第1章 三角形 单元复习讲义 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第1章 三角形 知识点1：全等三角形与全等变换 　　1.全等三角形：能完全重合的两个三角形；重合的顶点、边、角分别叫对应顶点、对应边、对应角。 　　2.表示：记作，对应顶点写在对应位置。 3.全等变换：平移、翻折、旋转后图形形状大小不变，与原图形全等。 知识点2：全等三角形的性质 　　1.对应边相等、对应角相等。 　　2.周长相等、面积相等。 　　3.对应边上的中线、高、对应角的平分线相等。 知识点3：全等三角形的判定 判定 条件 适用 SSS 三边分别相等 任意三角形 SAS 两边及夹角相等 任意三角形 ASA 两角及夹边相等 任意三角形 AAS 两角及其中一角对边相等 任意三角形 HL 斜边与一条直角边相等 直角三角形 　　⚠️ 易错警示：SSA（两边及其中一边对角）不能判定全等。 知识点4：判定全等三角形的常用思路 已知 可找的条件 已知两边 第三边（SSS）、夹角（SAS）、直角（HL） 已知一边一角 另一邻角（ASA）、另一邻边（SAS）、对角（AAS）、直角对边（HL） 已知两角 夹边（ASA）、夹边外任一边（AAS） 知识点5：角平分线的性质与判定 　　1.性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 　　2.判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 3.辅助线：由角平分线上的点向两边作垂线段。 知识点6：尺规作图 　　1.五种基本作图：作一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、角的平分线、线段的垂直平分线、过一点作垂线。 　　2.作角平分线的依据是SSS（构造全等三角形）。 知识点7：等腰三角形的性质 　　1.等边对等角：两腰相等，则两底角相等。 　　2.三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。 　　3.是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（底边中线、高）所在直线。 知识点8：等腰三角形的判定 　　1.等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 　　2.判定需注意：在同一个三角形中判断。 知识点9：等边三角形 　　1.定义：三边都相等的三角形。 　　2.性质：三个角都等于，是轴对称图形（3条对称轴）。 　　3.判定：三边相等；或三内角相等；或有一个角是的等腰三角形。 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 判定选择 用SSA判定 SSA不能判定全等 对应关系 对应顶点写错 对应顶点写在对应位置 角平分线 任意一点到边距离相等 角平分线上点到两边距离相等 等腰判定 跨三角形用等角对等边 同一三角形内判定 【易错题型】 【题型1】全等三角形判定方法的选择 　　1.易错点总结 　　（1）误用SSA判定全等； 　　（2）SAS（夹角）与ASA（夹边）混淆； 　　（3）对应顶点、对应边标错。 　　2.纠错技巧 　　（1）熟记5种判定条件，SSA不可用； 　　（2）看清已知元素的位置（夹角、夹边）； 　　（3）按对应关系写全等与条件。 【例题1】.（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，与中，已标出，，三处相等．判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）下图是课本中作一个角等于已知角的方法，这种作法的依据是利用__________判定两个三角形全等． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·山东淄博·期中）如图，，则下列条件①②③④中，能使成立的序号是__________． 【基础题型】 【题型2】全等三角形的性质 　　解题技巧： 　　（1）由全等找对应边、对应角； 　　（2）对应边相等、对应角相等； 　　（3）周长、面积相等； （4）利用对应关系求值。 【例题2】.（26-27八年级上·甘肃武威·期中）已知，，，则的取值范围是________． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·甘肃武威·期中）如图所示两个三角形全等，则x的值是（    ） A．6 B．5 C．30 D．3 【变式题2-2】.（26-27八年级上·甘肃定西·期中）如图，，和和是对应角，若，则的长为__________． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，点在上，下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【题型3】判定全等三角形的依据 　　解题技巧： 　　（1）由已知元素判断用哪种判定； 　　（2）情境题找对应边角； 　　（3）SSS、SAS、ASA、AAS、HL逐个对照； （4）SSA不成立。 【例题3】.（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，若，，则的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，在上，，，，则的判定依据是________． 【变式题3-2】.（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么在作图过程中确定三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，已知于点，于点，．请写出添加下列条件判定的依据． (1)添加，判定依据为__________ (2)添加，判定依据为__________ (3)添加，判定依据为__________ (4)添加，判定依据为__________． 【题型4】利用全等性质判定求解 　　解题技巧： 　　（1）证明全等后得对应相等； 　　（2）利用对应边角求线段角； 　　（3）结合已知条件列式； （4）检验结果。 【例题4】.（26-27八年级上·天津红桥·期中）如图，在中，，点在的延长线上，，过点作，且，连接，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题4-1】.（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知，E、F是上两点，．若，，则的长为______． 【变式题4-2】.（26-27八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中（），过点C作CD//AB，且，在上截取，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【提升题型】 【题型5】利用全等证明线段与角的关系 　　解题技巧： 　　（1）找目标三角形证明全等； 　　（2）加辅助线（截长补短、作垂线）； 　　（3）由全等得对应相等； （4）逐步推导结论。 【例题5】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图，点是线段的中点，于点，于点，连接，．若利用“”证明，则需要添加的条件是(     ) A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·河南周口·期中）如图1，这是小雨制作的一款风筝，该风筝的骨架如图2所示，其中，，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）已知：如图，、是上的两点，且，，．求证： (1)； (2)． 【变式题5-3】.（26-27八年级上·云南·期中）如图，在中，为的中点，，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，，，求的长． 【题型6】角平分线的性质与判定 　　解题技巧： 　　（1）性质：点到两边距离相等； 　　（2）判定：距离相等点在角平分线上； 　　（3）常作垂线段； （4）用于证线段相等。 【例题6】.（26-27七年级上·山东淄博·期中）如图，平分，于点，点在上，于点．若，，，则的长为__________． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·河北保定·阶段检测）如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（26-27八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，于点E，于点F，若，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，点P在内部，于点M，于点N，点B在线段上，点C在的延长线上，连接，，若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【题型7】等腰三角形与等边三角形的性质应用 　　解题技巧： 　　（1）等边对等角求角； 　　（2）三线合一求边角； 　　（3）等边三角形三内角； （4）结合全等解题。 【例题7】.（26-27八年级上·陕西榆林·期中）若等腰三角形的周长为，腰长为，则它的底边长为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若一个等腰三角形的两条边的长度分别为3和7，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．3 B．7 C．4 D．3或7 【变式题7-2】.（26-27八年级上·江西·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【变式题7-3】.（26-27八年级上·湖北恩施·期中）如图，等边与等边的顶点三点在一条直线上，连接交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：点到直线和直线的距离相等． 【题型8】尺规作图与全等交互 　　解题技巧： 　　（1）理解作图依据（SSS构造全等）； 　　（2）保留作图痕迹； 　　（3）由作图联系全等证明； （4）利用垂直平分线、角平分线性质。 【例题8】.（26-27八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，，点在上，连接，请根据要求完成以下作图并完成证明． (1)尺规作图：在射线上截取，在的上方作，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：，，，求证： 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，点D在边的延长线上，过点D作，点E是射线上一个点，满足． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线的右侧作，与射线交于点F.（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，中，为边上一点，点为延长线上一点． (1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，的角平分线的反向延长线与的延长线交于点，有以下三个条件：①，②，③，从中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“”的形式写出一个真命题并证明； 【变式题8-3】.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 【培优题型】 【题型9】网格中的全等与等腰三角形 　　解题技巧： 　　（1）利用网格边长、格点； 　　（2）找全等三角形求角； 　　（3）构造等腰三角形； （4）数形结合。 【例题9】.（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1的小正方形的顶点叫作格点．线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，找一格点C，构造等腰，使； (2)在图②中，找一格点D，构造等腰，使； (3)在图③中，找一格点E，构造等腰，使． 【变式题9-1】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点A、B都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作出与线段平行的线段，使点C、D都在格点上； (2)在图②中，以为腰作等腰； (3)在图③中，作出，使的面积为，且点F与图②中点E不是同一个点． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）由边长为1的小正方形构成的10×12的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成画图（仅用无刻度的直尺）： (1)如图1，画出，使得与关于直线对称； (2)如图2： ①在上方画出，使得是以为底的等腰三角形，且顶角为； ②画出，使得． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·江苏连云港·期末）【问题背景】同学们，我们知道角是一种特殊角，在一些图形中经常出现，掌握它的一些特殊性质可以解决许多问题，今天就让我们一起来认识一下”角． 【问题探究】 (1)在图1网格中用无刻度的直尺作图：以已知线段为一边画一个的角； (2)如图2，四边形是正方形，点为边上一点，请用圆规和无刻度直尺作图：在边上求作一点，使得；(保留作图痕迹，不写作法) 【问题拓展】 (3)小明在完成(2)的作图后，将图形简化为图，即四边形是正方形，点为边上一点，点为边上一点，．他把绕着点顺时针转，并作下列探究： ①用直尺和圆规作出旋转后的； ②小明判断所画图形中有轴对称图形不包含原正方形，请用阴影把轴对称图形标记出来； ③若图中正方形边长为，面积为，则的值为 ． 【题型10】折叠问题 　　解题技巧： 　　（1）折叠前后图形全等； 　　（2）对应边角相等； 　　（3）折痕为对称轴； （4）结合等腰、等边求值。 【例题10】.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题： (1)在图1中，作的平分线，与边交于点D；此时若的面积是24，，求的长； (2)在图2中，把折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点E，F． ①请作出折痕； ②连接，若，，求的周长． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿折叠后，点的对应点为点交于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)连接，若平分，求的度数． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 在中，，把沿折叠，得到，为边上一点，点在射线上． 初步探究： （1）如图1，当点在的边上时，若，则与的数量关系为______． 深入探究： （2）如图2，点在边的延长线上，且． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②若，的面积为12，求四边形的面积． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）【探索发现】 如图1，是等边三角形，点为边上一个动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形． （1）直接写出线段，，之间的数量关系：______； 【理解运用】 如图2，在中，于点．将绕点逆时针旋转得到，延长与交于点． （2）判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在（2）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，的长为______． 【题型11】等腰三角形判定与证明 　　解题技巧： 　　（1）等角对等边判定等腰； 　　（2）在同一三角形内判断； 　　（3）证两角相等（全等、平行）； （4）三线合一辅助。 【例题11】.（26-27八年级上·吉林·期中）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，过点，且，交于点． (1)求的度数． (2)求证：是等边三角形． 【变式题11-1】.（26-27八年级上·陕西榆林·期中）如图，的顶点在等边内部，的顶点在等边外部，，连接、． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的度数． 【变式题11-2】.（26-27八年级上·北京海淀·期中）在中，是的角平分线，于点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)若点是线段上的一点（不与点重合），以为一边，在的下方作，交边于点交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式题11-3】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）“一线三垂直”属于“一线三等角”模型的特例，特点是三个相等的角都是直角，对应有三组边相互垂直．若该模型内有一组对应边相等，则一定能找到一对全等三角形．（如图：） (1)如图，在等腰直角中，，．过点作直线，于，于．若，， ①求证：； ②求的长． (2)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． ①连接、，则是等腰直角三角形吗？请判断，并说明理由． ②第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【题型12】全等与等腰中的动点问题 　　解题技巧： 　　（1）用时间t表示动点位置； 　　（2）分类讨论点的位置； 　　（3）列线段关系（全等、等腰）； （4）检验解。 【例题12】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图①，在中，，，，．以为边向左作长方形，使点C，D分别位于边的异侧，．动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点E运动，设点P运动的时间为t秒，（） (1)当点P在线段上时，直接用含t的代数式表示线段的长； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值； (3)若点P不与点D，E重合，当点P到四边形的一组邻边的距离相等时，求t的值； (4)如图②，连接，将线段沿直线翻折得到线段，连接．当的面积为长方形面积的时，直接写出t的值． 【变式题12-1】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，，动点从点开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒． (1)填空：当时，________（用含的式子表示） 当时，________（用含的式子表示） (2)经过几秒，的面积等于； (3)直接写出当为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 【变式题12-2】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在等腰中，，，于点D．动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，连接，点P不与点D、点A和点B重合．设动点P运动时间为t秒（）． (1)求线段的长度； (2)当点P在边上运动且时，求的长度； (3)当的面积是面积的时，求t的值； (4)当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【变式题12-3】.（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图1，中，，M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点 P 从点A 出发沿边向M 点运动，速度为1个单位/秒，当动点P 到达M点时，运动停止．连接，设运动时间为t．在此过程中 (1)当时，求的长度； (2)设的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，是等腰三角形? (4)如图2，若点N是线段上一点，且，点Q 是线段上一动点，连接得到，请直接写出周长的最小值． 同步练习 一、单选题 1．若某个等腰三角形的腰长为4，底边长为5，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．14 C．9 D．15 2．如图，在与中，，，只需补充一个条件即可判定，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 3．如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点在线段的延长线上，则的大小为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．现有一根长为的小木棍，小明准备了另一根长为的小木棍，准备将其截成不一样长的两段并与长的小木棍首尾相连组成一个三角形，则截成的两段较短的一段长度可以是__________．（写出一个即可） 5．如图，在中，，是中线，，，则的面积为__________________． 6．如图所示，，为平分线上一点，交于点，于点，若，则的长为__________． 三、解答题 7．已知，，是的三边长，且，，求周长． 8．如图，是上一点，和都是等边三角形，分别连接，，求证：． 9．自贡某中学八年级数学兴趣小组到郊外测量池塘两端A，B之间的距离． 他们在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使；再连接，测得米． 求池塘两端A，B之间的距离，并说明理由． 10．如图所示，，，． (1)与全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请说明理由． (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 知识点1：全等三角形与全等变换 　　1.全等三角形：能完全重合的两个三角形；重合的顶点、边、角分别叫对应顶点、对应边、对应角。 　　2.表示：记作，对应顶点写在对应位置。 3.全等变换：平移、翻折、旋转后图形形状大小不变，与原图形全等。 知识点2：全等三角形的性质 　　1.对应边相等、对应角相等。 　　2.周长相等、面积相等。 　　3.对应边上的中线、高、对应角的平分线相等。 知识点3：全等三角形的判定 判定 条件 适用 SSS 三边分别相等 任意三角形 SAS 两边及夹角相等 任意三角形 ASA 两角及夹边相等 任意三角形 AAS 两角及其中一角对边相等 任意三角形 HL 斜边与一条直角边相等 直角三角形 　　⚠️ 易错警示：SSA（两边及其中一边对角）不能判定全等。 知识点4：判定全等三角形的常用思路 已知 可找的条件 已知两边 第三边（SSS）、夹角（SAS）、直角（HL） 已知一边一角 另一邻角（ASA）、另一邻边（SAS）、对角（AAS）、直角对边（HL） 已知两角 夹边（ASA）、夹边外任一边（AAS） 知识点5：角平分线的性质与判定 　　1.性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 　　2.判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 3.辅助线：由角平分线上的点向两边作垂线段。 知识点6：尺规作图 　　1.五种基本作图：作一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、角的平分线、线段的垂直平分线、过一点作垂线。 　　2.作角平分线的依据是SSS（构造全等三角形）。 知识点7：等腰三角形的性质 　　1.等边对等角：两腰相等，则两底角相等。 　　2.三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。 　　3.是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（底边中线、高）所在直线。 知识点8：等腰三角形的判定 　　1.等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 　　2.判定需注意：在同一个三角形中判断。 知识点9：等边三角形 　　1.定义：三边都相等的三角形。 　　2.性质：三个角都等于，是轴对称图形（3条对称轴）。 　　3.判定：三边相等；或三内角相等；或有一个角是的等腰三角形。 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 判定选择 用SSA判定 SSA不能判定全等 对应关系 对应顶点写错 对应顶点写在对应位置 角平分线 任意一点到边距离相等 角平分线上点到两边距离相等 等腰判定 跨三角形用等角对等边 同一三角形内判定 【易错题型】 【题型1】全等三角形判定方法的选择 　　1.易错点总结 　　（1）误用SSA判定全等； 　　（2）SAS（夹角）与ASA（夹边）混淆； 　　（3）对应顶点、对应边标错。 　　2.纠错技巧 　　（1）熟记5种判定条件，SSA不可用； 　　（2）看清已知元素的位置（夹角、夹边）； 　　（3）按对应关系写全等与条件。 【例题1】.（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，与中，已标出，，三处相等．判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴判定的依据是． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）下图是课本中作一个角等于已知角的方法，这种作法的依据是利用__________判定两个三角形全等． 【答案】边边边（或） 【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解： 在和中， ， ∴， ∴． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：A、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； B、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； C、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； D、，，，不能判定，故选项D符合题意． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·山东淄博·期中）如图，，则下列条件①②③④中，能使成立的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】已知即，且隐含公共边，需结合全等三角形判定定理、、进行筛选，注意不能判定全等． 【详解】解：由图可知，，且为公共边 ∵ ∴ 对于①，若，结合，，属于，不能判定 对于②，若， ∵，， ∴ 对于③，若， ∵，， ∴ 对于④，若， ∵，， ∴ 综上所述，能使成立的序号是②③④ 【基础题型】 【题型2】全等三角形的性质 　　解题技巧： 　　（1）由全等找对应边、对应角； 　　（2）对应边相等、对应角相等； 　　（3）周长、面积相等； （4）利用对应关系求值。 【例题2】.（26-27八年级上·甘肃武威·期中）已知，，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质得到，，再结合三角形三边关系推导的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·甘肃武威·期中）如图所示两个三角形全等，则x的值是（    ） A．6 B．5 C．30 D．3 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质对应边相等解答． 【详解】解：根据题意两个三角形全等，等角所对的边是对应边， 即的角所对的边是对应边， ． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·甘肃定西·期中）如图，，和和是对应角，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出相等的线段，然后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，点在上，下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“全等三角形对应边相等，对应角相等”推导出确定的结论即可． 【详解】解：∵， ∴，，． 综上，A、B、C结论一定成立，不符合题意；D项结论不一定成立，符合题意． 【题型3】判定全等三角形的依据 　　解题技巧： 　　（1）由已知元素判断用哪种判定； 　　（2）情境题找对应边角； 　　（3）SSS、SAS、ASA、AAS、HL逐个对照； （4）SSA不成立。 【例题3】.（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，若，，则的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出两个三角形的三组条件：公共角，夹边，另一组角，两角夹一边，对应 判定． 【详解】解：在和△中 【变式题3-1】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，在上，，，，则的判定依据是________． 【答案】 /边角边 【分析】根据证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中，， ∴． 【变式题3-2】.（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么在作图过程中确定三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图可知：，，， ∴． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，已知于点，于点，．请写出添加下列条件判定的依据． (1)添加，判定依据为__________ (2)添加，判定依据为__________ (3)添加，判定依据为__________ (4)添加，判定依据为__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据进行判定； （2）根据进行判定； （3）根据进行判定； （4）根据进行判定； 【详解】（1）解：∵于点于点， ， ， ∴当添加时，根据可判定； （2）解：∵于点于点， ， ， ∴当添加时，根据可判定； （3）解：∵于点于点， ， ∵， ∴， ， ∴当添加时，根据可判定； （4）解：∵于点于点， ， ∵， ∴， ， ∴当添加时，根据可判定； 【题型4】利用全等性质判定求解 　　解题技巧： 　　（1）证明全等后得对应相等； 　　（2）利用对应边角求线段角； 　　（3）结合已知条件列式； （4）检验结果。 【例题4】.（26-27八年级上·天津红桥·期中）如图，在中，，点在的延长线上，，过点作，且，连接，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】用证明，利用全等的性质进行求解． 【详解】解：， ， 在和中，， ， ， ． 【变式题4-1】.（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知，E、F是上两点，．若，，则的长为______． 【答案】7 【分析】由“”可证，可得，根据即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ， ∴， ． 【变式题4-2】.（26-27八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明： ，是的高线， ，， 在和中，，则由三角形内角和定理可得， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由高的定义、对顶角相等及三角形内角和定理得，再由三角形全等的判定与性质求证即可； （2）由（1）中得到，数形结合表示出的长，代入具体线段长计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ， ， ， ， 则． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中（），过点C作CD//AB，且，在上截取，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ． (2)10 【分析】（1）由得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明 ； （2）由 ，，，，得，且，则可求． 【详解】（1）略； （2）解：∵ ，，，， ∴，， ． 【提升题型】 【题型5】利用全等证明线段与角的关系 　　解题技巧： 　　（1）找目标三角形证明全等； 　　（2）加辅助线（截长补短、作垂线）； 　　（3）由全等得对应相等； （4）逐步推导结论。 【例题5】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图，点是线段的中点，于点，于点，连接，．若利用“”证明，则需要添加的条件是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已有的条件是与；用判定，所补的边必须是夹这两个角的两边之一，由此看哪个选项能与已有条件拼成"边—角—边"． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴． 要用证明，两组边必须分别是夹的、与夹的、， ∴还需添加． 若添加，则给出的是斜边，属；若添加，属；若添加，属，都不能用． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·河南周口·期中）如图1，这是小雨制作的一款风筝，该风筝的骨架如图2所示，其中，，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在与中， ， ∴； (2) 【分析】（1）利用即可证明； （2）由，得到．再证明，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）已知：如图，、是上的两点，且，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，有， ∴． (2)证明：由（1）得， ∴， ∴． 【分析】（1）由两直线平行可得内错角相等即，由等式的性质可得，由边角边可证； （2）由（1）中的全等三角形对应角相等可得，又根据内错角相等两直线平行即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题5-3】.（26-27八年级上·云南·期中）如图，在中，为的中点，，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】由得，然后通过“”证明即可； 由得，，然后通过，求得，最后由即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴，，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【题型6】角平分线的性质与判定 　　解题技巧： 　　（1）性质：点到两边距离相等； 　　（2）判定：距离相等点在角平分线上； 　　（3）常作垂线段； （4）用于证线段相等。 【例题6】.（26-27七年级上·山东淄博·期中）如图，平分，于点，点在上，于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】作于点，利用角平分线的性质得出，再利用等面积法求解的长． 【详解】解：如图，作于点， 平分，，， ． ， ， ． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·河北保定·阶段检测）如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理即可作答． 【详解】解：由题意得，平分， ∵， ∴． 【变式题6-2】.（26-27八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，于点E，于点F，若，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明：于， ， 为直角三角形． 于， ， 为直角三角形， 在与中， ， ∴ ， ， ∵， 平分； (2)证明：由（1）知平分， ， 在与中， ， ， ， ． 【分析】（1）利用“”证明 ，由全等三角形的性质可得，然后根据“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”，即可证明平分； （2）利用“”证明 ，由全等三角形的性质可得，据此根据线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题6-3】.（26-27八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，点P在内部，于点M，于点N，点B在线段上，点C在的延长线上，连接，，若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵于点M，于点N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分； (2) 【分析】（1）证明得出，再结合角平分线的判定定理即可得证； （2）先证明得出，再结合全等三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型7】等腰三角形与等边三角形的性质应用 　　解题技巧： 　　（1）等边对等角求角； 　　（2）三线合一求边角； 　　（3）等边三角形三内角； （4）结合全等解题。 【例题7】.（26-27八年级上·陕西榆林·期中）若等腰三角形的周长为，腰长为，则它的底边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，周长为， ∴底边长为． 【变式题7-1】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若一个等腰三角形的两条边的长度分别为3和7，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．3 B．7 C．4 D．3或7 【答案】B 【分析】分腰长为和两种情况讨论，结合三角形三边关系验证能否构成三角形． 【详解】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·江西·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明： ， ， 平分， ， ， 是等腰三角形； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，推出，即可得证； （2）根据平行线的性质可得，，由角平分线的定义得到，，推出，，进而得到，，最后根据，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： ， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ， ． 【变式题7-3】.（26-27八年级上·湖北恩施·期中）如图，等边与等边的顶点三点在一条直线上，连接交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：点到直线和直线的距离相等． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点C作，垂足分别为M、N，， 由（1）得：， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到直线和直线的距离相等． 【分析】（1）证明，可得，从而得到，即可解答； （2）过点C作，垂足分别为M、N，，证明，可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵B，C，E三点在一条直线上， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）略 【题型8】尺规作图与全等交互 　　解题技巧： 　　（1）理解作图依据（SSS构造全等）； 　　（2）保留作图痕迹； 　　（3）由作图联系全等证明； （4）利用垂直平分线、角平分线性质。 【例题8】.（26-27八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，，点在上，连接，请根据要求完成以下作图并完成证明． (1)尺规作图：在射线上截取，在的上方作，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：，，，求证： 【答案】(1) (2)证明： ， ， 在和中： ， （）， ， ， ． 【分析】（1）以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点；以为圆心，适当长度画弧，交、于两点； 以为圆心，等长半径画弧交于一点； 量取前弧两点间距，在左侧弧上截取等长弧，连线得到射线，交 于． （2）根据平行的性质及角边角全等判定定理证明即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，点D在边的延长线上，过点D作，点E是射线上一个点，满足． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线的右侧作，与射线交于点F.（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)在射线的右侧作，与射线交于点F如下： (2)证明：如图， ， ， 根据（1）得：， ∵， ， ， ． 【分析】（1）根据尺规作图作一个角等于已知角的方法在射线的右侧作，与射线交于点F即可； （2）根据（1）得，根据平行线性质结合已知得，再根据条件，即可证明，根据全等三角形性质得，再根据平行线判定定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，中，为边上一点，点为延长线上一点． (1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，的角平分线的反向延长线与的延长线交于点，有以下三个条件：①，②，③，从中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“”的形式写出一个真命题并证明； 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：三个条件中任取两个作题设、另一个作结论均可构成真命题，即②③→①、①③→②、①②→③，证明如下． 由题意，是的平分线的反向延长线与的延长线的交点， ∴、、三点共线，、、三点共线， ∴与是对顶角，． 又． ②③→①：若，，则． 在与中， ，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ①③→②：若，，则． ∵，， ∴． 在与中， ，，， ∴， ∴． ①②→③：若，，则． ∵，， ∴． 在与中， ，，， ∴， ∴． 【分析】（1）以点为顶点、为一边，在右侧作，边与的交点即为点； （2）由点在的延长线上、点在上，可知与是对顶角，这是判定与全等的隐含条件；再由（1）的把条件①改写成，于是②、③与改写后的①恰好是这两个三角形的两组对应边与一组对应角，任取其中两个配合对顶角，即可分别用、或判定全等，进而推出第三个． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角）与全等三角形的判定和性质；解题关键是把条件①中的用（1）的换成，使①、②、③恰为与的一组对应角与两组对应边，再与对顶角配合，三个条件中任选两个作题设都能判定全等并推出第三个． 【变式题8-3】.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 【答案】(1)如图，分别作、的角平分线，交于点，根据角平分线的性质，点到、的距离相等，到、的距离也相等，因此，点到三条边的距离相等，点即为所求． (2)如图，以B、C为圆心，以相同且大于的长度为半径画弧，交于E、F，连接，交于点D，连接，点D即为所求． 【分析】（1）要求点O到三条边的距离相等，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可以利用三角形两个内角的角平分线交点确定所求点． （2）要求的周长等于，将周长条件转化为线段相等，得到，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，要使，则点D在线段的垂直平分线上，所以作线段的垂直平分线，它与的交点D即可满足要求． 【详解】（1）略 （2）略 【培优题型】 【题型9】网格中的全等与等腰三角形 　　解题技巧： 　　（1）利用网格边长、格点； 　　（2）找全等三角形求角； 　　（3）构造等腰三角形； （4）数形结合。 【例题9】.（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1的小正方形的顶点叫作格点．线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，找一格点C，构造等腰，使； (2)在图②中，找一格点D，构造等腰，使； (3)在图③中，找一格点E，构造等腰，使． 【答案】(1)如图①所示，即为所求（任选其一）； (2)如图②所示，即为所求（任选其一）； (3)如图③所示，即为所求． 【分析】（1）画一个的等腰三角形即可； （2）画一个的等腰三角形即可； （3）画一个的等腰三角形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式题9-1】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点A、B都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作出与线段平行的线段，使点C、D都在格点上； (2)在图②中，以为腰作等腰； (3)在图③中，作出，使的面积为，且点F与图②中点E不是同一个点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取格点、，连接，证得，即可得； （2）取格点，连接、，由垂直平分得，即可得是以为腰的等腰三角形； （3）取格点，连接、，可得． 【详解】（1）解：如图，取格点、，连接，即为所求； 由格点可知，，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，取格点，连接、，即为所求； 由格点可知，，， ∴垂直平分， ∴， ∴是以为腰的等腰三角形； （3）解：如图，取格点，连接、，即为所求． 由格点可知，，， ∴． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）由边长为1的小正方形构成的10×12的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成画图（仅用无刻度的直尺）： (1)如图1，画出，使得与关于直线对称； (2)如图2： ①在上方画出，使得是以为底的等腰三角形，且顶角为； ②画出，使得． 【答案】(1) 如图所示． (2) 如图所示； 如图所示． 【分析】（1）根据轴对称的性质确定关于直线的对应点，然后再顺次连接即可； （2）①根据网格特点和等腰三角形，直角三角形的特点，在上方作图即可； ②根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】（1）略. （2）略. 【变式题9-3】.（25-26七年级下·江苏连云港·期末）【问题背景】同学们，我们知道角是一种特殊角，在一些图形中经常出现，掌握它的一些特殊性质可以解决许多问题，今天就让我们一起来认识一下”角． 【问题探究】 (1)在图1网格中用无刻度的直尺作图：以已知线段为一边画一个的角； (2)如图2，四边形是正方形，点为边上一点，请用圆规和无刻度直尺作图：在边上求作一点，使得；(保留作图痕迹，不写作法) 【问题拓展】 (3)小明在完成(2)的作图后，将图形简化为图，即四边形是正方形，点为边上一点，点为边上一点，．他把绕着点顺时针转，并作下列探究： ①用直尺和圆规作出旋转后的； ②小明判断所画图形中有轴对称图形不包含原正方形，请用阴影把轴对称图形标记出来； ③若图中正方形边长为，面积为，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③25 【分析】（1）以为腰，点为直角顶点，作等腰直角三角形，即可； （2）过点作，作的角平分线，则； （3）①作，截取，连接， ②根据轴对称图形的性质，用阴影部分标记即可； ③依题意，进而确定，设，，则，，得出，进而根据完全平方公式变形求得的值，即可求解． 【详解】（1）以为腰，点为直角顶点，作等腰直角三角形，则；图略 （2）首先过点作，再作直角的角平分线，则；图略 （3）①作，截取，连接， 则就是求作的图形；图略 ②略 ③ ， ， ， ， ， 设，，则，， ，即． ， ， ． 【题型10】折叠问题 　　解题技巧： 　　（1）折叠前后图形全等； 　　（2）对应边角相等； 　　（3）折痕为对称轴； （4）结合等腰、等边求值。 【例题10】.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题： (1)在图1中，作的平分线，与边交于点D；此时若的面积是24，，求的长； (2)在图2中，把折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点E，F． ①请作出折痕； ②连接，若，，求的周长． 【答案】(1) 如图，即为所求． 3 (2) ①如图，折痕即为所求； ②10 【分析】本题考查尺规作图：作角的平分线、作垂线，垂直平分线的性质； （1）根据作角平分线的方法步骤画图，过作交于，根据角平分线定理及即可求解； （2）①根据尺规作垂线的方法作图即可； ②根据作图知，，利用三角形周长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：过作交于， 平分，且， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又 ， 解得， 所以； （2）解：①略 ②连接， 由作图知， ∴的周长为， 所以的周长为10． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿折叠后，点的对应点为点交于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)连接，若平分，求的度数． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵长方形纸片沿折叠， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了长方形与折叠性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）由折叠性质可得，再由两直线平行内错角相等结合等量代换得到，即可证明； （2）根据角平分线定义以及平行线性质可得，结合即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 在中，，把沿折叠，得到，为边上一点，点在射线上． 初步探究： （1）如图1，当点在的边上时，若，则与的数量关系为______． 深入探究： （2）如图2，点在边的延长线上，且． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②若，的面积为12，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）①，理由： ∵，把沿折叠，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②72 【分析】该题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． （1）根据折叠可得，证明，即可得． （2）①根据，把沿折叠，得到，得出，结合，得出，证明，即可得． ②根据，的面积为12，得出，根据翻折可得，根据，得出，即可得四边形的面积，即可求解． 【详解】解：（1）根据折叠可得， 又，， ∴， ∴． （2）①略 ②∵，的面积为12， ∴， 根据翻折可得， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）【探索发现】 如图1，是等边三角形，点为边上一个动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形． （1）直接写出线段，，之间的数量关系：______； 【理解运用】 如图2，在中，于点．将绕点逆时针旋转得到，延长与交于点． （2）判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在（2）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，的长为______． 【答案】（1） （2）四边形是正方形，理由如下： ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3） 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质． （1）先证明、、在同一直线上，根据证明，则，，可得； （2）先根据，证明得四边形是矩形，由邻边相等可得四边形是正方形； （3）根据证明，根据及勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系：， 理由是：由旋转得：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， 故答案为：； （2） 略 （3）如图3，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【题型11】等腰三角形判定与证明 　　解题技巧： 　　（1）等角对等边判定等腰； 　　（2）在同一三角形内判断； 　　（3）证两角相等（全等、平行）； （4）三线合一辅助。 【例题11】.（26-27八年级上·吉林·期中）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，过点，且，交于点． (1)求的度数． (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，再结合点是的中点可推出，最后由垂直的定义及可得答案； （2）根据等边三角形的性质及中点的条件得，，继而得到，，证明得，即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）略． 【变式题11-1】.（26-27八年级上·陕西榆林·期中）如图，的顶点在等边内部，的顶点在等边外部，，连接、． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ． ， ，， ， 是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，则，即可证明是等边三角形； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据角的和差计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． 是等边三角形． ， ，， ． 【变式题11-2】.（26-27八年级上·北京海淀·期中）在中，是的角平分线，于点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)若点是线段上的一点（不与点重合），以为一边，在的下方作，交边于点交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图， 在中， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵于点， ∴为的中点， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)，理由如下： 如图，在的延长线上取点，使得连接，在射线上取点，使位于点的下方，且连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∵且 ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 ∵, ∴ 由于在的下方，射线与射线重合，又因为在的延长线上，故点与点重合， ∴ ∴． 【分析】（1）证明，且即可得到结论； （2）在的延长线上取点，使得连接，在射线上取点，使位于点的下方，且连接，证明，则，证明，则，设，则，，由于在的下方，射线与射线重合，又因为在的延长线上，故点与点重合，则，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题11-3】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）“一线三垂直”属于“一线三等角”模型的特例，特点是三个相等的角都是直角，对应有三组边相互垂直．若该模型内有一组对应边相等，则一定能找到一对全等三角形．（如图：） (1)如图，在等腰直角中，，．过点作直线，于，于．若，， ①求证：； ②求的长． (2)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． ①连接、，则是等腰直角三角形吗？请判断，并说明理由． ②第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)①证明：∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ② (2)①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ，即， ∴是等腰直角三角形； ②存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或 【分析】（）利用余角性质可证，再根据判定定理“”即可求证；②由全等三角形的性质得，，再根据线段的和差关系解答即可； （）①过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得到，，进而得到，即可求证；②分三种情况，分别画出图形，同理（）①证明三角形全等，再根据全等三角形的性质并结合点的坐标解答即可． 【详解】（1）略 ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 ②解：第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，分三种情况： 当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴，， ∵， ， ∴，， ∴，， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； 当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴；   当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴， ， 设， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 【题型12】全等与等腰中的动点问题 　　解题技巧： 　　（1）用时间t表示动点位置； 　　（2）分类讨论点的位置； 　　（3）列线段关系（全等、等腰）； （4）检验解。 【例题12】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图①，在中，，，，．以为边向左作长方形，使点C，D分别位于边的异侧，．动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点E运动，设点P运动的时间为t秒，（） (1)当点P在线段上时，直接用含t的代数式表示线段的长； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值； (3)若点P不与点D，E重合，当点P到四边形的一组邻边的距离相等时，求t的值； (4)如图②，连接，将线段沿直线翻折得到线段，连接．当的面积为长方形面积的时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)或3 (3)或4 (4)或或 【分析】（1）用列出代数式即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点到的距离相等和点到的距离相等两种情况进行讨论求解即可； （4）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，当点P在线段上时，， ∴； （2）解：由题意，分两种情况： 当时，则，解得， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得, 综上可知，t的值为或3； （3）解：当点到的距离相等时， ∵长方形， ∴，， ∴， ∴点到的距离为的长，点到的距离为的长， ∴，即，解得； 当点到的距离相等时，则点到的距离为4， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （4）解：∵长方形，，， ∴长方形的面积为． ∵的面积为长方形面积的， ∴的面积为； 当点在上时，设交直线于点，则，， 当点在上时，， ∴的面积，解得； 当点在上时，， ∴的面积，解得； 当点在上时，则， 的面积，解得； 综上：或或. 【变式题12-1】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，，动点从点开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒． (1)填空：当时，________（用含的式子表示） 当时，________（用含的式子表示） (2)经过几秒，的面积等于； (3)直接写出当为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1)； (2)秒或秒 (3)或 【分析】（1）先得出点运动的距离为， 由，判断点在上；当时，点在线段上，问题随之得解； （2）先求出 ，分当点在上，和当点在上两种情况，结合三角形的面积列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）当是以为底边的等腰三角形时，即有，根据运动的特点，可得点运动的距离为：； 当是以为底边的等腰三角形时，过点作于点，利用等腰三角形的判定与性质可证明，即有，进而可得方程， 解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据运动的特点可知：点运动的距离为， 当时，点在线段上，， 当时，点在线段上，； （2）解：在中， ，，，， ， 当点在上， 如图， 的面积等于， ， ， ， 解得(秒)； 当点在上， 如图， 此时：点运动的距离为：， ， ， 的面积等于， ， ， ， 解得(秒)； 综上：经过 秒或秒， 的面积等于； （3）解：当是以为底边的等腰三角形时，如图， 即有， ， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ， 解得； 当是以为底边的等腰三角形时，如图， 过点作于点， 在等腰中，， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ∴， 解得； 综上所述： 或． 【变式题12-2】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在等腰中，，，于点D．动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，连接，点P不与点D、点A和点B重合．设动点P运动时间为t秒（）． (1)求线段的长度； (2)当点P在边上运动且时，求的长度； (3)当的面积是面积的时，求t的值； (4)当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)2或 (4)或 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，勾股定理解答即可； （2）利用三角形面积不同表示建立等式解答即可； （3）先计算面积的，再分类计算的面积，建立等式解答即可； （4）分类解答即可． 本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，本题是动点问题，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，于点D，， ∴． 在中，， ． （2）解：当点P在边AB上运动且时， ∵， ∴， ∴． 即当点P在边上运动且时，的长度为． （3）解：． 当时，根据题意可得， 解得：． 当时，根据题意可得， 解得：． （4）解：当点P在上时， 根据直角三角形的斜边大于任何一条直角边，结合垂线段最短原理，得到 ， 此时只有时，是等腰三角形， 根据题意，得， 根据勾股定理，得， 故， 解得； 当点P在上时， 此时只有时，是等腰三角形， 过点C作于点E， 根据题意，得，，， 根据勾股定理，得， 故， 故； 故； 故， 综上所述，当t等于或时，是等腰三角形． 【变式题12-3】.（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图1，中，，M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点 P 从点A 出发沿边向M 点运动，速度为1个单位/秒，当动点P 到达M点时，运动停止．连接，设运动时间为t．在此过程中 (1)当时，求的长度； (2)设的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，是等腰三角形? (4)如图2，若点N是线段上一点，且，点Q 是线段上一动点，连接得到，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)当秒或秒或秒时，是等腰三角形 (4) 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，函数关系式的建立等知识点． （1）确定出、均为等腰直角三角形，然后对运用勾股定理求解即可； （2）由题意得，，根据即可建立函数关系式； （3）由题意得，根据勾股定理可得，，然后分三种情况结合等腰三角形的性质求解即可； （4）过点分别作的对称点，连接，则，，那么，，则当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意得，当时，， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， 由得； （3）解：由题意得，，，， 当时，则，解得； 当时，，解得； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：当秒或秒或秒时，是等腰三角形 （4）解：过点分别作的对称点，连接， ∴， ∴，， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵， ∴， ∴的周长最小值为． 同步练习 一、单选题 1．若某个等腰三角形的腰长为4，底边长为5，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．14 C．9 D．15 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形腰长为4，底边长为5， ∴周长为． 2．如图，在与中，，，只需补充一个条件即可判定，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、添加条件后为，不能证明全等； B、添加条件后用即可证明 ； C、添加条件后为，不能证明全等； D、添加条件均为内的角，不能证明全等． 3．如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点在线段的延长线上，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由旋转可知，，， ． 二、填空题 4．现有一根长为的小木棍，小明准备了另一根长为的小木棍，准备将其截成不一样长的两段并与长的小木棍首尾相连组成一个三角形，则截成的两段较短的一段长度可以是__________．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】设较短段长度为，结合两段不等的长度要求、三角形三边关系确定的取值范围，在范围内选取符合要求的数值即可； 【详解】解：设截成的较短一段长度为，则较长一段长度为， 截成的两段长度不相等，且为较短段， ，解得， 三根木棍可构成三角形，需满足任意两边之和大于第三边， 两短边长度和需大于最长边长度，即， 解该不等式得， 较短段长度的取值范围为， 在该范围内任取一值，例如，验证可知对应三边为、、，满足三角形三边关系，符合要求． 5．如图，在中，，是中线，，，则的面积为__________________． 【答案】 【分析】由“三线合一”可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 6．如图所示，，为平分线上一点，交于点，于点，若，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，， ， 交于点，， ， ． 三、解答题 7．已知，，是的三边长，且，，求周长． 【答案】 的周长为 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴，解得； ∴，，， ∴的周长为. 8．如图，是上一点，和都是等边三角形，分别连接，，求证：． 【答案】∵ 和 都是等边三角形， ∴ ，， ． ∴ ， 即 ．​ ∴ ， ∴ ． 【分析】因为要证明两条线段，所以优先考虑证明这两条线段所在的三角形全等．因为和都是等边三角形，所以可得到对应边相等、对应角为的基础条件．因为点在上，所以可通过角的和差关系，推导得到包含、的两个三角形的夹角相等．最后利用三角形全等的判定定理，证明两个三角形全等，进而得到对应边相等． 【详解】略． 9．自贡某中学八年级数学兴趣小组到郊外测量池塘两端A，B之间的距离． 他们在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使；再连接，测得米． 求池塘两端A，B之间的距离，并说明理由． 【答案】米． 理由如下：在和中， ， ∴． ∴（米）． 【分析】根据全等三角形的判定与性质，即可求解． 【详解】略 10．如图所示，，，． (1)与全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请说明理由． (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)． 证明：， ，即． 在与中， ， ． (2)． 理由：在与中， ， ． ，． ， ， ，即． 在与中， ， ． ． 【分析】（1）证明，即可得到； （2）证明，得到，；由得到，进而根据角的和差关系等量代换可得；证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $