合方式表示，建立等式，化简得勾股定理． （2）空白部分面积为正方形的面积减去两个直角三角形的面积，结合勾股定理将其转化为，代入、的值计算． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分（正方形的面积为， 由⑴结论，代入得空白部分面积为 当，时，原式 答：空白部分的面积为． 48．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将的绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长相交于点，则有，且四边形是一个正方形． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵将的绕其锐角顶点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、根据旋转的性质求解 【分析】（）由旋转的性质得，，，即得，又由，进而得到，化简即可求证； （）利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的几何背景，旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵，即，， ∴，， ∵， ∴． 49．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）如图1，在四边形中，对角线、相交于点，且． ①求证：； ②若，，，则的长为______； （2）勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．其中有一类是运用不同方法计算同一图形的面积，从而得到等式，运用等式性质变形证明勾股定理．例如在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽设计“弦图”（图2）进行勾股定理的证明．如图3，已知在四边形中，，，，对角线、相交于点，且，，作，垂足为．根据已知条件，请用图3证明勾股定理：在中，，求证：． 【答案】 （1）①证明：∵， ∴，， ∴， ∴； ② （2）证明：，垂足为M，，垂足为E， ∴， ∴和都是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， 由（1）①的结论得：， ∴， 即． 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理的证明与应用，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． （1）①根据三角形面积公式得，，则，据此即可得出结论； ②在和中，由勾股定理得，，则，在和中，由勾股定理得，，则，由此得，再根据，，即可得的长； （2）先证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，进而得，再由（1）①的结论得，则，据此即可得出结论． 【详解】解：（1）①略 ②∵， ∴均为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：； 50．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1) 证明：把两个全等的直角和如图2放置， ， 又， ， ， 即， 梯形的面积，， 四边形的面积 ， ∵四边形的面积梯形的面积的面积， ∴ ∴． (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明，再根据梯形的面积，，四边形的面积，四边形的面积梯形的面积的面积，即可推出结论； （2）设边上的高为，根据割补法求出的面积，再利用的面积可求出结果； （3）由勾股定理得，，再结合列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①：设边上的高为， 由勾股定理得，， 的面积， 的面积， ， 即边上的高为， 故答案为：； ②如图， 在中，，，，， 由勾股定理得，， ， 又∵， ∴， ， ． 答：边上的高为． 1. 两大核心定理 勾股定理：直角三角形→三边平方关系，用于求边长（由形算数）； 勾股定理逆定理：三边平方关系→直角三角形，用于判形状（由数判形）。 2. 两大核心数学思想 分类讨论思想：无图已知两边求第三边，必须讨论斜边情况，杜绝漏解； 方程思想：折叠、立体路径、实际应用问题，常设未知数列勾股方程解题。 3. 两大关键易错点 勾股数必须为正整数，小数、分数不满足定义； 逆定理判定直角三角形，必须用短边平方和对比最长边平方。 4. 通用解题思路 遇线段平方关系，优先联想勾股定理；图形无直角时，作垂线构造直角三角形，依托数形结合思想解题。 本章核心本质：实现几何图形与代数运算的数形结合转化，是后续几何计算、解三角形的基础。 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．8，15，17 C． D．1，2， 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义（可以构成一个直角三角形三边的一组正整数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则这组数不是勾股数，不符题意； B、，则这组数是勾股数，符合题意； C、这组数都是分数，不满足勾股数的定义，不符题意； D、是无理数，不是整数，不满足勾股数的定义，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股数，熟记定义是解题关键． 2．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：由勾股定理可得：， 故选：C． 3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．1，，2 B．1，2，3 C．4，6，8 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A.，不能构成直角三角形，不符合题意； B.，不能构成三角形，不符合题意； C. ，不能构成直角三角形，不符合题意； D.，能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 5．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 6．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，3，4，则正方形E的面积是（   ） A．14 B．17 C．19 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，，再根据，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 根据勾股定理的几何意义可得： ，， ∴， 即正方形E的面积是， 故选：B． 7．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 8．如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 根据已知可得，，根据勾股定理可得，，，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，从而可得直角三角形的个数． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴图中的直角三角形有、、、，共个． 故选：D． 二、填空题 9．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为36．则小正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】本题考查与弦图为背景的问题，数形结合，表示出小正方形的边长为，再由完全平方差及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，大正方形的面积为36，设大正方形边长为，则在“赵爽弦图”的直角三角形中，， 小正方形的边长为，则， ， ， 又小正方形的边长为，则小正方形的边长为， 故答案为：． 11．勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为_____． 【答案】170 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，利用题中的结论进行求解． 根据题干的公式直接进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 当时，， ∴径为， 故答案为：170． 12．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为25． 13．在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由题意可知，当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，先求出，根据等面积法求，即可解答． 【详解】解：∵点P是上的动点， ∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 14．如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，图（1）中正方形的面积为______；如图（2），若点在数轴上表示的数是，以为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点，则点所表示的数是_____． 【答案】 10 / 【分析】由勾股定理求得正方形的边长，由正方形的面积公式即可求得正方形的面积；由画图知：，则，即得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形边长为：＝， ∴正方形的面积是； ∵正方形边长为， ∴， ∴， 即E表示的数为， 故答案为：10；． 15．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解答题 16．在数轴上找出对应的点A． 【答案】 在数轴上对应的点A如下． 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，关键是利用勾股定理构造直角三角形；作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是，则可在数轴上找到对应的点A． 【详解】解：因为， 作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是． 17．如图，四边形中，，，，，且．求证：． 【答案】 证明：在中， ∴， ∴， 在中，，， ， 为直角三角形，， ． 【分析】本题考查勾股定理的逆定，先利用勾股定理求出，进而得到，即可证明为直角三角形，且，即可得出结论． 18．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少尺？（丈、尺是长度单位，1丈尺，）．    【答案】水的深度为尺，这根芦苇的长度是尺 【分析】如图所示，根据题意可得，设，则，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    由题意可知， 设，则， 由勾股定理可得，即， ，解得， 答：水的深度为尺，这根芦苇的长度是尺． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． 19．在中，． (1)已知，，求b的值． (2)已知，，求a的值． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查勾股定理，熟知勾股定理是解答的关键． （1）根据求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴由得， ∴． 20．问题背景： 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积． 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积． （1）请你直接写出△ABC的面积　 　； 思维拓展： （2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积． 【答案】（1）4.5； （2）7 如图2的△MNP， 【分析】（1）根据图形得出S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可； （2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可． 【详解】解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是： S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC ＝4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3 ＝4.5， 故答案为：4.5； （2）S△MNP＝S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP ＝5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1 ＝7， 即△MNP的面积是7． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大． 21．如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． (1)求的度数； (2)若直线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 【答案】(1) (2)被监控到的道路长度为米 【分析】（1）根据题目易得，，由勾股定理求出的长度,然后由勾股定理的逆定理即可求解； （2）过D作，由轴对称的性质，得到,最后可根据勾股定理求解． 本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，正确利用勾股定理是解题关键． 【详解】（1）解：连接， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （2）解：过D作，然后作点A关于的对称点F，连接，如图 ∴，， 由（1）：， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 在中，有， ∴， ∴， ∴被监控到的道路长度为米． 22．如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端A距地面有远 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这个梯子的顶端A距地面有远； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 23．如图，，两个工厂位于一段直线形河道的异侧，工厂至河道的距离为，工厂至河道的距离为，经测量河道上、两地间的距离为，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂． (1)设，请用的代数式表示的长______；（结果保留根号） (2)为了使，两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂位置，并求出排污管道最短长度？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出的最小值为多少？ 【答案】(1)+； (2) 根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置，如图： 排污管道最短长度为10km； (3)13 【分析】（1）依据ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE＋BE的长； （2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长； （3）根据AE＋BE＝＋＝AB＝10，可猜想所求代数式的值为13． 【详解】（1）解：在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝，BE＝， ∴AE+BE＝+； （2） 过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1， ∴AF＝AC＋CF＝6， 在Rt△ABF中，BA＝＝＝10， ∴排污管道最短长度10km； （3）解：根据以上推理，可作出下图： 设ED＝x，AC＝3，DB＝2，CD＝12．当A、E、B共线时求出AB的值即为原式最小值． 当A、E、B共线时，＝＝13， 即其最小值为13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键． 24．如图，在中，，的平分线交于点E，于点F，点F恰好是的一个三等分点（）． 求证： (1)． (2)求的长． (3)求的面积． 【答案】(1) 证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即； (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线性质得出，利用“”证明即可； （2）设，则，，根据勾股定理求出，根据，得出，求出，即可得出答案； （3）设，则，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 即； （3）解：设，则， 根据勾股定理得， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 25．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+8典例精讲） 【知识点01】勾股定理 1. 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边a、b，斜边c，则：a²+b²=c²。 2. 变形公式 a²=c²-b²，b²=c²-a²； c=，a=，b=。 3. 适用条件：只适用于直角三角形，非直角三角形不能直接使用。 4. 课本证明：赵爽弦图（面积拼图法），利用图形割补前后面积不变推导公式。 5. 作用 ① 已知直角三角形两边，求第三边； ② 网格中画长度为的无理数线段； ③ 解决实际几何、生活问题。 【知识点02】勾股定理的逆定理 1. 内容：如果三角形三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角是直角。 2. 判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 计算较短两边平方和，与最长边平方对比； ③ 相等→直角三角形；不相等→不是直角三角形。 拓展：最长边为c，若a²+b²>c²，为锐角三角形；若a²+b²<c²，为钝角三角形。 【知识点03】勾股数 1. 定义：满足a²+b²=c²的三个正整数，叫做一组勾股数。 ⚠️ 小数、分数不是勾股数。 2. 常用勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17)。 规律：勾股数同时扩大相同正整数倍，仍然是勾股数。 【知识点04】勾股定理实际应用解题步骤 1. 勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 【知识点05】 勾股定理与逆定理对比 类别 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 三角形是直角三角形 三角形三边满足a²+b²=c² 结论 a²+b²=c² 三角形是直角三角形 功能 由形到数求边长 由数到形判定直角三角形 易错1：默认字母c为斜边 ❌ 错误认知：题目中字母c一定是斜边； ✅ 正确思路：最长边才是斜边，与字母无关。 例：直角三角形两边为6、8，第三边不一定是10，需结合边长长短判断。 易错2：无图解题，忽略分类讨论 已知直角三角形两边长，未说明是直角边还是斜边，必须分类讨论。 例：直角三角形两边为5、12： ① 5、12均为直角边，斜边为13； ② 12为斜边，5为直角边，另一直角边为。 易错3：逆定理判定方法错误 ❌ 错误：任意两边平方和与第三边平方对比； ✅ 正确：两条短边的平方和与最长边平方对比。 易错4：混淆勾股数定义 勾股数必须是正整数，满足平方关系的小数、分数不属于勾股数。 例：0.3、0.4、0.5满足平方关系，但不是勾股数。 易错5：非直角三角形乱用勾股定理 勾股定理是直角三角形专属定理，锐角、钝角三角形不可直接使用。 易错6：实际问题保留负根 线段长度为正数，利用勾股定理列方程求解后，必须舍去负数解。 易错7：赵爽弦图边长混淆 大正方形边长=直角三角形斜边；小正方形边长=两条直角边的差值。 【题型一】基础边长计算（含分类讨论） 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，字母所代表的正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，以、和为直径分别作半圆，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，若两个大正方形的面积分别为144和108，则小正方形M的边长为________． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，分别以，为边向外部作正方形，面积分别为60，40，则的长为________． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，分别以、、、为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，若，，，则长为___． 【题型二】逆定理判定直角三角形 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C．7，24，25 D． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．6，7，10 C．3，4，5 D．4，12，1 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ______． 9．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图所示，已知中，，是上一点，且，，求的面积为_______． 10．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）在中，， (1)若，，则_____； (2)一个三角形的三边长分别是、、，且，，，这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论． 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，点在线段上，连接，作，垂足为． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【题型三】面积模型（勾股树、外作图形） 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积S是（   ） A．10 B．58 C．49 D．100 14．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 15．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别为、，则__________．（结果保留） 16．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当时，阴影部分的面积为_____． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积 分别为，，，则 的值为___． 18．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 19．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【题型四】网格与数轴无理数作图 20．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点表示的实数是___________． 22．（2025八年级上·江苏盐城·期末）如图，数轴上的点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为__________． 23．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）请你在数轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法） 【题型五】赵爽弦图模型（高频填空、解答） 24．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和__________． 25．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求的值为______． 26．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 27．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 28．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 29．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 【题型六】折叠问题（本章重难点，方程思想核心） 30．（2024八年级上·江苏宿迁·专题练习）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，若．求的长． 31．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 32．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图长方形中，四个角为，，．为上一点，将△沿直线翻折至△的位置（点落在点处）． (1)当点落在边上时，只用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（）的条件下 ①用无刻度的直尺和圆规作出点； ②连接，求的长． 33．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，四边形ABCD是长方形，，，，，，点E是边上一点，连接，过点E作的垂线，交于点F，将沿所在直线翻折得到，其中点G是点B的对应点． (1)如图2，连接，若，直接写出的长为________； (2)连接DG，若是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，连接，若的延长线正好经过点D，直接写出的面积为________． 34．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 35．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【题型七】实际应用问题 36．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 37．水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 38．（2024八年级上·江苏苏州·期中）某地规定小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过72千米/时．若一辆“小汽车”在城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了5秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由． 39．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 40．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？ 41．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． (1)求点B到地面的距离； (2)如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 42．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 43．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 44．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．已知台风中心的移动速度为． (1)求的度数． (2)海港是否受台风影响？若受影响，求出影响时长；若不受影响，说明理由． 【题型八】勾股定理的证明方法 45．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 46．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 47．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 48．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将的绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长相交于点，则有，且四边形是一个正方形． (1)求证：； (2)若，求的长． 49．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）如图1，在四边形中，对角线、相交于点，且． ①求证：； ②若，，，则的长为______； （2）勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．其中有一类是运用不同方法计算同一图形的面积，从而得到等式，运用等式性质变形证明勾股定理．例如在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽设计“弦图”（图2）进行勾股定理的证明．如图3，已知在四边形中，，，，对角线、相交于点，且，，作，垂足为．根据已知条件，请用图3证明勾股定理：在中，，求证：． 50．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 1. 两大核心定理 勾股定理：直角三角形→三边平方关系，用于求边长（由形算数）； 勾股定理逆定理：三边平方关系→直角三角形，用于判形状（由数判形）。 2. 两大核心数学思想 分类讨论思想：无图已知两边求第三边，必须讨论斜边情况，杜绝漏解； 方程思想：折叠、立体路径、实际应用问题，常设未知数列勾股方程解题。 3. 两大关键易错点 勾股数必须为正整数，小数、分数不满足定义； 逆定理判定直角三角形，必须用短边平方和对比最长边平方。 4. 通用解题思路 遇线段平方关系，优先联想勾股定理；图形无直角时，作垂线构造直角三角形，依托数形结合思想解题。 本章核心本质：实现几何图形与代数运算的数形结合转化，是后续几何计算、解三角形的基础。 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．8，15，17 C． D．1，2， 2．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．18 3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．1，，2 B．1，2，3 C．4，6，8 D．6，8，10 4．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 5．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 6．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，3，4，则正方形E的面积是（   ） A．14 B．17 C．19 D．34 7．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 8．如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为36．则小正方形的边长为_______． 11．勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为_____． 12．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 13．在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 14．如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，图（1）中正方形的面积为______；如图（2），若点在数轴上表示的数是，以为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点，则点所表示的数是_____． 15．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 三、解答题 16．在数轴上找出对应的点A． 17．如图，四边形中，，，，，且．求证：． 18．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少尺？（丈、尺是长度单位，1丈尺，）．    19．在中，． (1)已知，，求b的值． (2)已知，，求a的值． 20．问题背景： 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积． 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积． （1）请你直接写出△ABC的面积　 　； 思维拓展： （2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积． 21．如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． (1)求的度数； (2)若直线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 22．如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 23．如图，，两个工厂位于一段直线形河道的异侧，工厂至河道的距离为，工厂至河道的距离为，经测量河道上、两地间的距离为，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂． (1)设，请用的代数式表示的长______；（结果保留根号） (2)为了使，两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂位置，并求出排污管道最短长度？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出的最小值为多少？ 24．如图，在中，，的平分线交于点E，于点F，点F恰好是的一个三等分点（）． 求证： (1)． (2)求的长． (3)求的面积． 25．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $