第1章 三角形——全等三角形的条件补充与综合证明 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册

第1章 三角形——全等三角形的条件补充与综合证明 专题复习讲义 —学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 内容导航 一、对应关系与判定条件 二、根据点序寻找隐藏的边 三、寻找隐藏的角与反向证明 四、两次全等之间的条件传递 A组 基础训练 B组 重点突破 C组 综合运用 D组 期中期末真题衔接 按顺序学习每组知识与微例，再完成典例和变式；最后用至组检验对应关系、条件转换和综合证明。 一、对应关系与判定条件 先确定对应，再检查判定条件 两三角形全等，表示它们的形状、大小都相同。全等式中处在相同位置的字母表示对应顶点。例如，则、、分别对应、、，对应，对应，对应。写证明前先固定这一顺序，写完后再用结论核对一次。 判定 需要的条件 检查重点 三组对应边相等 同一条公共边可以作为一组对应边 两组对应边及其夹角相等 角的两边必须恰好是所列的两条边 两组对应角及其夹边相等 已知边连接两个已知角的顶点 两组对应角及其中一角的对边相等 边虽然不是夹边，但仍须按顶点对应 两直角三角形的斜边与一组直角边分别相等 先确认两个直角，再辨清斜边与直角边 两边和其中一边的对角分别相等，一般不能保证两三角形全等。三个角分别相等也不能确定三角形的大小。不能用“三个条件都有了”代替检查条件的位置。是直角三角形的专门判定，不是把任意两边一角都视为充分条件。 下面的条件图以三种常见情况为例。箭头表示补条件的思考顺序，不代替证明书写。使用前仍须固定对应顶点；若要用，就应检查第三组对应边。 也可由角和理解：两组对应角相等，则第三组对应角也相等，再与给定边构成。正式证明已经符合时，可以直接使用，不必重复求第三角。 微例 如：，，，可用；若只把等角换成，就不能把它写成，因为该角不是两条已知边的夹角。 例1、 如图，、在直线两侧，在和中，。现有以下三个条件： ①； ②； ③。 （1）将其中一个条件补入，能保证的条件是（　　）。 ．①②　．①③　．②③　．①②③ （2）选取一个能保证两三角形全等的条件，写出证明过程。 解答 （1）选。 （2）选①：在和中， 所以。 选②也可：在和中， 所以。 ③所给的角不是与、与的夹角，不能据此用。教师说明图中，、在直线两侧，，，。、为公共边、所给两角相等都满足，但，故与不全等。图中的数据直接用于检查条件，不借助特殊角的边长比或其他定理计算。 变式1-1、 如图，在和中，，。以下四个条件分别单独补入： ①；②；③；④。 能保证的是（　　）。 ．①②　．①③　．②④　．③④ 解答 选。按、、对应，①给两已知角的夹边，用；②给一组非夹边，用。③中的与不是上述对应边，不能据此保证全等。④只是由另两组等角已经能推出的等角，没有确定边长；两个大小不同而形状相同的三角形即可满足三组等角。 变式1-2、 如图，、在直线两侧，，，，。求的度数。 解答 在和中， 所以， 故。 因为、在直线两侧，所以。 注意公共边在全等式中反向书写； 不能误把与对应。 变式1-3、 如图，、在直线两侧，，，。求的度数。 解答 在和中，为公共斜边，，所以。 故。在中，。 、在直线两侧，所以。 需要两个直角三角形、对应斜边相等和一组直角边相等；本题的直角条件不可省去。 二、根据点序寻找隐藏的边 根据点序把整段相等变为对应边相等 图中没有直接标出的边相等，常从已知线段的和、差得到。列式必须先读点序。 若两条整段相等、从中减去的部分也相等，剩余部分相等；若两条线段相等，分别加上相等的部分，所得整段相等。重叠图常可减去同一条公共线段。写出所用的和差式以后，才把所得边放入全等的三条件中。 公共边可以直接使用，但边的书写顺序要服从对应顶点。例如与是同一条线段，不表示两个三角形中的一定与对应。 微例 如、、依次共线，，，则；若、、依次共线，仍有、，则。同样的字母和数值，点序不同，所用的加减也不同。 例2、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上。已知，。求证：。 解答 由点序，，。因为，，所以。 在和中， 其中两角为对顶角，所以，故。 变式2-1、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上。已知，。求证：。 解答 由点序，，。因为，，所以。 射线与相同，射线与相同，所以。 在和中，， ，，故，所以。 与例相比，本题用相加得到对应边；所用的等角也不再是对顶角。 变式2-2、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧。已知，，。求证：。 解答 ，；由得。 由共线关系，，。因为， 所以。 在和中，，，，所以，故。 所给的角不直接是与的夹角，应先改写成相等的补角。 变式2-3、 下列三幅图中， 都有，。 图Ⅰ中、、与、、分别依次共线；图Ⅱ中、、与、、分别依次共线；图Ⅲ中、、与、、分别依次共线。 根据已知条件，能够证明的是（　　）。 ．只有图Ⅰ　．只有图Ⅱ　．图Ⅰ和图Ⅱ　．三幅图都可以 解答 选。 图Ⅰ：，配合与对顶角相等，用。 图Ⅱ：，配合与两条相同射线形成的公共角，用。 图Ⅲ：，。由、， 得，故。与的一组对应边不相等， 不能全等。 不能只见到、就不看点序而写。 三、寻找隐藏的角与反向证明 寻找图中的等角，反向问题重新证明 等角常有以下来源：同一条射线形成的公共角、两直线相交形成的对顶角、相等角的补角、平行线所成的同位角或内错角、三角形内角和。 平行线给等角时，应说清哪两条线平行、哪条线是截线；用等角证明平行时，也须确认角的位置。不先写待证的平行关系，再拿它作全等的条件。 “由条件甲能得到结论乙”并不表示“把乙作为条件就一定能得到甲”。做反向题时，把新的已知重新放入两三角形中：是、，还是尚缺一条边？合法证明建立后，才返回原来要证明的整段或平行关系。 微例 如两个角分别与的角互补，它们都等于，因此相等。用这一点时要先确认两对射线分别形成平角，不能仅因图上“像是外角”就相减。 例3、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，。 已知。求证：。 解答 由、及，得。 ，为截线，得；，为截线，得。 在和中， 所以，故。 变式3-1、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，。 已知。 求证：。 解答 由、及点序，仍有，。 在和中， 所以，故。 因此。 本题从重新用证明，不把例的结论直接反过来使用。 变式3-2、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上，，。 求证：。 解答 在和中， 两角是对顶角，所以。故。 这两个角是直线截直线、所成的一组内错角，所以。 不必把图形命名为特殊四边形，也不能在证明全等前先用待证平行。 变式3-3、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，、、依次在同一直线上。已知，，，，，。求的长。 解答 因为、、依次共线，所以。 由及为截线，得。 在和中，，，，所以，故。 ，得。 所以。 不能把本题没有给出的当成已知；第二组等角来自处的邻补角。 四、两次全等之间的条件传递 第一次全等的结论要供第二次使用 有些题要求的两条边所在的三角形，暂时缺少一个等角或等边。先在图中寻找另一对条件齐全的三角形，由它们全等获得缺少的条件，再完成目标三角形的证明。 可以把思路写成两行： 第一对三角形：已知的三条件 → 全等 → 得到第二次需要的等角或等边。 第二对三角形：新得到的条件 + 其余已有条件 → 全等 → 目标。 例如，目标三角形已有两组对应边相等，缺少夹角相等，就应寻找能提供这组夹角的关系；不能只证明另一对三角形全等，却不说明它提供了什么。图形大小不决定证明顺序：有时先整体后局部，有时先局部后整体。 短图例：第一次得到的角，怎样送入第二次 如图，，，；、分别在线段、内部，且。说明。 第一步，在和中，由、、， 得，所以。因为、分别在、上，所以。 第二步，在和中，，，，所以，所以。 这里第一次全等提供的是第二次所缺的夹角；是给定条件，不能误当成第一次全等的结论。 若题目改变或删去某个条件，应逐项检查原先两次全等各自需要的三条件。图上看起来仍对称、等长或平行，不等于这些关系已经得到证明。 例4、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧。已知，，。点、分别在线段、内部，，连接、。求证：。 解答 由，减去公共段，得。 在和中，，，，所以，故。 由共线及、的位置， ，， 所以。 在和中， 所以，故。 目标两边在与中，原已知只够提供两组边；第一次全等提供的角，正是第二次所缺的夹角。 变式4-1、 如图，在和中，，，。 点、分别在线段、内部，连接、，且。求证：。 解答 在和中，，，，所以，故。 在线段内部，在线段内部，所以。 在和中， 所以，故。 这里、不是由等长条件给定；第二次的三条件是两角及其夹边， 不能凭示意图先写。 变式4-2、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧。点、分别在线段、内部，连接、。已知，，，。求证：。 解答 先在和中，，，，所以，故。 由点序及、在线段内部，，， 所以。 又由，减去，得。 在和中， 所以，故。 本题先证小三角形；若直接从大三角形开始，尚没有或， 不能把例的证明照搬。 变式4-3、 如图，、、、依次在同一直线上，，。、在直线两侧，， ，。、分别为、的中点，连接、。 下列结论正确的是（　　）。 ．　．　．　． 解答 选。 ，，故不正确。 、分别是两条长为的线段的中点， 所以，故不正确。 ，，两三角形的对应角不同，不能全等，故不正确。 若，再加、，按两三角形应全等，这与对应角分别为和不符。因此，正确。 原例中的一旦删去，已有的、并不能提供第一对全等，本图正好给出满足其余条件而结论不成立的情形。 A组 基础训练 A1、 已知，，，，则________。 解答 。中，对应，对应，故。为另一组对应边，不加入此和。 A2、 在和中，，，，，。 填空：________；________（填“”或“不能确定全等”）。 解答 ；。。由、、，用得。 A3、 如图，，。求证：。 解答 在和中， 所以，故。公共边的两个端点应反向对应。 A4、 如图，，。点、分别在线段、内部，。求证：。 解答 在和中， 所以，故。 、分别在线段、内部，所以，。由、，得。 本题先由全等取得整段相等，再减去相等部分，不能把尚未得到的写进已知。 A5、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上，，。补全证明： 在与________中， ，________，， 所以________（________），所以________。 解答 依次填；；；；。与是对顶角，须按对应、对应排列顶点，不能直接把两边写成同一直线两侧的对应。 A6、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上，，。已知，。求的值。 解答 ，故。又，，所以。故，，。 A7、 在和中，，，。若，，求的值。 解答 与为对应直角边。由、，得，所以，解得。 A8、 的三边长为，，；的三边长为，，。 填空：________；与对应的角是________。 解答 ；。对应，对应，对应，三组对应边分别相等，故。顶点对应，所以的对应角是。 B组 重点突破 B1、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上，，。下列结论一定成立的是（　　）。 ．　． ．　． 解答 选。由点序，，。因为、，所以。 在和中， 所以。 条件不表示；图中先核明对应边，才选三角形。选项、、都不是题设必有的结论。 B2、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，，。求证：。 解答 ，，由得。 由、及为截线，得，。 在和中， 所以，故。 本题两个三角形的底边是、，不是给出的、。 B3、 在和中，与相等且互补，，。求证：。 解答 与相等且互补，所以这两个角均为。 在和中，斜边，直角边，所以，故。 先把“相等且互补”化为两个直角，才具备的使用条件。 B4、 在和中，，，。求证：。 解答 由内角和，。 又，所以。 在和中， 所以，故。这里对应，不对应。 B5、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，，。求证：，。 解答 由，减去，得。 在和中， 所以。 故、。分别把作为截线，由内错角相等，得、。 两组平行都是证明后的结论，不是题设已知。 B6、 如图，、在直线两侧， ， 。 求证：。 解答 在和中，为公共斜边，为对应直角边，所以。 故。这两个角是截、所成的内错角，所以。 不能把本题的对应顺序写成；对应的是，不是。 B7、 如图，、、、依次在同一直线上，点在直线外。已知，，，，。求的周长。 解答 ，，由得。 在和中， 所以，故。 的周长为。 B8、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，，与的周长相等。求证：。 解答 由，减去，得。 两三角形周长相等，即。因为、，所以。 在和中， 所以，故，进而。 周长相等本身不能保证全等；本题已先取得另两组对应边相等，才从周长得到第三组边。 C组 综合运用 C1、 如图，在和中，，。点、分别在线段、内部，，。求证：。 解答 、分别在线段、内部，故。 在和中， 所以，故。 再在和中， 所以，故。 这里两组全等之间传递的是边；只有两组对应角时不能先证明大三角形全等。 C2、 如图，，，与相交于。点、在线段上，且、、、、依次共线，，连接、。 求证：。 解答 由，得、。又，所以，故、。 由、、、、依次共线及，得。 在和中， 所以。故。 这两个角是直线截、所成的内错角，所以。 证明只用平行线与全等，不引用任何特殊四边形的性质。 C3、 如图①至图④，四幅图均满足：、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，，，，。 图①中，在射线上，在射线上；图②中，、、与、、分别依次共线；图③中，在射线上，、、依次共线；图④中，、、依次共线，在射线上。不与重合，不与重合，连接、。 能够保证的图是（　　）。 ．①②　．①③　．②④　．③④ 解答 选。由可得；再由、，用得，所以。 图①中，；图②中，。两图均有、，故，所以。 图③中，两对应夹角分别为、；图④中，两对应夹角分别为、。这两图中两三角形不能全等。若另有，配合、，用本应得到全等，与上述两个对应角不同不符。因此图③④中均有。 四幅图检查的是、所处射线的方向，而不是离端点的远近；越过或越过仍归入同一射线情形。 C4、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上。有以下四个条件： ①；②；③；④。 从中任选两个条件，能保证的不同选法共有（　　）。 ．种　．种　．种　．种 解答 选。四种选法为①②、①④、②④、③④。 ①②：再利用对顶角，用。 ①④：平行给，再配合对顶角和，用。 ②④：平行给，再配合对顶角和，用。 ③④：平行给、，配合，用。 另外①③、②③只有两组对应边及其中一边的对角相等，不能保证全等。不能把“恰好选两条”理解成已经凑够全等所需的条件，平行关系还能提供角。 D组 期中期末真题衔接 D1、 【2025·北京西城·八上期末·第12题】 如图，在和中，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________。（写出一个即可） 解答 可填。 在和中， 所以。 也可填，此时用；或填，此时用。题目只要求写出一个条件。 对应关系为、、。补边时应补夹角两侧的，不能把任意另一组边相等都按使用。 D2、 【2025·北京朝阳·八上期末·第18题】 如图，点、、、在一条直线上，，，。求证：。 解答 因为，且、、、在一条直线上，所以。 在和中， 所以，所以。 图中和本身就是所需对应边，不必额外拆成小线段。与例的重叠段模型区分：本题应先找目标边所属的两三角形，再决定是否需要做和差。 D3、 【2025·北京西城·八上期末·第20题】 如图，点、分别在四边形的边、的延长线上，连接，分别交、于点、，，，。 （1）求证：； （2）判断线段与的位置关系，并证明。 解答 （1）因为、、、依次共线，所以 ，。 又因为，所以。 因为，且、、共线，、、共线，所以。 在和中， 所以。 （2）。 由（1）得。 因为、、共线，、、共线，所以这两个角是截、所成的内错角。 由内错角相等，两直线平行，得。 第一问需在已知两边加上公共线段，第二问才把全等取得的等角用于判定平行；不能事先把图中与看成平行。 D4、 【2025·四川绵阳涪城·八上期中·第24题】 如图，在四边形中，为边上一点，，，。求证：。 解答 因为在边上，所以。 由三角形内角和，。 由，结合图中的角的和，得 。 因为，所以。 又因为，所以。 在和中， 所以，所以。 本题先把“两个大角的和为”拆成三角形已有的三个内角和一组待比较的小角；不预设，也不调用等腰三角形性质。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形——全等三角形的条件补充与综合证明 专题复习讲义 —学年苏科版八年级数学上册 学生版 内容导航 一、对应关系与判定条件 二、根据点序寻找隐藏的边 三、寻找隐藏的角与反向证明 四、两次全等之间的条件传递 A组 基础训练 B组 重点突破 C组 综合运用 D组 期中期末真题衔接 按顺序学习每组知识与微例，再完成典例和变式；最后用至组检验对应关系、条件转换和综合证明。 一、对应关系与判定条件 先确定对应，再检查判定条件 两三角形全等，表示它们的形状、大小都相同。全等式中处在相同位置的字母表示对应顶点。例如，则、、分别对应、、，对应，对应，对应。写证明前先固定这一顺序，写完后再用结论核对一次。 判定 需要的条件 检查重点 三组对应边相等 同一条公共边可以作为一组对应边 两组对应边及其夹角相等 角的两边必须恰好是所列的两条边 两组对应角及其夹边相等 已知边连接两个已知角的顶点 两组对应角及其中一角的对边相等 边虽然不是夹边，但仍须按顶点对应 两直角三角形的斜边与一组直角边分别相等 先确认两个直角，再辨清斜边与直角边 两边和其中一边的对角分别相等，一般不能保证两三角形全等。三个角分别相等也不能确定三角形的大小。不能用“三个条件都有了”代替检查条件的位置。是直角三角形的专门判定，不是把任意两边一角都视为充分条件。 下面的条件图以三种常见情况为例。箭头表示补条件的思考顺序，不代替证明书写。使用前仍须固定对应顶点；若要用，就应检查第三组对应边。 也可由角和理解：两组对应角相等，则第三组对应角也相等，再与给定边构成。正式证明已经符合时，可以直接使用，不必重复求第三角。 微例 如：，，，可用；若只把等角换成，就不能把它写成，因为该角不是两条已知边的夹角。 例1、 如图，、在直线两侧，在和中，。现有以下三个条件： ①； ②； ③。 （1）将其中一个条件补入，能保证的条件是（　　）。 ．①②　．①③　．②③　．①②③ （2）选取一个能保证两三角形全等的条件，写出证明过程。 变式1-1、 如图，在和中，，。以下四个条件分别单独补入： ①；②；③；④。 能保证的是（　　）。 ．①②　．①③　．②④　．③④ 变式1-2、 如图，、在直线两侧，，，，。求的度数。 变式1-3、 如图，、在直线两侧，，，。求的度数。 二、根据点序寻找隐藏的边 根据点序把整段相等变为对应边相等 图中没有直接标出的边相等，常从已知线段的和、差得到。列式必须先读点序。 若两条整段相等、从中减去的部分也相等，剩余部分相等；若两条线段相等，分别加上相等的部分，所得整段相等。重叠图常可减去同一条公共线段。写出所用的和差式以后，才把所得边放入全等的三条件中。 公共边可以直接使用，但边的书写顺序要服从对应顶点。例如与是同一条线段，不表示两个三角形中的一定与对应。 微例 如、、依次共线，，，则；若、、依次共线，仍有、，则。同样的字母和数值，点序不同，所用的加减也不同。 例2、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上。已知，。求证：。 变式2-1、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上。已知，。求证：。 变式2-2、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧。已知，，。求证：。 变式2-3、 下列三幅图中，都有，。图Ⅰ中、、与、、分别依次共线；图Ⅱ中、、与、、分别依次共线；图Ⅲ中、、与、、分别依次共线。 根据已知条件，能够证明的是（　　）。 ．只有图Ⅰ　．只有图Ⅱ　．图Ⅰ和图Ⅱ　．三幅图都可以 三、寻找隐藏的角与反向证明 寻找图中的等角，反向问题重新证明 等角常有以下来源：同一条射线形成的公共角、两直线相交形成的对顶角、相等角的补角、平行线所成的同位角或内错角、三角形内角和。 平行线给等角时，应说清哪两条线平行、哪条线是截线；用等角证明平行时，也须确认角的位置。不先写待证的平行关系，再拿它作全等的条件。 “由条件甲能得到结论乙”并不表示“把乙作为条件就一定能得到甲”。做反向题时，把新的已知重新放入两三角形中：是、，还是尚缺一条边？合法证明建立后，才返回原来要证明的整段或平行关系。 微例 如两个角分别与的角互补，它们都等于，因此相等。用这一点时要先确认两对射线分别形成平角，不能仅因图上“像是外角”就相减。 例3、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，。 已知。求证：。 变式3-1、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，。 已知。 求证：。 变式3-2、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上，，。 求证：。 变式3-3、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，、、依次在同一直线上。已知，，，，，。求的长。 四、两次全等之间的条件传递 第一次全等的结论要供第二次使用 有些题要求的两条边所在的三角形，暂时缺少一个等角或等边。先在图中寻找另一对条件齐全的三角形，由它们全等获得缺少的条件，再完成目标三角形的证明。 可以把思路写成两行： 第一对三角形：已知的三条件 → 全等 → 得到第二次需要的等角或等边。 第二对三角形：新得到的条件 + 其余已有条件 → 全等 → 目标。 例如，目标三角形已有两组对应边相等，缺少夹角相等，就应寻找能提供这组夹角的关系；不能只证明另一对三角形全等，却不说明它提供了什么。图形大小不决定证明顺序：有时先整体后局部，有时先局部后整体。 短图例：第一次得到的角，怎样送入第二次 如图，，，；、分别在线段、内部，且。说明。 第一步，在和中，由、、， 得，所以。因为、分别在、上，所以。 第二步，在和中，，，，所以，所以。 这里第一次全等提供的是第二次所缺的夹角；是给定条件，不能误当成第一次全等的结论。 若题目改变或删去某个条件，应逐项检查原先两次全等各自需要的三条件。图上看起来仍对称、等长或平行，不等于这些关系已经得到证明。 例4、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧。已知，，。点、分别在线段、内部，，连接、。求证：。 变式4-1、 如图，在和中，，，。 点、分别在线段、内部，连接、，且。求证：。 变式4-2、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧。点、分别在线段、内部，连接、。已知，，，。求证：。 变式4-3、 如图，、、、依次在同一直线上，，。、在直线两侧，， ，。、分别为、的中点，连接、。 下列结论正确的是（　　）。 ．　．　．　． A组 基础训练 A1、 已知，，，，则________。 A2、 在和中，，，，，。 填空：________；________（填“”或“不能确定全等”）。 A3、 如图，，。求证：。 A4、 如图，，。点、分别在线段、内部，。求证：。 A5、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上，，。补全证明： 在与________中， ，________，， 所以________（________），所以________。 A6、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上，，。已知，。求的值。 A7、 在和中，，，。若，，求的值。 A8、 的三边长为，，；的三边长为，，。 填空：________；与对应的角是________。 B组 重点突破 B1、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上，，。下列结论一定成立的是（　　）。 ．　． ．　． B2、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，，。求证：。 B3、 在和中，与相等且互补，，。求证：。 B4、 在和中，，，。求证：。 B5、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，，。求证：，。 B6、 如图，、在直线两侧， ， 。 求证：。 B7、 如图，、、、依次在同一直线上，点在直线外。已知，，，，。求的周长。 B8、 如图，、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，，与的周长相等。求证：。 C组 综合运用 C1、 如图，在和中，，。点、分别在线段、内部，，。求证：。 C2、 如图，，，与相交于。点、在线段上，且、、、、依次共线，，连接、。 求证：。 C3、 如图①至图④，四幅图均满足：、、、依次在同一直线上，、在直线两侧，，，，，。 图①中，在射线上，在射线上；图②中，、、与、、分别依次共线；图③中，在射线上，、、依次共线；图④中，、、依次共线，在射线上。不与重合，不与重合，连接、。 能够保证的图是（　　）。 ．①②　．①③　．②④　．③④ C4、 如图，、、依次在同一直线上，、、依次在另一条直线上。有以下四个条件： ①；②；③；④。 从中任选两个条件，能保证的不同选法共有（　　）。 ．种　．种　．种　．种 D组 期中期末真题衔接 D1、 【2025·北京西城·八上期末·第12题】 如图，在和中，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________。（写出一个即可） D2、 【2025·北京朝阳·八上期末·第18题】 如图，点、、、在一条直线上，，，。求证：。 D3、 【2025·北京西城·八上期末·第20题】 如图，点、分别在四边形的边、的延长线上，连接，分别交、于点、，，，。 （1）求证：； （2）判断线段与的位置关系，并证明。 D4、 【2025·四川绵阳涪城·八上期中·第24题】 如图，在四边形中，为边上一点，，，。求证：。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $