第2章 实数的初步认识 单元复习讲义 2026-2027学年苏科版数学八年级上册
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内容正文：
第2章 实数的初步认识
知识点1：算术平方根与平方根
算术平方根
平方根
定义
正数x的平方等于a，x叫a的算术平方根
x的平方等于a，x叫a的平方根
个数
正数a有一个算术平方根
正数a有两个平方根，互为相反数；负数没有
表示
（a≥0）
（a≥0）
非负性：且（双重非负性）
0的算术平方根和平方根都是0。
知识点2：立方根
1.定义：x的立方等于a，x叫a的立方根，记作。
2.任意实数都有唯一立方根；正数立方根为正、负数为负、0为0。
3.开平方与开立方是求根运算，与乘方互为逆运算。
知识点3：无理数
1.无限不循环小数叫无理数。
2.常见形式：开方开不尽的方根（如）、含的数、构造的无限不循环小数。
3.无理数不能表示成分数形式。
知识点4：实数的分类
按定义
有理数（整数、分数）
要点
正实数
有限小数或循环小数
按正负
0
无限不循环小数
负实数
有理数+无理数＝实数
知识点5：实数与数轴
1.实数与数轴上的点一一对应。
2.可在数轴上用几何作图表示无理数（如构造正方形对角线得）。
知识点6：实数范围内的相反数、倒数、绝对值
1.相反数：a与互为相反数。
2.倒数：乘积为1的两数互为倒数；0没有倒数。
3.绝对值：，互为相反数的两数绝对值相等。
知识点7：实数的大小比较
1.正实数>0>负实数；数轴右边大。
2.带根号：比较平方；或用估算近似值。
3.两个负实数绝对值大的反而小。
知识点8：实数的运算
1.有理数的运算律在实数范围仍适用。
2.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，后加减；有括号先算括号。
知识点9：算术平方根的双重非负性
1.中被开方数且结果。
2.几个非负数之和为0，则每个数都为0。
知识点10：估算与易错警示
易错点
错误做法
正确做法
平方根符号
只写正的算术平方根
平方根要写
估算
直接取整数位
找相邻平方数夹逼
整数/小数部分
混淆整数部分与近似值
整数部分取小于它的最大整数
被开方数
负数开平方
被开方数必须非负
【易错题型】
【题型1】平方根与算术平方根的区分
1.易错点总结
（1）把算术平方根误当平方根；
（2）求平方根漏负号；
（3）负数误判有平方根。
2.纠错技巧
（1）算术平方根非负，平方根有两个；
（2）被开方数非负；
（3）0的平方根、算术平方根都是0。
【例题1】.（26-27八年级上·陕西汉中·阶段检测）6的算术平方根是（ ）
A． B．36 C． D．
【答案】A
【详解】解： 6的算术平方根是.
【变式题1-1】.（26-27七年级上·山东济南·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用算术平方根的非负性快速排除错误选项，再验证剩余选项．
【详解】解：，，选项A、B运算错误，
，选项C运算正确，
，选项D运算错误．
【变式题1-2】.（上海市闵行第四中学等校2026-2027学年第一学期期中考试八年级数学试卷）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简，再求其平方根．
【详解】解：∵，
又∵3的平方根为，
∴的平方根是．
【变式题1-3】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）4的平方根是______．
【答案】
【详解】解：∵，
∴4的平方根为．
【基础题型】
【题型2】无理数的判断
解题技巧：
（1）开方开不尽是无理数；
（2）含是无理数；
（3）分数、有限、循环小数是有理数；
（4）构造数判断。
【例题2】.（26-27八年级上·甘肃白银·期中）下列实数中：，，，，，无理数有________个．
【答案】
【分析】无理数指无限不循环小数，常见形式包含开方开不尽的数、含π的无限不循环数等，依据无理数的定义，逐一判定题干中每个实数的类别，统计无理数的总数量．
【详解】解：对题干给出的实数逐一判断：
开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
，是整数，属于有理数；
是分数，可化为无限循环小数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
是有限小数，属于有理数．
综上所述，题干中的无理数共有2个．
【变式题2-1】.（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）在、0、、、、0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数依次加1）这六个数中，无理数有________个．
【答案】3
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【详解】解：是负整数，0是整数，是分数，
∴0、、是有理数，不是无理数；
、、0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数依次加1）都是无理数，共3个．
【变式题2-2】.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）下列各数①；②；③（相邻两个“1”之间“2”的个数依次加1）；④；⑤；⑥中，无理数共有___________个．
【答案】3
【分析】逐个判断各数，根据无理数是无限不循环小数的定义，统计得到无理数的个数．
【详解】解：①是有限小数，属于有理数；
②，是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数；
③（相邻两个之间的个数依次增加），是无限不循环小数，属于无理数；
④是分数，属于有理数；
⑤，是无限不循环小数，因此属于无理数；
⑥是整数，属于有理数；综上，无理数共有个．
【变式题2-3】.（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，数轴上的点A，B，C，D依次表示四个数、、、，其中表示无理数的点共有__________个．
【答案】2
【详解】解：无理数有，，共2个，
∴表示无理数的点共有2个．
【题型3】实数的分类
解题技巧：
（1）按定义或正负分类；
（2）0既非正也非负；
（3）有理数=整数+分数；
（4）实数=有理数+无理数。
【例题3】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）在中，最大的非正实数为________．
【答案】
【分析】先找出所有非正实数，再比较大小得到最大的那个数；
【详解】解：是负实数，和是正实数，正实数大于负实数排除，
∵，，，
∴，
∴，
∴最大的非正实数是．
【变式题3-1】.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）将下列各数填入相应的括号里：
，，，，，，
负数集合：______；
分数集合：______；
非负整数集合：______．
【答案】，，；，，；，
【详解】略
【变式题3-2】.（25-26六年级上·山东东营·阶段检测）下列各数①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个2）其中是非负整数的有______，正分数是______（填序号）
【答案】 ② ④⑥
【分析】本题考查了有理数的分类，解题关键是熟练掌握实数的分类、分数的定义，从而完成求解．
根据有理数的分类、分数的定义进行分析，即可得到答案．
【详解】解：，，
∴非负整数为：②；
正分数为：④⑥.
故答案为：②； ④⑥．
【变式题3-3】.（26-27八年级上·全国·单元测试）把下列各数填入相应的集合中：
0，，，4，，，，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
【答案】(1)0，，4，，，，，，
(2)，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）
(3)，4，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）
(4)，，，
【分析】根据实数的分类进行解答即可．
【详解】（1）解：，是开不尽方的数，属于无理数，
，，，属于有理数，
，是无限不循环小数，属于无理数；
有理数集合：{0，，4，，，，，，，…}；
（2）解：无理数集合：{，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），…}；
（3）解：正实数集合：{，4，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），…}；
（4）解：负实数集合：{，，，，…}．
【题型4】由平方根、立方根求值
解题技巧：
（1）平方根互为相反数列式；
（2）立方根唯一列式；
（3）解方程求字母；
（4）代回验证。
【例题4】.（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是________．
【答案】
【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数的性质列方程求出的值，再计算平方根的平方得到所求正数．
【详解】解：根据题意得，
解得，
∴ 该正数的一个平方根为，
∴ 这个正数为．
【变式题4-1】.（26-27八年级上·陕西汉中·阶段检测）已知的立方根等于自己本身，正数的两个平方根分别是和2．
(1)的值为___________．
(2)求的平方根．
【答案】(1)0或
(2)
【详解】（1）解：∵的立方根等于自己本身，
∴的值为0或．
（2）解：正数的两个平方根互为相反数，
，
的一个平方根为2，
将代入，得：，
∴，
∴，
∴ ，
，
的平方根为．
【变式题4-2】.（26-27八年级上·四川眉山·期中）按要求完成下列小题．
(1)已知，求的平方根．
(2)已知和是同一个数的平方根，的立方根是，求的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）因为二次根式的被开方数必须是非负数，所以先列出两个被开方数的不等式，求解得到的取值，再代入原式求出的值，最后计算并求其平方根；
（2）因为和是同一个数的平方根，所以它们的平方相等，分两种情况讨论：要么两个式子互为相反数，要么两个式子相等；据此求解的值；再根据立方根的定义，由的立方根求出的值，最后代入计算．
【详解】（1）解：由算术平方根的意义，得 且 ，
∴ ，，
∴ ，
∴其平方根为 ；
（2）解：∵ 与 是同一个数的平方根，
① 当 与 互为相反数时：，解得 ，
∵ 的立方根是 ，
∴ ，
∴ ，
② 当 时，解得 ，
∵，
∴ ，
综上， 的值为 或 ．
【变式题4-3】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的平方根是，的算术平方根是5，求的值．
【答案】
的值为
【分析】根据平方根和算术平方根的定义列方程，分别求出和的值，再代入计算；
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
解得，
∵的算术平方根是，
∴，
将代入，得， 解得，
∴．
【题型5】利用开方/立方解方程
解题技巧：
（1）把平方项、立方项分离；
（2）开平方得±；
（3）开立方唯一解；
（4）检验被开方数。
【例题5】.（26-27八年级上·山东临沂·阶段检测）方程： 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：对开平方，得．
【变式题5-1】.（26-27八年级上·山东济南·期中）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）解：
因此或．
（2）解：
因此或．
【变式题5-2】.（26-27八年级上·甘肃白银·期中）求满足条件的x值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）一个数的平方等于0，则这个数为0，直接列等式求解．
（2）对等式两边同时开立方，再移项求出．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【变式题5-3】.（26-27八年级上·江苏常州·阶段检测）求下列等式中的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方根的定义即可求解；
（2）利用立方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：移项，得，
两边开平方，得；
（2）解：整理得，
则．
【题型6】实数的运算
解题技巧：
（1）先开方、乘方再乘除加减；
（2）绝对值先化简；
（3）0次方、负指数；
（4） 合并同类根式。
【例题6】.（26-27八年级上·海南海口·期中）计算：
(1)；
(2)．
(3)简便计算．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别计算各根式的化简结果，再进行有理数加减运算．
（2）先展开整式乘法的每一项，再合并同类项得到化简结果．
（3）将式子中的202变形为，匹配完全平方公式的结构简化计算．
【详解】（1）解： ．
（2）解：
．
（3）解：
．
【变式题6-1】.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理数的加减法则计算即可；
（2）先计算乘方与绝对值，同步进行乘法运算，最后进行加减运算即可；
（3）先分别计算算术平方根和立方根，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
【变式题6-2】.（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别计算乘方、绝对值、立方根，再算加减法，即可得出答案；
（2）分别计算零指数幂、算术平方根、负整数指数幂，再算加减法，即可得出答案．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式题6-3】.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算有理数的乘方、零指数幂和算术平方根，再加减运算即可解答；
（2）先化简绝对值，计算算术平方根和立方根，再加减运算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【提升题型】
【题型7】实数的大小比较
解题技巧：
（1）正>0>负；
（2）带根号比较平方；
（3）估算近似值；
（4）负实数绝对值大反而小。
【例题7】.（26-27八年级上·广东茂名·期中）比较大小：______（填“”，“”或“”）．
【答案】
【分析】估算的取值范围，判断左侧数的正负，利用正数大于负数的性质比较两数大小．
【详解】解：∵，，且
∴
∴
∴
又∵
∴．
【变式题7-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）在0、1、、这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据实数比较大小的规则，负数小于0、正数大于0，两个负数绝对值大的数更小，排出四个数的顺序找到最小值．
【详解】解：，
，
最小的数是．
【变式题7-2】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上近似地表示下列实数，并比较这些实数的大小，用“<”连接．
，，，，，．
【答案】解：，
把各数表示在数轴上如下：
在给定数轴上对应位置标注各数后，用“”连接为：．
【分析】先化简各数，再根据正数、负数的定义把各数表示在数轴上，然后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可．
【详解】略．
【变式题7-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）比较大小：
(1)与；
(2)，与．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方法比较负数大小，先比较其平方值的大小，平方值大的反而小．
（2）利用立方法比较正数立方大小．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
【题型8】实数与数轴
解题技巧：
（1）实数与点一一对应；
（2）几何作图表示无理数；
（3）由数轴位置判符号、大小；
（4）数形结合。
【例题8】.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形．
(1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间；
(2)如图2，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，求点在数轴上表示的数．
【答案】(1)正方形的边长为，的长在2和3之间
(2)
【分析】（1）根据正方形面积求出边长，进而求出结论；
（2）根据实数与数轴上的点的关系得出结论．
【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：，
∴正方形的边长为，
，
，
的长在2和3之间；
（2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，，
则点在数轴上表示的数为：．
【变式题8-1】.（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．
(1)求这个魔方的棱长；
(2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长．
(3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此求出边长即可得解；
（3）用点表示的数加上边长即可得解．
【详解】（1）解：设魔方的棱长为，
则，
解得；
∴这个魔方的棱长为2；
（2）解：∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形的面积为：，即,
∴正方形的边长；
（3）∵正方形的边长为，点与重合，
∴点在数轴上表示的数为：．
【变式题8-2】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）背景知识：
材料一：我们知道面积为2的正方形的边长是无理数．在数学史中的发现引发了第一次数学危机．
利用这种探究方法可以得到更多的无理数．
材料二：如图1，纸上有五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它沿着虚线剪开并拼成一个新的正方形，如图2中以虚线为边长的正方形即为拼成后的新正方形．
知识迁移：
(1)图2、图3中拼成的新正方形的面积是______，边长是______；
拓展提升：
(2)图4中你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个新的正方形吗？若能，请在下面图形中画出来，它的边长是多少？
(3)请在方格图（图5）中，连接四个格点组成面积为10的正方形，并利用圆规在数轴上标出、的对应点．
【答案】(1)；
(2)能剪开并拼成一个新的正方形；
边长是；
(3)
【分析】（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）利用图4补全正方形即可得出答案；
（3）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，利用网格的特点和割补法，画图即可．由画出的正方形可知，为的长方形的对角线，据此在数轴上标出、的对应点．
【详解】（1）解：图2、图3中拼成的新正方形的面积是 ，边长是 ；
（2）略
（3）略
【变式题8-3】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）综合与实践：
如图1，教材有这样一个探究活动：把两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，所得到的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为；
(1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为_________，_________；
(2)小弘同学把两个长为3，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的边长，并说明理由．
(3)请你在数轴上画出（保留作图痕迹）．
【答案】(1)，
(2)解：小正方形的边长为，理由如下：
两个长方形的面积为，
拼成的大正方形的边长为，面积为，
中间的小正方形的面积为，
所以，小正方形的边长为．
(3)解：如图，点M为所求．
【分析】（1）由小正方形的对角线长可得到，的长，结合数轴即可解答；
（2）将拼成的大正方形的面积减去周围4个小三角形的面积之和（即两个长方形的面积和），可得中间小正方形的面积，进而可得边长；
（3）由（2）可得长为3，宽为1的长方形的对角线长为，结合材料的方法即可作图．
【详解】（1）解：∵小正方形的对角线长为，
∴，
∴点A表示的数为，点B表示的数为．
（2）略
（3）略
【题型9】算术平方根的双重非负性
解题技巧：
（1）被开方数非负且结果非负；
（2）非负数和为0各为0；
（3）含平方、绝对值的非负式；
（4）求字母并验证。
【例题9】.（26-27八年级上·甘肃天水·期中）如果、为实数，且，则__________
【答案】
【分析】已知两个非负代数式的和为0，可根据非负数的性质求出的具体值，再代入幂的运算式计算结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，，
∴ ，，
解得 ，，
将 ，的值代入，
．
【变式题9-1】.（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）已知实数x、y满足，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】算术平方根、绝对值都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此求出x，y，再代入代数式求值．
【详解】解：∵，，且，
∴，，
解得，，
将，代入，得
．
【变式题9-2】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）若实数x，y满足，则的值为______．
【答案】1
【分析】算术平方根与绝对值均为非负数，两个非负数的和为0时，两项各自的取值均为0，据此求出x、y的值，再计算的结果．
【详解】解：∵，，且
∴，
∴，
解得，
∴
【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·阶段检测）已知实数，，满足，请完成下列解答：
(1)求，，的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据绝对值、平方、算术平方根的非负性和非负数的性质即可求解；
（2）先化简多项式，再将，，的值代入化简后的式子计算求值．
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
∴，，．
（2）解：
将，，代入得
【培优题型】
【题型10】估算与整数部分小数部分
解题技巧：
（1）找相邻平方数夹逼；
（2）整数部分＝小于它的最大整数；
（3）小数部分＝数减整数部分；
（4）用于求值、比较。
【例题10】.（上海市松江区2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题）如果的小数部分是，是的整数部分，那么______．
【答案】
【分析】通过平方数估算与的取值范围，依据整数部分、小数部分的定义求出和，再代入计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为2，小数部分，
∵，
∴，
∴的整数部分，
∴．
【变式题10-1】.（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
的平方根为.
【分析】根据立方根、算术平方根的定义列方程求出,的值,估算的取值范围得到的值,代入代数式计算后求其平方根．
【详解】解：∵的立方根是,
∴,
解得．
∵的算术平方根是,
∴．
将代入上式, 得 ,
解得．
∵, 即 ,
∴的整数部分．
将,,代入,
得．
∵的平方根为,
∴的平方根是．
【变式题10-2】.（26-27八年级上·甘肃天水·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______；
(2)若设的整数部分是，小数部分是，求的值．
【答案】(1)2；
(2)
【分析】（1）利用，得出的取值范围，进而得出答案；
（2）利用的取值范围，进而求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是2，
∴小数部分是；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是3，小数部分是，
又的整数部分是x,小数部分是y,
∴,,
∴．
【变式题10-3】.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为．
(1)的整数部分是___________，小数部分是___________；
(2)的小数部分是___________；
(3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)16
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；
（2）先根据算术平方根的定义估算大小，再估算的大小即可；
（3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入求出的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是，小数部分是；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分是，小数部分是，
∴的整数部分是，小数部分是；
（3）解：∵，
∴，
∵是的整数部分，
∴，
∵，
∴，
∵是的小数部分，
∴，
∴
．
【题型11】平方根与立方根的实际应用
解题技巧：
1.先根据题意建立等量关系，如面积等于边长平方、体积等于棱长立方，列出含平方或立方的等式。
2.再通过开平方、开立方求出未知量，注意平方根取算术平方根（正根），立方根可直接取。
3.最后检验结果是否符合实际（如边长、棱长应为正数，且结果合理）。
【例题11】.（26-27八年级上·陕西汉中·阶段检测）某新能源科技基地铺设长方形光伏阵列，已知光伏阵列的长是宽的3倍，该光伏阵列的占地面积为．
(1)求光伏阵列的长与宽．
(2)若该基地光伏阵列需要进行扩建，保持长、宽的倍数关系不变，阵列总面积扩大为原来的2倍，请估算扩建后光伏阵列的宽（结果精确到1m）．
【答案】(1)光伏阵列的长为，宽为
(2)扩建后光伏阵列的宽约为
【分析】（1）设光伏阵列的宽为，则长为，根据题意，列出方程进行求解即可；
（2）设扩建后光伏阵列的宽为，则长为，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设光伏阵列的宽为，则长为．
根据题意，得，
解得：，，
因为，
所以舍去．
故长为：
答：光伏阵列的长为，宽为．
（2）解：设扩建后光伏阵列的宽为，则长为．
扩建后的总面积为：，
根据题意，得，
∴
因为，所以．
因为，，且，
所以，所以
答：扩建后光伏阵列的宽约为．
【变式题11-1】.（26-27八年级上·山东青岛·期中）露营基地计划改造场地，原本有一块面积的正方形露营区，现在想改成面积的长方形露营区，长方形的长与宽之比为．打算直接沿用原来正方形区域四周的防护围栏来围新的长方形露营区，请问原有围栏的长度够用吗？请说明理由．
【答案】解：原有围栏的长度够用，理由如下：
∵原正方形露营区面积为，
∴原正方形的边长为，
∴原有围栏的总长度为，
设新长方形露营区的长为，宽为，
由题意得，
即，
∴，
∵为正数，
∴，
∴新长方形露营区的周长为，
∵，
∴，
∴，即新长方形周长小于原有围栏总长度，
∴原有围栏的长度够用．
【分析】先利用算术平方根求出正方形的边长，再求出正方形的周长，即防护围栏的长度；设新长方形露营区的长为，宽为，根据长方形露营区的面积为列方程，再运用平方根和实际意义解方程，进而求得长方形露营区的周长，最后和正方形的周长比较即可．
【详解】略
【变式题11-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）小明有一个大正方体铁块，其体积为．
(1)求这个大正方体铁块的棱长；
(2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成A、B两个小正方体铁块，其中小正方体铁块A的体积为，求小正方体铁块B的棱长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：（1）根据题意得，大正方体铁块的棱长为．
答：这个大正方体铁块的棱长为．
（2）解：根据题意得，小正方体铁块B的体积为，
所以小正方体铁块B的棱长为．
答：小正方体铁块B的棱长为．
【变式题11-3】.（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）如图，图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形．
(1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为_____；
(2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见详解
【分析】（1）抓住“剪拼前后图形总面积不变”的核心，得到大正方形的面积，再通过正方形面积公式求边长．
（2）通过设长方形纸片的宽为，长为，根据长方形的面积列方程得到长方形的长和宽，判断裁剪的可行性．
【详解】（1）解：由条件可知大正方形纸片的面积为，
∴大正方形纸片的边长为；
（2）解：设长方形纸片的宽为，长为，由题意得：，
解得，
∴，
∵
∴，
∴不能剪出这样的长方形．
【题型12】实数的规律探究与应用
解题技巧：
（1）找规律（开方结果、运算）；
（2）代数式表示第n项；
（3）应用于情境（面积、物理）；
（4）化简求值。
【例题12】.（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）按要求解答
(1)填表：
0
…
1
100
10 000
…
0
…
1
100
…
(2)规律归纳：
①若正数的小数点向左（或右）移动 位，则的小数点就相应地向 移动 位；
②当时，若正数越大，则 ．
(3)尝试运用：已知， ，求的值．
【答案】(1)
0
…
1
100
10 000
…
0
…
1
10
100
…
(2)①两，左（或右），一；②越大
(3)
【分析】（1）根据算术平方根计算即可；
（2）根据表格作答即可；
（3）根据（2）的规律作答即可；
【详解】（1）解：；
填表略；
（2）解：①由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位；
②由表格可知，当时，若正数越大，则越大．
（3）解：，
，
．
【变式题12-1】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）阅读素材：
，，，…按照此规律：
(1)初步探究：
①填空：________________；
②计算：；
(2)迁移应用：计算：
【答案】(1)①；②
(2)23
【分析】（1）①总结题中规律，即可解答；
②根据①中规律解答即可；
（2）总结题中规律，即可解答；
【详解】（1）解：①∵，，，…，
∴（是正整数，且）；
∴；
②根据①中规律可得：当时，，
∴
．
（2）解：∵，，，…，
∴ （是正整数，且）；
最后一项中，，符合规律，
∴
．
【变式题12-2】.（25-26七年级下·河北沧州·期中）先填写表格，通过观察后再回答问题．
0
0.0001
0.01
1
100
10000
…
0
0.01
1
100
…
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题．
①已知，，则________；
②已知，，用含的式子表示．
【答案】(1)0.1；10
(2)10；①26.5；②
【分析】（1）通过计算，即可得到答案；
（2）观察规律，从表格中可发现当被开方数的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，①根据从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案；②根据题意可得，进一步得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据表格可得，，．
（2）解：根据表格可得规律：当被开方数每扩大100倍时，相应地扩大倍．
① ，
；
② ，
，
．
【变式题12-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律．
第2行
第3行
第4行
第5行
【应用体验】
(1)的展开式为 ；
(2)利用上面的规律计算：
① ；
② ；
(3)若，
①求的值．
②求的值．
(4)当代数式的值为1时，求a的值．
【答案】(1)
(2)①；②32
(3)①1；②
(4)或1
【分析】（1）根据“杨辉三角”的系数规律进行解答即可；
（2）①根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案；②根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案；
（3）①令即可求出答案；②分别令和列出式子，两式相减即可求出答案；
（4）根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得，
（2）解：①
；
②
（3）解：①当时，
，
②当时，
①，
当时，
②，
得到，
∴
（4）
当代数式的值为1时，则，
∴，
∴或，
解得或1
同步练习
一、单选题
1．在实数0，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】为整数，是有理数；
为有限小数 ，是有理数；
为开方开不尽的数，是无理数；
为分数 ，是有理数；
，（小数部分两个之间依次增加一个），均为无限不循环小数，是无理数；
∴无理数共个．
2．下列说法中正确的是（ ）
①互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；
②任何实数不是正实数就是负实数；
③任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示；
④有理数是有限小数或无限循环小数；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】先明确每个说法对应的数学概念，逐一验证每个说法的正确性．
对于①，利用相反数的定义和立方根的性质，推导互为相反数的两个数的立方根的关系．
对于②，回忆实数的分类，判断是否存在既不是正实数也不是负实数的实数．
对于③，依据实数与数轴上的点一一对应的关系，分析无理数与数轴的对应性．
对于④，根据有理数的定义，判断有理数是否为有限小数或无限循环小数．
最后结合各说法的正确性，匹配对应的选项．
【详解】①设互为相反数的两个数为与，
∵，
∴①正确．
②∵存在实数既不是正实数也不是负实数，
∴②错误．
③∵数轴上的点与实数一一对应，无理数是实数的一部分，
∴③正确．
④∵有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，
∴④正确．
综上，正确的说法是①③④．
3．如图，在数轴上的大致位置是（ ）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴在数轴上的大致位置是C处．
二、填空题
4．若一个正方形的面积是8，则它的边长为________．
【答案】
【分析】已知正方形的面积，结合正方形面积与边长的数量关系，根据边长为正的隐含条件计算即可．
【详解】解：设正方形的边长为，
∴，
解得：或（舍去）．
5．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数9对应的密码是，数900对应的密码是，数90000对应的密码是．已知数2026对应的密码约为，则数对应的密码约为__________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的性质，被开方数缩小为原来的时，对应的算术平方根缩小为原来的，结合已知的的近似值计算即可．
【详解】解：∵ 该编码规则为一个数的算术平方根是其对应的密码，
∴ 数对应的密码为，
∵ ，，
∴ ．
6．已知某正数x的两个平方根分别是和，y的立方根是．z是的整数部分．则的值为__________．
【答案】16
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求a，结合立方根定义求y，通过估算无理数大小确定z的值，代入代数式计算结果．
【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，和为，
∴，
解得，
∴，
∵的立方根是，
∴，
∵，
∴，
∴的整数部分，
代入计算得．
三、解答题
7．请把下列各数对应的序号填入相应的集合中.
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．
(1)整数集合：{_____…}；
(2)分数集合：{______…}；
(3)正有理数集合：{______…}．
【答案】(1)整数集合：③、⑥、⑦
(2)分数集合：①、④、⑤
(3)正有理数集合：⑤、⑦
【分析】根据整数、分数、正有理数的定义选择对应的数放入集合中．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
8．已知的立方根是3，的算术平方根是5．
(1)求，的值；
(2)是小于的最大整数，求的平方根．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用立方根、算术平方根的定义列方程求解，的值；
（2）先估算的范围确定的值，再代入计算后求平方根；
【详解】（1） 解：∵的立方根是，
∴，
解得，
∵的算术平方根是，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∵是小于的最大整数，
∴，
∴，
∴的平方根为．
9．在手工课上，小丽拿着面积为的正方形卡纸进行裁剪做手工．根据要求解答下列问题：
(1)正方形卡纸的边长是_____；
(2)现在手工老师要求同学们裁出一块面积为的长方形纸片，且长与宽的比为．小丽正在发愁，小丽的同桌见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小丽同桌的说法吗？请说明理由．
【答案】(1)20
(2)不同意；见解析
【分析】（1）设正方形的边长为，根据题意，得，求x的算术平方根即可；
（2）设长方形的长为，宽为，根据题意，得，解答即可．
【详解】（1）解：设正方形的边长为，根据题意，得，
解得，，边长不能为负，不符合要求，舍去，
故正方形的边长为；
（2）解：设长方形的长为，宽为，
根据题意，得，
解得，，舍去，
故长方形的长为，宽为，
因为，
所以，
所以，
长方形的长大于正方形的边长，
故一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片的说法是错误的，
故不同意小丽同桌的说法．
10．【阅读理解】
【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：
如果，其中是整数，且，那么，．
【材料二】已知是有理数，并且满足等式，求的值．
解：，
．
且，解得：，．
请解答：
(1)如果，其中m是整数，且，那么______，______；
(2)如果的小数部分为c，的整数部分为d，求的立方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据夹逼法可得，依此可求和；
（2）根据夹逼法可得，依此可求和，代入算式进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，其中是整数，且，
∴，
．
（2）解：，
，
，
的整数部分为，
，
，
的立方根为．
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第2章 实数的初步认识
知识点1：算术平方根与平方根
算术平方根
平方根
定义
正数x的平方等于a，x叫a的算术平方根
x的平方等于a，x叫a的平方根
个数
正数a有一个算术平方根
正数a有两个平方根，互为相反数；负数没有
表示
（a≥0）
（a≥0）
非负性：且（双重非负性）
0的算术平方根和平方根都是0。
知识点2：立方根
1.定义：x的立方等于a，x叫a的立方根，记作。
2.任意实数都有唯一立方根；正数立方根为正、负数为负、0为0。
3.开平方与开立方是求根运算，与乘方互为逆运算。
知识点3：无理数
1.无限不循环小数叫无理数。
2.常见形式：开方开不尽的方根（如）、含的数、构造的无限不循环小数。
3.无理数不能表示成分数形式。
知识点4：实数的分类
按定义
有理数（整数、分数）
要点
正实数
有限小数或循环小数
按正负
0
无限不循环小数
负实数
有理数+无理数＝实数
知识点5：实数与数轴
1.实数与数轴上的点一一对应。
2.可在数轴上用几何作图表示无理数（如构造正方形对角线得）。
知识点6：实数范围内的相反数、倒数、绝对值
1.相反数：a与互为相反数。
2.倒数：乘积为1的两数互为倒数；0没有倒数。
3.绝对值：，互为相反数的两数绝对值相等。
知识点7：实数的大小比较
1.正实数>0>负实数；数轴右边大。
2.带根号：比较平方；或用估算近似值。
3.两个负实数绝对值大的反而小。
知识点8：实数的运算
1.有理数的运算律在实数范围仍适用。
2.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，后加减；有括号先算括号。
知识点9：算术平方根的双重非负性
1.中被开方数且结果。
2.几个非负数之和为0，则每个数都为0。
知识点10：估算与易错警示
易错点
错误做法
正确做法
平方根符号
只写正的算术平方根
平方根要写
估算
直接取整数位
找相邻平方数夹逼
整数/小数部分
混淆整数部分与近似值
整数部分取小于它的最大整数
被开方数
负数开平方
被开方数必须非负
【易错题型】
【题型1】平方根与算术平方根的区分
1.易错点总结
（1）把算术平方根误当平方根；
（2）求平方根漏负号；
（3）负数误判有平方根。
2.纠错技巧
（1）算术平方根非负，平方根有两个；
（2）被开方数非负；
（3）0的平方根、算术平方根都是0。
【例题1】.（26-27八年级上·陕西汉中·阶段检测）6的算术平方根是（ ）
A． B．36 C． D．
【变式题1-1】.（26-27七年级上·山东济南·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题1-2】.（上海市闵行第四中学等校2026-2027学年第一学期期中考试八年级数学试卷）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【变式题1-3】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）4的平方根是______．
【基础题型】
【题型2】无理数的判断
解题技巧：
（1）开方开不尽是无理数；
（2）含是无理数；
（3）分数、有限、循环小数是有理数；
（4）构造数判断。
【例题2】.（26-27八年级上·甘肃白银·期中）下列实数中：，，，，，无理数有________个．
【变式题2-1】.（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）在、0、、、、0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数依次加1）这六个数中，无理数有________个．
【变式题2-2】.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）下列各数①；②；③（相邻两个“1”之间“2”的个数依次加1）；④；⑤；⑥中，无理数共有___________个．
【变式题2-3】.（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，数轴上的点A，B，C，D依次表示四个数、、、，其中表示无理数的点共有__________个．
【题型3】实数的分类
解题技巧：
（1）按定义或正负分类；
（2）0既非正也非负；
（3）有理数=整数+分数；
（4）实数=有理数+无理数。
【例题3】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）在中，最大的非正实数为________．
【变式题3-1】.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）将下列各数填入相应的括号里：
，，，，，，
负数集合：______；
分数集合：______；
非负整数集合：______．
【变式题3-2】.（25-26六年级上·山东东营·阶段检测）下列各数①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个2）其中是非负整数的有______，正分数是______（填序号）
【变式题3-3】.（26-27八年级上·全国·单元测试）把下列各数填入相应的集合中：
0，，，4，，，，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
【题型4】由平方根、立方根求值
解题技巧：
（1）平方根互为相反数列式；
（2）立方根唯一列式；
（3）解方程求字母；
（4）代回验证。
【例题4】.（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是________．
【变式题4-1】.（26-27八年级上·陕西汉中·阶段检测）已知的立方根等于自己本身，正数的两个平方根分别是和2．
(1)的值为___________．
(2)求的平方根．
【变式题4-2】.（26-27八年级上·四川眉山·期中）按要求完成下列小题．
(1)已知，求的平方根．
(2)已知和是同一个数的平方根，的立方根是，求的值．
【变式题4-3】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的平方根是，的算术平方根是5，求的值．
【题型5】利用开方/立方解方程
解题技巧：
（1）把平方项、立方项分离；
（2）开平方得±；
（3）开立方唯一解；
（4）检验被开方数。
【例题5】.（26-27八年级上·山东临沂·阶段检测）方程： 的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式题5-1】.（26-27八年级上·山东济南·期中）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【变式题5-2】.（26-27八年级上·甘肃白银·期中）求满足条件的x值：
(1)
(2)
【变式题5-3】.（26-27八年级上·江苏常州·阶段检测）求下列等式中的值：
(1)；
(2)
【题型6】实数的运算
解题技巧：
（1）先开方、乘方再乘除加减；
（2）绝对值先化简；
（3）0次方、负指数；
（4） 合并同类根式。
【例题6】.（26-27八年级上·海南海口·期中）计算：
(1)；
(2)．
(3)简便计算．
【变式题6-1】.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）计算：
(1)
(2)
(3)
【变式题6-2】.（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【变式题6-3】.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）计算：
(1)；
(2)
【提升题型】
【题型7】实数的大小比较
解题技巧：
（1）正>0>负；
（2）带根号比较平方；
（3）估算近似值；
（4）负实数绝对值大反而小。
【例题7】.（26-27八年级上·广东茂名·期中）比较大小：______（填“”，“”或“”）．
【变式题7-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）在0、1、、这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【变式题7-2】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上近似地表示下列实数，并比较这些实数的大小，用“<”连接．
，，，，，．
【变式题7-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）比较大小：
(1)与；
(2)，与．
【题型8】实数与数轴
解题技巧：
（1）实数与点一一对应；
（2）几何作图表示无理数；
（3）由数轴位置判符号、大小；
（4）数形结合。
【例题8】.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形．
(1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间；
(2)如图2，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，求点在数轴上表示的数．
【变式题8-1】.（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．
(1)求这个魔方的棱长；
(2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长．
(3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ．
【变式题8-2】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）背景知识：
材料一：我们知道面积为2的正方形的边长是无理数．在数学史中的发现引发了第一次数学危机．
利用这种探究方法可以得到更多的无理数．
材料二：如图1，纸上有五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它沿着虚线剪开并拼成一个新的正方形，如图2中以虚线为边长的正方形即为拼成后的新正方形．
知识迁移：
(1)图2、图3中拼成的新正方形的面积是______，边长是______；
拓展提升：
(2)图4中你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个新的正方形吗？若能，请在下面图形中画出来，它的边长是多少？
(3)请在方格图（图5）中，连接四个格点组成面积为10的正方形，并利用圆规在数轴上标出、的对应点．
【变式题8-3】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）综合与实践：
如图1，教材有这样一个探究活动：把两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，所得到的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为；
(1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为_________，_________；
(2)小弘同学把两个长为3，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的边长，并说明理由．
(3)请你在数轴上画出（保留作图痕迹）．
【题型9】算术平方根的双重非负性
解题技巧：
（1）被开方数非负且结果非负；
（2）非负数和为0各为0；
（3）含平方、绝对值的非负式；
（4）求字母并验证。
【例题9】.（26-27八年级上·甘肃天水·期中）如果、为实数，且，则__________
【变式题9-1】.（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）已知实数x、y满足，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式题9-2】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）若实数x，y满足，则的值为______．
【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·阶段检测）已知实数，，满足，请完成下列解答：
(1)求，，的值；
(2)求代数式的值．
【培优题型】
【题型10】估算与整数部分小数部分
解题技巧：
（1）找相邻平方数夹逼；
（2）整数部分＝小于它的最大整数；
（3）小数部分＝数减整数部分；
（4）用于求值、比较。
【例题10】.（上海市松江区2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题）如果的小数部分是，是的整数部分，那么______．
【变式题10-1】.（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【变式题10-2】.（26-27八年级上·甘肃天水·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______；
(2)若设的整数部分是，小数部分是，求的值．
【变式题10-3】.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为．
(1)的整数部分是___________，小数部分是___________；
(2)的小数部分是___________；
(3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值．
【题型11】平方根与立方根的实际应用
解题技巧：
1.先根据题意建立等量关系，如面积等于边长平方、体积等于棱长立方，列出含平方或立方的等式。
2.再通过开平方、开立方求出未知量，注意平方根取算术平方根（正根），立方根可直接取。
3.最后检验结果是否符合实际（如边长、棱长应为正数，且结果合理）。
【例题11】.（26-27八年级上·陕西汉中·阶段检测）某新能源科技基地铺设长方形光伏阵列，已知光伏阵列的长是宽的3倍，该光伏阵列的占地面积为．
(1)求光伏阵列的长与宽．
(2)若该基地光伏阵列需要进行扩建，保持长、宽的倍数关系不变，阵列总面积扩大为原来的2倍，请估算扩建后光伏阵列的宽（结果精确到1m）．
【变式题11-1】.（26-27八年级上·山东青岛·期中）露营基地计划改造场地，原本有一块面积的正方形露营区，现在想改成面积的长方形露营区，长方形的长与宽之比为．打算直接沿用原来正方形区域四周的防护围栏来围新的长方形露营区，请问原有围栏的长度够用吗？请说明理由．
【变式题11-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）小明有一个大正方体铁块，其体积为．
(1)求这个大正方体铁块的棱长；
(2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成A、B两个小正方体铁块，其中小正方体铁块A的体积为，求小正方体铁块B的棱长．
【变式题11-3】.（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）如图，图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形．
(1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为_____；
(2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由．
【题型12】实数的规律探究与应用
解题技巧：
（1）找规律（开方结果、运算）；
（2）代数式表示第n项；
（3）应用于情境（面积、物理）；
（4）化简求值。
【例题12】.（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）按要求解答
(1)填表：
0
…
1
100
10 000
…
0
…
1
100
…
(2)规律归纳：
①若正数的小数点向左（或右）移动 位，则的小数点就相应地向 移动 位；
②当时，若正数越大，则 ．
(3)尝试运用：已知， ，求的值．
【变式题12-1】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）阅读素材：
，，，…按照此规律：
(1)初步探究：
①填空：________________；
②计算：；
(2)迁移应用：计算：
【变式题12-2】.（25-26七年级下·河北沧州·期中）先填写表格，通过观察后再回答问题．
0
0.0001
0.01
1
100
10000
…
0
0.01
1
100
…
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题．
①已知，，则________；
②已知，，用含的式子表示．
【变式题12-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律．
第2行
第3行
第4行
第5行
【应用体验】
(1)的展开式为 ；
(2)利用上面的规律计算：
① ；
② ；
(3)若，
①求的值．
②求的值．
(4)当代数式的值为1时，求a的值．
同步练习
一、单选题
1．在实数0，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列说法中正确的是（ ）
①互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；
②任何实数不是正实数就是负实数；
③任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示；
④有理数是有限小数或无限循环小数；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．如图，在数轴上的大致位置是（ ）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
二、填空题
4．若一个正方形的面积是8，则它的边长为________．
5．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数9对应的密码是，数900对应的密码是，数90000对应的密码是．已知数2026对应的密码约为，则数对应的密码约为__________．
6．已知某正数x的两个平方根分别是和，y的立方根是．z是的整数部分．则的值为__________．
三、解答题
7．请把下列各数对应的序号填入相应的集合中.
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．
(1)整数集合：{_____…}；
(2)分数集合：{______…}；
(3)正有理数集合：{______…}．
8．已知的立方根是3，的算术平方根是5．
(1)求，的值；
(2)是小于的最大整数，求的平方根．
9．在手工课上，小丽拿着面积为的正方形卡纸进行裁剪做手工．根据要求解答下列问题：
(1)正方形卡纸的边长是_____；
(2)现在手工老师要求同学们裁出一块面积为的长方形纸片，且长与宽的比为．小丽正在发愁，小丽的同桌见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小丽同桌的说法吗？请说明理由．
10．【阅读理解】
【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：
如果，其中是整数，且，那么，．
【材料二】已知是有理数，并且满足等式，求的值．
解：，
．
且，解得：，．
请解答：
(1)如果，其中m是整数，且，那么______，______；
(2)如果的小数部分为c，的整数部分为d，求的立方根．
学科网（北京）股份有限公司
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