第一章 三角形（复习讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学三角形单元复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，分知识点以文字语言、符号语言、图形语言结合的方式呈现，如三角形三边关系的判断方法、全等三角形的性质与判定等，辅以特别提醒和拓展延伸，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，要点速测夯实基础，迁移练与难点精练提升能力，如通过“一线三垂直”全等模型培养推理意识和几何直观。每个题型配解题要点，帮助不同层次学生掌握方法，为教师实施精准复习教学提供支持。

第一章 三角形 复习要点 1. 理解三角形的三边关系、边角关系，并能用该关系解决相关问题； 2. 知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、三角形的高、三角形的交平分线；3. 掌握全等三角形的定义、性质和判定方法； 4. 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法； 5. 掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法； 6. 掌握含30度角的直角三角形的性质。 复习重难点 重点：三角形三边关系；全等三角形的概念、性质、判定方法；线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法；等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法；含30度角的直角三角形的性质 难点：全等三角形的性质与判定方法、等腰三角形、等边三角形、含30度角的直角三角形的性质． 知识点 三角形的三边关系 三角形的三边关系： 文字语言： ． 符号语言： 特别提醒：利用三角形的三边关系可以来判断三条线段能否构成三角形时，不需要上面三条都验证，只需要验证两条较小的线段之和是否大于最大的线段即可。 拓展延伸：三角形三边关系的作用： （1）判断三条已知线段能否组成三角形； （2）当已知两边时，可确定第三边的范围； （3）解决线段的最值问题． 要点速测 1．下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点 三角形的边角关系 1. 同一个三角形中较 的边所对的角也比较 ，可以简称为“ ”； 即：在中，，那么； 2. 同一个三角形中较 的角所对的边也比较 ，可以简称为“ ”； 即：在中，，那么。 特别提醒：利用三角形的边角关系可以来证明三角形的角的大小关系或边的大小关系等相关不等关系问题。 要点速测 2．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 知识点 三角形的中线、高线、角平分线 1.三角形的角平分线：三角形的 与这个角的 相交,这个角的 和 间的 叫做三角形的角平分线. 易错提醒： 三角形的角平分线与普通的角平分线是不同的，普通角平分线是一条 ，而三角形的角平分线是 。 2.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它 的 的 叫做三角形的中线。 易错提醒： （1）三角形的中线是 而不是射线。 （2）三角形的中线平分该三角形的 ，不一定平分周长。 3.三角形的高线：从三角形一个顶点向它的 作 ， 和 之间的 叫做三角形的高线（简称为三角形的高） 易错提醒： 三角形的高线与普通的垂线是不同的，普通垂线是一条 ，而三角形的高线是 。 要点速测 3．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 知识点 全等三角形的性质和判定 1.全等三角形的概念：能 的三角形叫做全等三角形。完全重合即 相同， 相等。 2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的 相等 ， 相等； 全等三角形的 相等， 相等； 全等三角形对应的 、 、 都相等． 3.全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有 的两个三角形全等 有 和它们的 对应相等的两个三角形全等 有 和它们的 对应相等的两个三角形全等． 有 和 对应相等的两个三角形全等 和一条 对应相等的两个直角三角形全等 拓展延伸 常见的全等模型： （1）平移型 （2）对称型 （3）旋转型 （4）一线三等角型 （5）一线三垂直型 要点速测 4．如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（   ） A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是 C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是 知识点 线段的垂直平分线 1. 线段的垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到 的距离相等。 2.判定定理: 线段的垂直平分线性质定理的逆定理 到线段 距离相等的点在线段的垂直平分线上. 特别提醒：线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）可以用来判断一个点是否在该线段的垂直平分线上，从而可以间接证明垂直问题或平分问题。 要点速测 6．如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 7．如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 知识点角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到 的距离相等。 2.判定定理:到 距离相等的点在角的平分线上。 特别提醒：角平分线的性质定理的逆定理（判定定理）可以用来判断一个点是否在角的平分线上。 要点速测 8．如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 9．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 知识点等腰三角形 1.等腰三角形的定义：有 的三角形叫做等要三角形。 2.等腰三角形的性质： 性质1：等腰三角形的 。 性质2：等腰三角形的 相等（简称： ）。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C 性质3：等腰三角形 平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的 、 、 重合．（简称： ） 符号语言：（三种不同形式） 形式① 形式② 形式③ ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD=CD,AD⊥BC ∵AB=AC, BD=CD ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC ∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD 性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 ． 3．等腰三角形的两个判定方法 方法1：有 的三角形是等腰三角形（定义）。 符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 方法2：有 的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边） 符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形 要点速测 10．如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 11．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 知识点等边三角形 1．等边三角形的定义： 都相等的三角形是等边三角形． 2．等边三角形的性质： 性质1：等边三角形的 。 性质2：等边三角形的 ，且都等于 °。 性质3： 性质4：等边三角形是 ，对称轴是 ，有 对称轴． 3．等边三角形的三个判定方法： 方法1： 的三角形是等边三角形； 方法2： 都相等的三角形是等边三角形； 方法3：有一个角等于 °的 三角形是等边三角形． 要点速测 12．如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 13．如图，点E，F是线段上的两个点，与交于点M．已知． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 知识点含30°角的直角三角形三角形 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于 的 （如图）； 符号语言： 要点速测 14．如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，的垂直平分线交于F，交于E，若，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型1 三角形的三边关系 ▌例1 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 解题要点 根据三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形 1.利用任意两边之和大于第三边，需要列出三种情况：a+b>c,b+c>a,c+a>b，对三种情况都要判断. 2.其实上边三种情况只需要判断一种即可，例如三边长大小为大、中、小，显然大+中>小，大+小>中两种情况都一定成立，对这两种都不要判断，我们只要判断中+小>大成立即可构成三角形。 ▌迁移练1-1已知三角形的一边长为6，则它的另两边长分别可以是（    ） A．2，9 B．7， C．3， D．4，4 ▌迁移练1-2长为，，，的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 题型2 三角形的边角关系 ▌例2 在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 解题要点 三角形的边角关系 1.三角形的边角关系：大边对大角，大角对大边，这个结论成立有一个前提要注意：在同一个三角形中。 2.注意，该结论的使用只能在三角形中使用，不能随意拓展到四边形，五边形等多边形中使用。 ▌迁移练2-1如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 题型3 三角形的三条重要线段：高、中线、角平分线 ▌例3 把分成两个面积相等的和，则是的（   ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．中垂线 解题要点 三角形的角平分线、中线、高线 1.理解清楚概念的本质，关键词不能随意更改，替换。 2.三角形的角平分线与普通的角平分线不同，普通角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段，这是两者的关键区别，解题时候要细心。 3.三角形的高线与中线与角平分线类似也是线段。 4.本题重点考查的是三角形的中线平分三角形的面积这一条性质，要牢记！中线不一定平分周长！ ▌迁移练3-1如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． ▌迁移练3-2如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 题型4 线段的垂直平分线 ▌例4 如图，在中，是边的垂直平分线，，．则的长为（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 解题要点 线段的垂直平分线的性质与判定 1.线段的垂直平分线也叫中垂线，其重点作用是得出线段相等，但要注意一点，一定是垂直平分线上的点，只要不是中垂线上的点到线段两端的距离一定是不相等的。 2.线段的垂直平分线的判定定理（性质定理的逆定理）其作用是判断某个点是不是在某个线段的中垂线上。 ▌迁移练4-1如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 ▌迁移练4-2如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 题型5 角平分线 ▌例5 在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 解题要点 角平分线的性质定理与逆定理 1.角平分线的性质定理与线段中垂线的性质定理比较容易混淆，在使用前一定要弄清楚使用前提条件； 2.角平分线的性质定理的逆定理（判定定理）该定理的作用主要是帮助我们判断一个点是不是在某个角的角平分线上。该定理在使用时，有一个容易忽略的地方，到角两边的距离，也就是必须有“垂直”这个前提，才能保证“距离”这个条件。 ▌迁移练5-1下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 题型6 全等三角形的性质与判定 ▌例6 若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 解题要点 全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的问题，首先要搞清楚对应点，对应角，对应边，这是最关键的，也是最易错的； 2.对常见的全等模型要熟练掌握，这样对解题会有很大的作用，但是，也不要死记模型，学会灵活处理和转化才是最最重要的。 ▌迁移练6-1如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 ▌迁移练6-2请从①；②这两个条件中任意选择其中一个，补充在下面的横线上，并作答． 已知：如图，点在同一条直线上，且，_____________． 求证：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题型7 等腰三角形的性质与判定 ▌例7 如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 解题要点 等腰三角形的性质与判定 1.等腰三角形是一个非常重要的概念，其性质中最重要的是“三线合一”，这条性质看似根简单，其实包含三种情况，每种情况的条件和结论比较容易混淆，最好的方法就是自己独立地亲自推导一遍，才能熟练的掌握。 2.在判定等腰三角形的问题中，“等角对等边”只能在同一个三角形中使用，千万不能脱离这个条件。 ▌迁移练7-1下列说法错误的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．有两个角相等的三角形是等腰三角形 C．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 D．等腰三角形是轴对称图形 ▌迁移练7-2已知：如图，在中，，，，垂足分别为，与交于点． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，求证：垂直平分． 题型8 等边三角形的性质与判定 ▌例8 已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 解题要点 等边三角形的性质与判定 1.等边三角形是一种特殊的等腰三角形，所以等要三角形有的性质，它都有，所以要学会灵活使用这些性质解决问题； 2.等边三角形的判定方法较多，在使用时，通常“等腰+60°”用的较多。 ▌迁移练8-1如图，与都是等边三角形，求证：． ▌迁移练8-2如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 题型9 含30°角的直角三角形 ▌例9 如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 解题要点 含30°角的直角三角形的性质 1.30°角所对的直角边等于斜边的一半，该性质仅适用于直角三角形，这一点千万注意。 2.该性质通常用来求解与边长或线段长有关的问题。 3.很多时候，我们在解题时也会将该图形补全为等边三角形，转换成等边三角形，方便解决问题。 ▌迁移练9-1如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． ▌迁移练9-2如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 难点一 根据全等三角形证明线段数量关系问题 这种问题是几何证明问题中相对较难的一种问题，不像证明线段相等，直接找对应的三角形，证明完全等就结束了．而证明线段的数量关系问题，目标不明确，也就是我们并不清楚需要证明哪对三角形全等。 1. 基础误区：熟练掌握全等三角形的性质和判定方法就行了， 错因：掌握全等三角形的性质和判定方法只是最基本的要求，真正在解决问题时，远比这复杂，学会灵活应用这些知识和方法才是更重要的． 2. 掌握常见的或者说主流的常考的全等模型也非常重要. 将陌生问题转化为熟悉的问题和解题模型，是解决问题的常用思路，但是要注意常见全等模型较多，注意区别各种全等模型之间的不同和联系，不要搞混淆了各种模型。 难点精练 1．如图，在中，，平分交于点D．求证：． 2．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． (1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由． (2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明． 3．如图所示，E为线段上一点．． (1)试猜想线段与的位置关系满足什么条件时，能保证，并证明你的结论； (2)猜想的数量关系． 4．如图，，，三点在同一直线上，且≌线段，，有怎样的数量关系？请说明理由． 5．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 6．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 7．如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 8．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 难点二 全等三角形与动点问题的综合 常见题型：全等三角形与动点问题的综合是常见的压轴题型． 解题方法：根据动点的位置或根据时间t的取值范围进行分情况讨论是处理这种问题的常用方法. 难点精练 9．如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， (1)当时 ， ， ． (2)若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 10．如图，在中，均是的高，且相交于点，且． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为．当为何值时，的面积为3？ (3)在（2）的条件下，若是直线上一点，且．当时，求的值． 11．如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 12．如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 13．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点．且． (1)求证：． (2)动点以点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． ① （用含的代数式表示）； ②若点是直线上的一点（不与点重合），且，是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在．请说明理由． 难点三 等腰三角形的性质与判定的综合问题 等腰三角形（等边三角形）是平面几何问题中基础图形，也是考试的重点和难点，尤其是等腰三角形的性质和判定的综合型问题，甚至与动点问题综合，会增加问题的难度． 解题方法：首先要熟练推导和掌握有关等腰三角形的基础知识，尤其是三线合一性质和等腰三角形的判定方法，这是重点中的中点，在学习时多总结解题的经验和方法，对与解题能力的提高是非常重要的。对于有关根据动点的位置或根据时间t的取值范围进行分情况讨论是处理这种问题的常用方法. 难点精练 14．如图，在中，，是的中点，过作，且． 求证：(1)；(2)． 15．证明： (1)如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，求证：． (2)如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为的中点． 16．如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 17．阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． (2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 18．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． (1)当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 基础达标 1．（25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 4．在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 5．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 8．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长是__________． 9．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． (1)你选的条件为______（只填写一个序号）； (2)添加条件后，证明． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 11．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，D是边的中点，P是上任意一点，于点E，于点F．求证： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，为等腰直角三角形，为等边三角形，连接． (1)求的度数； (2)如图2，作的平分线交于E，M为线段右侧一点，满足，求证：平分． 能力进阶 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 2．（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 5．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 6．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 7．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知和是等腰直角三角形，． (1)如图1，若，在的内部，连接，若，求证：是等边三角形； (2)如图2，连接，，若是的中点，求证：； (3)若，将绕点转动，射线与射线相交于点，过点作于点，在和都是锐角的情况下，探究线段，，之间的数量关系。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 复习要点 1. 理解三角形的三边关系、边角关系，并能用该关系解决相关问题； 2. 知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、三角形的高、三角形的交平分线；3. 掌握全等三角形的定义、性质和判定方法； 4. 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法； 5. 掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法； 6. 掌握含30度角的直角三角形的性质。 复习重难点 重点：三角形三边关系；全等三角形的概念、性质、判定方法；线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法；等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法；含30度角的直角三角形的性质 难点：全等三角形的性质与判定方法、等腰三角形、等边三角形、含30度角的直角三角形的性质． 知识点 三角形的三边关系 三角形的三边关系： 文字语言：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 符号语言： |AB-AC| |AB+AC| |AB-BC| |AB+BC| |AC-BC| |AC+BC| 特别提醒：利用三角形的三边关系可以来判断三条线段能否构成三角形时，不需要上面三条都验证，只需要验证两条较小的线段之和是否大于最大的线段即可。 拓展延伸：三角形三边关系的作用： （1）判断三条已知线段能否组成三角形； （2）当已知两边时，可确定第三边的范围； （3）解决线段的最值问题． 要点速测 1．下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，且， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，不符合题意． 知识点 三角形的边角关系 1. 同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为“大边对大角”； 即：在中，，那么； 2. 同一个三角形中较大的角所对的边也比较大，可以简称为“大角对大边”； 即：在中，，那么。 特别提醒：利用三角形的边角关系可以来证明三角形的角的大小关系或边的大小关系等相关不等关系问题。 要点速测 2．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 知识点 三角形的中线、高线、角平分线 1.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线. 易错提醒： 三角形的角平分线与普通的角平分线是不同的，普通角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是线段。 2.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 易错提醒： （1）三角形的中线是线段而不是射线。 （2）三角形的中线平分该三角形的面积，不一定平分周长。 3.三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称为三角形的高） 易错提醒： 三角形的高线与普通的垂线是不同的，普通垂线是一条直线，而三角形的高线是线段。 要点速测 3．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 知识点 全等三角形的性质和判定 1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形状相同，大小相等。 2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 3.全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 拓展延伸 常见的全等模型： （1）平移型 （2）对称型 （3）旋转型 （4）一线三等角型 （5）一线三垂直型 要点速测 4．如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：．据此逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， A．添加条件，可根据证明，故不符合题意； B．添加条件，可根据证明，故不符合题意； C．添加条件，可根据证明，故不符合题意； D．添加条件，不能判定，故符合题意， 故选：D． 5．图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（   ） A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是 C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：三角形①知道三个角的大小，知道两条边的大小，可利用，，作图； 三角形②知道两个角的大小，且知道这两个角的夹边的大小，可利用作图； 三角形③只知道一个角的大小，不能作出与③完全相同的三角形； ∴说法错误的是， 故选：． 知识点 线段的垂直平分线 1. 线段的垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定定理: 线段的垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 特别提醒：线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）可以用来判断一个点是否在该线段的垂直平分线上，从而可以间接证明垂直问题或平分问题。 要点速测 6．如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 7．如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理推理，即可解题． 【详解】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． 故选：C． 知识点角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上。 特别提醒：角平分线的性质定理的逆定理（判定定理）可以用来判断一个点是否在角的平分线上。 要点速测 8．如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质定理得到即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴． 9．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【详解】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 知识点等腰三角形 1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等要三角形。 2.等腰三角形的性质： 性质1：等腰三角形的两腰相等。 性质2：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C 性质3：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一） 符号语言：（三种不同形式） 形式① 形式② 形式③ ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD=CD,AD⊥BC ∵AB=AC, BD=CD ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC ∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD 性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线． 3．等腰三角形的两个判定方法 方法1：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）。 符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边） 符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形 要点速测 10．如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由，，，根据“”证明，得，，所以，推导出，则； （2）连接并延长交于点，由，，推导出，而，，可根据“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】（1）点、分别在边、上，与相交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （2）连接并延长交于点， ，， ， ， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ，平分， ． 11．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 知识点等边三角形 1．等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形． 2．等边三角形的性质： 性质1：等边三角形的三边相等。 性质2：等边三角形的三角相等，且都等于60°。 性质3：三线合一 性质4：等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线，有三条对称轴． 3．等边三角形的三个判定方法： 方法1：三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 方法3：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 要点速测 12．如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴是等腰三角形，且， ∴是等边三角形． 13．如图，点E，F是线段上的两个点，与交于点M．已知． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 【详解】(1) 证明：， ， 即． ，， ． (2) 证明：， ， 是等腰三角形， ． ， 是等边三角形． 知识点含30°角的直角三角形三角形 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半（如图）； 符号语言： 要点速测 14．如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得出，，由中点的定义得出的长，在中利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 15．如图，在中，，，的垂直平分线交于F，交于E，若，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型1 三角形的三边关系 ▌例1 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可， 选项A：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项B：，∴能组成三角形，符合要求； 选项C：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项D：，∴不能组成三角形，不符合要求． 解题要点 根据三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形 1.利用任意两边之和大于第三边，需要列出三种情况：a+b>c,b+c>a,c+a>b，对三种情况都要判断. 2.其实上边三种情况只需要判断一种即可，例如三边长大小为大、中、小，显然大+中>小，大+小>中两种情况都一定成立，对这两种都不要判断，我们只要判断中+小>大成立即可构成三角形。 ▌迁移练1-1已知三角形的一边长为6，则它的另两边长分别可以是（    ） A．2，9 B．7， C．3， D．4，4 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行判断即可． 【详解】解：A、，，不满足两边之差小于第三边，不能构成三角形，故不符合题意； B、，，不满足两边之差小于第三边，不能构成三角形，故不符合题意； C、，，不满足两边之差小于第三边，不能构成三角形，故不符合题意； D、，，能构成三角形，故符合题意． ▌迁移练1-2长为，，，的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【详解】解：四根木条的所有组合：，，和，，和，，和，，； ∵；；；； ∴能组成三角形的有，，和，，和，，，共3种． 题型2 三角形的边角关系 ▌例2 在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 解题要点 三角形的边角关系 1.三角形的边角关系：大边对大角，大角对大边，这个结论成立有一个前提要注意：在同一个三角形中。 2.注意，该结论的使用只能在三角形中使用，不能随意拓展到四边形，五边形等多边形中使用。 ▌迁移练2-1如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． ▌迁移练2-2在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3 三角形的三条重要线段：高、中线、角平分线 ▌例3 把分成两个面积相等的和，则是的（   ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．中垂线 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设点A到边上的高为h，则，， ∵， ∴， ∴是的中线． 故选：C． 解题要点 三角形的角平分线、中线、高线 1.理解清楚概念的本质，关键词不能随意更改，替换。 2.三角形的角平分线与普通的角平分线不同，普通角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段，这是两者的关键区别，解题时候要细心。 3.三角形的高线与中线与角平分线类似也是线段。 4.本题重点考查的是三角形的中线平分三角形的面积这一条性质，要牢记！中线不一定平分周长！ ▌迁移练3-1如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴， 设中边上的高为， ∵的面积为， ∴， ∴. ▌迁移练3-2如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 题型4 线段的垂直平分线 ▌例4 如图，在中，是边的垂直平分线，，．则的长为（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴． 解题要点 线段的垂直平分线的性质与判定 1.线段的垂直平分线也叫中垂线，其重点作用是得出线段相等，但要注意一点，一定是垂直平分线上的点，只要不是中垂线上的点到线段两端的距离一定是不相等的。 2.线段的垂直平分线的判定定理（性质定理的逆定理）其作用是判断某个点是不是在某个线段的中垂线上。 ▌迁移练4-1如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【答案】B 【分析】本题考查基本尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ∵，， 的周长为， 故选：B． ▌迁移练4-2如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则点D在的垂直平分线上， 故选：A． 题型5 角平分线 ▌例5 在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【答案】C 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等． 解题要点 角平分线的性质定理与逆定理 1.角平分线的性质定理与线段中垂线的性质定理比较容易混淆，在使用前一定要弄清楚使用前提条件； 2.角平分线的性质定理的逆定理（判定定理）该定理的作用主要是帮助我们判断一个点是不是在某个角的角平分线上。该定理在使用时，有一个容易忽略的地方，到角两边的距离，也就是必须有“垂直”这个前提，才能保证“距离”这个条件。 ▌迁移练5-1下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：点到、两边距离相等， 点在的角平分线上， 由作法可知，选项C中 为 的角平分线，选项A、B、D均不符合题意． ▌迁移练5-2如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质定理得到即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴． 题型6 全等三角形的性质与判定 ▌例6 若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵两个三角形全等，且的两条邻边分别为， ∴. 解题要点 全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的问题，首先要搞清楚对应点，对应角，对应边，这是最关键的，也是最易错的； 2.对常见的全等模型要熟练掌握，这样对解题会有很大的作用，但是，也不要死记模型，学会灵活处理和转化才是最最重要的。 ▌迁移练6-1如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵A、F、B、D四点在同一直线上，，， ∴． ▌迁移练6-2请从①；②这两个条件中任意选择其中一个，补充在下面的横线上，并作答． 已知：如图，点在同一条直线上，且，_____________． 求证：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【分析】选①，可利用证明； 选②，可利用证明． 【详解】解：选①， 证明：因为， 所以， 又，， 所以； 选②， 证明：因为， 所以， 即， 又，， 所以．（选择其中一种即可） 题型7 等腰三角形的性质与判定 ▌例7 如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵平分， ∴，，故B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到与的大小关系，故D选项错误，符合题意； 故选：D 解题要点 等腰三角形的性质与判定 1.等腰三角形是一个非常重要的概念，其性质中最重要的是“三线合一”，这条性质看似根简单，其实包含三种情况，每种情况的条件和结论比较容易混淆，最好的方法就是自己独立地亲自推导一遍，才能熟练的掌握。 2.在判定等腰三角形的问题中，“等角对等边”只能在同一个三角形中使用，千万不能脱离这个条件。 ▌迁移练7-1下列说法错误的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．有两个角相等的三角形是等腰三角形 C．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 D．等腰三角形是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质； 根据等腰三角形的判定和性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：等腰三角形的两底角相等，A正确； 有两个角相等的三角形，对边相等，是等腰三角形，B正确； 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，C错误； 等腰三角形是轴对称图形，D正确； 故选：C． ▌迁移练7-2已知：如图，在中，，，，垂足分别为，与交于点． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，可得； （2）由得，由得，进而证明，推出，进而即可证明垂直平分． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，连接并延长，交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分． 题型8 等边三角形的性质与判定 ▌例8 已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】证明，，对应边相等． 【详解】证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 解题要点 等边三角形的性质与判定 1.等边三角形是一种特殊的等腰三角形，所以等要三角形有的性质，它都有，所以要学会灵活使用这些性质解决问题； 2.等边三角形的判定方法较多，在使用时，通常“等腰+60°”用的较多。 ▌迁移练8-1如图，与都是等边三角形，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形得出相等的边和角，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ▌迁移练8-2如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． (2)4 (3)证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． （3）略 题型9 含30°角的直角三角形 ▌例9 如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得出，，由中点的定义得出的长，在中利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 解题要点 含30°角的直角三角形的性质 1.30°角所对的直角边等于斜边的一半，该性质仅适用于直角三角形，这一点千万注意。 2.该性质通常用来求解与边长或线段长有关的问题。 3.很多时候，我们在解题时也会将该图形补全为等边三角形，转换成等边三角形，方便解决问题。 ▌迁移练9-1如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【答案】4 【分析】先利用等边三角形的性质可得：，，再根据垂直定义可得：，从而可得，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ． ▌迁移练9-2如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可得，，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中，， ； （2）解：由（1）可知：， ，， ，， ， 又， ， ， ． 难点一 根据全等三角形证明线段数量关系问题 这种问题是几何证明问题中相对较难的一种问题，不像证明线段相等，直接找对应的三角形，证明完全等就结束了．而证明线段的数量关系问题，目标不明确，也就是我们并不清楚需要证明哪对三角形全等。 1. 基础误区：熟练掌握全等三角形的性质和判定方法就行了， 错因：掌握全等三角形的性质和判定方法只是最基本的要求，真正在解决问题时，远比这复杂，学会灵活应用这些知识和方法才是更重要的． 2. 掌握常见的或者说主流的常考的全等模型也非常重要. 将陌生问题转化为熟悉的问题和解题模型，是解决问题的常用思路，但是要注意常见全等模型较多，注意区别各种全等模型之间的不同和联系，不要搞混淆了各种模型。 难点精练 1．如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 【详解】证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 2．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． (1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由． (2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明． 【答案】(1)DE＝CE+BC，理由见解析 (2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，根据两直线平行，内错角相等，得出∠C＝∠DEC，再根据邻补角互补得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可． 【详解】（1）解：DE＝CE+BC． 理由：∵△ABC≌△DAE， ∴AE＝BC，DE＝AC． ∵A，E，C三点在同一直线上， ∴AC＝AE+CE， ∴DE＝CE+BC． （2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC． 证明：∵△ABC≌△DAE， ∴∠AED＝∠C， 又∵DEBC， ∴∠C＝∠DEC， ∴∠AED＝∠DEC． 又∵∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠AED＝∠DEC＝90°， ∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DEBC． 3．如图所示，E为线段上一点．． (1)试猜想线段与的位置关系满足什么条件时，能保证，并证明你的结论； (2)猜想的数量关系． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理： （1）当时，则，进而得到，由全等三角形的性质得到，进一步可得，即可． （2）由全等三角形的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：当时，，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 所以当时，； （2）解：∵， ∴， ∴． 4．如图，，，三点在同一直线上，且≌线段，，有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】根据全等三角形的性质得出，， 即可求解． 【详解】解：． 理由：≌， ，． ，，三点在同一直线上， ， ． 5．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 7．如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 8．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 难点二 全等三角形与动点问题的综合 常见题型：全等三角形与动点问题的综合是常见的压轴题型． 解题方法：根据动点的位置或根据时间t的取值范围进行分情况讨论是处理这种问题的常用方法. 难点精练 1．如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， (1)当时 ， ， ． (2)若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 【答案】(1)2，4 (2)①见解析；②见解析 (3)或． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4； （2）证明：①由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或． 2．如图，在中，均是的高，且相交于点，且． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为．当为何值时，的面积为3？ (3)在（2）的条件下，若是直线上一点，且．当时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)或 (3)的值为1或 【详解】（1）解：和全等，理由如下： 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或． （3）解：存在．理由如下： 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 综上所述，或时，． 3．如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【答案】2或或12 【详解】解：①如图1，点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵，， ， ， ， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， 由题意得，，， ，， ，， 当， 则， ， 解得：； ③如图3，当点与重合时， 由题意得，， ， ，， ， ， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 4．如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 【答案】(1)2，4， (2)①见解析；②见解析 (3)，或， 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4，； （2）证明：①当，时，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，，或，． 5．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点．且． (1)求证：． (2)动点以点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． ① （用含的代数式表示）； ②若点是直线上的一点（不与点重合），且，是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②存在，或 【详解】（1）证明：是边上的高，是边上的高， ， ，，， ， 在和中， ， ； （2）解：①依题意，当在线段上时，得 当在线段延长线上时，， 故答案为：或； ②存在，理由如下： 如图2，当在线段上时， 由（1）可知， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 如图3，当在线段延长线上时， 由（1）可知， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 难点三 等腰三角形的性质与判定的综合问题 等腰三角形（等边三角形）是平面几何问题中基础图形，也是考试的重点和难点，尤其是等腰三角形的性质和判定的综合型问题，甚至与动点问题综合，会增加问题的难度． 解题方法：首先要熟练推导和掌握有关等腰三角形的基础知识，尤其是三线合一性质和等腰三角形的判定方法，这是重点中的中点，在学习时多总结解题的经验和方法，对与解题能力的提高是非常重要的。对于有关根据动点的位置或根据时间t的取值范围进行分情况讨论是处理这种问题的常用方法. 难点精练 1．如图，在中，，是的中点，过作，且．求证： (1)； (2)． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ，是的中点， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 2．证明： (1)如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，求证：． (2)如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为的中点． 【详解】（1）证明：，点D为中点， 平分， 于点E，于点F， ； （2）证明：， ， 和分别为等边三角形， ， ， 即， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， 点D为的中点． 3．如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：延长到M，使，连接，如图所示： 由（1）知：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 4．阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． (2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)或时，是等腰三角形，见解析 (2)或时，是直角三角形，见解析 【详解】（1）解：，， ， 由题知，， ①当点，点在线段，上运动时，即时 是等腰三角形 是等边三角形 ， 解得， ②当点，点在线段，延长线上运动时，即时 是等腰三角形 ， 解得， 综上所述，或时，是等腰三角形 （2）解：当点，点在线段，上运动时，即时 ①当时 ， ， 解得， ②当时 ， ∴，      解得， 当点，点在线段，延长线上运动时，是钝角三角形，不符合题意，舍去. 综上所述，或时，是直角三角形． 5．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． (1)当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)线段的长为；的值为； (2)的值为或． 【详解】（1）解：当时，则， 由题意得，，， ∴， ∴线段的长为； 如图， 当时，由题意得，，，， ∴，， ∵平分时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：当时，由题意可得，，， 在中，， 如图，当时，即， ∴， 解得：； 如图，当时， ∴， ∴， 解得：； 综上可得：是以为腰的等腰三角形，的值为或． 基础达标 1．（25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，通过判断较小两边之和与第三边的大小关系来确定能否组成三角形． 【详解】解：三角形三边关系为任意两边之和大于第三边， 简便判断方法是看较小两边的和是否大于第三边， A选项：，5不大于5，不能组成三角形，不符合题意； B选项：，9不大于9，不能组成三角形，不符合题意； C选项：，能组成三角形，符合题意； D选项：，不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形的面积． 连接，可知，，，进而得到，，即，即可求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵、是的中线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 4．在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 5．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 【答案】15 【分析】由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，已知一组边相等及一个角相等，再添加一个角相等，或者一条边相等即可求解． 【详解】解：， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（答案不唯一） 8．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长是__________． 【答案】2 【分析】先根据直角三角形的性质得出，故可得出，再由线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵在中，，， ，， ． ， ． 的垂直平分线交于点， ． 9．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． (1)你选的条件为______（只填写一个序号）； (2)添加条件后，证明． 【答案】(1)①（①或②都可以） (2)见解析 【详解】（1）解：添加①或②都可以 （2）证明：若添加①， ， ， 在与中， ， ， ； 若添加②， ， ， 在与中， ， ， ． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 【答案】(1)全等，理由见解析；垂直(2)(3) 【详解】（1）解：全等，理由如下： 当时，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ， ， ， ∴， 线段与线段垂直． （2）解：设点的运动速度， ∵的运动速度与的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴要使与全等，则只存在这种情况， ∴，， ∴， 解得， ∴当点的运动速度为时，能使与全等． （3）解：，分别是，中点，， ， 以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动， 第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程， 设运动时间为秒， 则， 解得：， 故经过，点与点第一次相遇． 11．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，D是边的中点，P是上任意一点，于点E，于点F．求证： (1)； (2)． 【详解】(1)证明：，是边的中点， ∴平分， ，， ； (2)证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵点在上， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，为等腰直角三角形，为等边三角形，连接． (1)求的度数； (2)如图2，作的平分线交于E，M为线段右侧一点，满足，求证：平分． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点E作于G，交延长线于H，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又于G，， ∴平分． 能力进阶 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【详解】解：设两点所用的时间为，则，，， 中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则，， 则，解得； 若，则 则， 解得， 的值为：或2； 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， A．添加条件，可根据证明，故不符合题意； B．添加条件，可根据证明，故不符合题意； C．添加条件，可根据证明，故不符合题意； D．添加条件，不能判定，故符合题意， 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 4．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】由直角三角形的性质可得，由垂直的定义及平角的定义可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可证明，再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为： ． 5．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 6．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【答案】(1)B (2)1（或3或5或7或9或11） (3)见详解 (4)8 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴的理由是B； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在中，， 即，即 ∵边的长度为奇数，且， ∴的长可能为1或3或5或7或9或11； （3）解：理由如下： 延长至点E使，连接，如图， 同理可证， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：延长至点G使，连接，如图， 同理可知， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，则， ∴． 7．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知和是等腰直角三角形，． (1)如图1，若，在的内部，连接，若，求证：是等边三角形； (2)如图2，连接，，若是的中点，求证：； (3)若，将绕点转动，射线与射线相交于点，过点作于点，在和都是锐角的情况下，探究线段，，之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：， ， ，， ， 是等边三角形； （2）证明：延长至点，使得，如图所示， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：设交于点，如图所示， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ，， ， ， ，即， ． 作于点， 、为、的垂线段， ，同理． ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即． 1 / 86 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $