第二章 实数的初步认识（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年八年级上册数学第二章“实数的初步认识”能力提升单元卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，融合数学史、生活实践等情境，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平方根、无理数概念、实数分类|基础概念辨析，如第8题结合祖冲之圆周率史料渗透文化传承| |填空题|6/18|算术平方根、立方根计算、边长关系|第15题长方体锻造立方体，体现空间观念与运算能力| |解答题|9/72|实数运算、规律探究、实际应用|第21题高空抛物问题关联生活安全，培养应用意识；第25题无理数发现史，发展推理能力与数学眼光|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数的初步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的平方根是（     ） A．3 B． C． D． 2．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 4．在下列四个数中，其中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 6．下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 7．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 9．下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 10．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的算术平方根是____________． 12．若的立方根是，则的算术平方根是_________． 13．设为正整数，且，则的值为______． 14．已知的平方根是，则的值为______． 15．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 16．已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题4分）计算：． 18．（本题6分）解下列方程 (1) (2) 19．（本题8分）已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 20．（本题8分）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 21．（本题8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 22．（本题9分）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小． 小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”） 小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”） (1)将上述材料补充完成； (2)请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小． 23．（本题9分）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 24．（本题10分）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 25．（本题10分）在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件.北师大版八年级上学期数学教材第29页“阅读•思考”部分，为我们讲述了这段精彩的历史． 【经典回顾】 假设是有理数，那么可以写成两个整数p,q的比，即互质)．两边平方得，即①__________． 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入得，②_____________． 所以是偶数，也是偶数.因为和都是偶数，所以有公因数2. 这与“和互质“矛盾.这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （1）请在上面划线处填写相应内容：①_______________，②_____________； 【类比推理】 （2）类比上述证明不是有理数的方法，推理说明不是有理数． 【实际应用】 （3）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，能否从中裁出半径为的圆形画纸？请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数的初步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的平方根是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的平方根是． 2．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据定义计算各选项结果即可判断正误． 【详解】解：A项，，原计算错误，故不符合题意， B项，，计算正确，故符合题意， C项，，原计算错误，故不符合题意， D项，，原计算错误，故不符合题意， 故选：B． 3．下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 4．在下列四个数中，其中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简含根号的数，再判断各数是否为无理数． 【详解】解：∵是分数，是有限小数，是整数， ∴，，均为有理数， ∵开方开不尽， ∴是无理数． 5．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 6．下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 【答案】D 【分析】本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够数量掌握算术平方根的运算是解决本题的关键．根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可． 【详解】解：A、面积为17的正方形的边长为，故正确，不符合题意； B、17的算术平方根为，故正确，不符合题意； C、，则，故在整数4和5之间，故正确，不符合题意； D、，则，故选项错误，符合题意． 故选：D． 7．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根性质，计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，，不符合题意． 8．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 【答案】D 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 9．下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． D．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 10．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的算术平方根是____________． 【答案】2026 【分析】根据算术平方根的定义，先计算乘方结果，再求出其正的算术平方根即可． 【详解】解：， 所以的算术平方根是2026． 12．若的立方根是，则的算术平方根是_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义求出的值，代入得到的值后，再计算其算术平方根即可． 【详解】解： 的立方根是， ， 解得， 将代入，得， 的算术平方根是， 的算术平方根是． 13．设为正整数，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ 14．已知的平方根是，则的值为______． 【答案】16 【详解】解：的平方根是 根据平方根的定义可得 ∴． 15．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 【答案】 【分析】依据锻造前后铁块体积不变，先计算原长方体的体积，再根据立方体体积公式结合立方根的概念即可求出棱长． 【详解】解：由题意得，锻造前后铁块的体积不变，原长方体铁块的体积为， 设立方体铁块的棱长为， 根据立方体体积公式得， 因此即锻造成的立方体铁块的棱长为． 16．已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题4分）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 18．（本题6分）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或． （2）解：， ， ， 解得． 19．（本题8分）已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】 【分析】先从“平方根是它本身”确定为零，再根据立方根和算术平方根的定义分别列出关于和的方程并求解，最后将的值代入目标代数式，求其平方根． 【详解】解：的平方根是它本身， ． 的立方根是3， ，解得． 的算术平方根是5， ，解得． ． 20．（本题8分）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 21．（本题8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2s (2)正确，理由见解析 (3)90J，启示：严禁高空抛物． 【分析】(1) 本题考查算术平方根的实际应用，直接将代入公式计算即可． (2) 通过计算时的下落时间，与(1)中结果比较即可判断． (3) 先由求出下落高度，再代入能量公式计算． 【详解】（1）解：当时， ， 物体从20m高空落到地面的时间为s． （2）解：小明的说法正确， 理由：当时， ， ， 从80m高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍． （3）解：当时，， ， ， 能量， 这个鸡蛋在下落过程中产生的能量为， ， 足以伤害无防护人体， 启示：严禁高空抛物． 22．（本题9分）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小． 小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”） 小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”） (1)将上述材料补充完成； (2)请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键，根据题意把无理数变成有理数再比大小，即可得到答案． 【详解】（1）解：小明的方法：∵， ∴， ∴， 小英的方法：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2） 解：选小明的方法： ∵， ∴， ∴， 选小英的方法：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（本题9分）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）①根据解析（1）中规律进行解答即可； ②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）①∵， ∴； ②∵正方体的体积为3000立方米， ∴正方体的棱长为：米， ∴需要铁皮的面积为： （平方米）． 24．（本题10分）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 25．（本题10分）在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件.北师大版八年级上学期数学教材第29页“阅读•思考”部分，为我们讲述了这段精彩的历史． 【经典回顾】 假设是有理数，那么可以写成两个整数p,q的比，即互质)．两边平方得，即①__________． 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入得，②_____________． 所以是偶数，也是偶数.因为和都是偶数，所以有公因数2. 这与“和互质“矛盾.这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （1）请在上面划线处填写相应内容：①_______________，②_____________； 【类比推理】 （2）类比上述证明不是有理数的方法，推理说明不是有理数． 【实际应用】 （3）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，能否从中裁出半径为的圆形画纸？请说明理由． 【答案】（1）①；②； （2）见详解 （3）见详解 【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． （3）求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（是正整数），代入①得，． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （3）她的想法不能，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴她的想法不能． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数的初步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的平方根是（     ） A．3 B． C． D． 2．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 4．在下列四个数中，其中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 6．下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 7．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 9．下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 10．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的算术平方根是____________． 12．若的立方根是，则的算术平方根是_________． 13．设为正整数，且，则的值为______． 14．已知的平方根是，则的值为______． 15．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 16．已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题4分）计算：． 18．（本题6分）解下列方程 (1) (2) 19．（本题8分）已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 20．（本题8分）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 21．（本题8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 22．（本题9分）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小． 小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”） 小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”） (1)将上述材料补充完成； (2)请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小． 23．（本题9分）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 24．（本题10分）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 25．（本题10分）在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件.北师大版八年级上学期数学教材第29页“阅读•思考”部分，为我们讲述了这段精彩的历史． 【经典回顾】 假设是有理数，那么可以写成两个整数p,q的比，即互质)．两边平方得，即①__________． 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入得，②_____________． 所以是偶数，也是偶数.因为和都是偶数，所以有公因数2. 这与“和互质“矛盾.这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （1）请在上面划线处填写相应内容：①_______________，②_____________； 【类比推理】 （2）类比上述证明不是有理数的方法，推理说明不是有理数． 【实际应用】 （3）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，能否从中裁出半径为的圆形画纸？请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 ○ 第二章实数的初步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.√9的平方根是() : A.3 B.-3 C.士3 D.±V5 2. 下列各式中正确的是() : A.√5=3 B.3-27=-3 C.±V5=3 2=-2 : 3.下列结论中，正确的是() A.-4的平方根是±2 B.0没有平方根 C.1的算术平方根是1 D.√5的平方根是±3 4.在下列四个数中，其中是无理数的是() A. 22 B.11 C.-3.141592 7 D.25 、2027 5.已a-+6=0,则= A.1 B.-1 C.2 D.-2 : 斟 6.下列关于√17的描述错误的是() . A.面积为17的正方形的边长 B.17的算术平方根 C.在整数4和5之间 D.方程x2=17中未知数x的值 7.下列计算正确的是() O A.-2=2 B.-0.064=-0.4 : C.(-21)3=21 0.-8-2 V82 汉 : 8.我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的 说法正确的是() A.它是一个有理数 B.这个小数不能在数轴上表示出来 : C.它大于1 D.它是一个实数 9.下列说法正确的是() 试题第1页（共6页） .: 可学科网·上好课 A.无理数与无理数的和一定为无理数 B.一个数的算术平方根一定不比这个数大 C.数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应D,实数可分为有理数和无理数 10.已知a为8-√⑧，b为7-√7，c为6-√6，则这三个数的大小关系是() A.c<b<a B.b<c<a C.a=b=c D.b<a<c 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(-2026的算术平方根是」 12.若x+5的立方根是2，则5x+1的算术平方根是 13.设n为正整数，且n<√10<n+1,则n的值为- 14.已知√a的平方根是±2，则a的值为一一-， 15.把一个长、宽、高分别为5cm,4c,3c的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体 铁块的棱长为 cm. 16.已知△ABC的三边长a,b,c满足(a-1)+√b-3=0且c为奇数.则c= 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题4分)计算：V25--64+h-V3. 18.(本题6分)解下列方程 (1)4(x+3)2-1=24 22x-1+4=0 试题第2页（共6页） ⊙学科网·上好课 19.(本题8分)已知数a的平方根是它木身，代数式2力+17的立方根为3，且3动+9m的算术平方根是5， 求a+b+号m的平方根。 3 20.(本题8分)如图是一个数值转换器示意图： 输入x 计算x的算 是否为 是 (x≥0) 术平方根 无理数 输出y 否 (1)当输入的x为36时，输出的y的值是 (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是： (3)若输出的y>2,则x的最小整数值是一一一 21.(本题8分)高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间ts和下 落高度lm近似满足公式t=, (不考虑阻力的影响). (1)求物体从20m的高空落到地面的时间： (2)小明说物体从80的高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J)=10×物体质量(kg)×高度(m).一个质量为0.05kg的鸡 蛋经过6$落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人 体只需要65J的能量) 试题第3页（共6页） 22.(本题9分)数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决 这个间题西3与子的大小 4 小明的方法：因为√2i>4,所以V2-3-3,所以2-33 4-4 (填“>”或“<”) : 小英的方法： -3-3--6,因为21<6=36，所以21-6-0，所以21-33（填>或“<"） : 444 4-4 : (1)将上述材料补充完成： : 2)请从小明和小英的方法中选择一种比较7-1与号的大小. : 2 样 游 23.(本题9分)观察下表，并解答下列问题. 0.000001 0.001 1000 1000000 a 0.001 0.1 1 10 100 【规律总结】 E (1)根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或 向左)移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动_ 位 【规律应用】 : : O .: (2)已知0.3≈0.6694,3≈1.442,30≈3.107. ①300≈ : ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据： : 0.66942≈0.45,1.4422≈2.08,3.1072≈9.65) : 试题第4页（共6页） 24.(本题10分)请认真阅读下面的材料，再解答问题. 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义.给出四 次方根、五次方根的定义。 比如：若x2=a(a≥0)，则x叫a的二次方根： 若x=a,则x叫a的三次方根； 若x4=a(a≥0)，则x叫a的四次方根. (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；-32的五次方根为一一： (2)若a-1有意义，则a的取值范围是；若a有意义，则a的取值范围是 (3)求x的值： 2-4f-8=0 试题第5页（共6页） 学科网·上好课 25.(本题10分)在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件北师大版八年级上学 期数学教材第29页“阅读·思考”部分，为我们讲述了这段精彩的历史. 【经典回顾】 02 假设√2是有理数，那么可以写成两个整数P,g的比，即V2=(p,q互质).两边平方得2= ,即p2= ①】 故p是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以卫也是偶数 设p=2m(m是正整数)，代入得，q=② 所以q是偶数，q也是偶数.因为P和9都是偶数，所以P,9有公因数2. 这与“p和q互质“矛盾这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数， (1)请在上面划线处填写相应内容：①】 ②】 【类比推理】 (2)类比上述证明√2不是有理数的方法，推理说明互不是有理数. 【实际应用】 （3)长方形画纸的面积为420cm,长与宽的比为4：3，能否从中裁出半径为9cn的圆形画纸？请说明理 由. 试题第6页（共6页）函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章实数的初步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.√5的平方根是() A.3 B.-3 C.士3 D.±3 2.下列各式中正确的是() A.V9=±3 B.-27=-3 C.±V9=3 D 2 2=-2 3.下列结论中，正确的是() A.-4的平方根是±2 B.0没有平方根 C.1的算术平方根是1 D.√5的平方根是3 4.在下列四个数中，其中是无理数的是() A号 B.1 C.-3.141592 D.√25 5.已知a-3+B+b=0,则=( A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.下列关于√17的描述错误的是() A.面积为17的正方形的边长 B.17的算术平方根 C.在整数4和5之间 D.方程x2=17中未知数x的值 7.下列计算正确的是（) A.(-2)3-2 B.-0.064=-0.4 C.(-21)3=21 n 8.我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说 法正确的是() A.它是一个有理数 B.这个小数不能在数轴上表示出来 C.它大于i D.它是一个实数 1/6 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.下列说法正确的是() A.无理数与无理数的和一定为无理数 B.一个数的算术平方根一定不比这个数大 C.数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应D,实数可分为有理数和无理数 10.已知a为8-√⑧，b为7-√7，c为6-√6，则这三个数的大小关系是() A.c<b<a B.b<c<a C.a=b=c D.b<a<c 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(-2026)2的算术平方根是 12.若x+5的立方根是2，则5x+1的算术平方根是 13.设n为正整数，且n<√10<n+1,则n的值为_， 14.已知√a的平方根是2，则a的值为 15.把一个长、宽、高分别为5cm,4c,3c的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体 铁块的棱长为 cm. l6.己知△ABC的三边长a,b,c满足(a-1)+Vb-3=0且c为奇数.则c=」 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题4分)计算：√25-64+1-. 18.(本题6分)解下列方程 (1)4(x+3)-1=24 @(2x-月+4=0 216 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(本题8分)已知数a的平方根是它本身，代数式2b+17的立方根为3，且3b+1”m的算术平方根是5， 3 4 求a+b+-m的平方根. 3 20.(本题8分)如图是一个数值转换器示意图： 输入x 计算x的算 是否为 是 (x≥0) 术平方根 无理数 输出y 否 (1)当输入的x为36时，输出的y的值是」 (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是」 (3)若输出的y>2,则x的最小整数值是 3/6 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(本题8分)高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间ts和下 h 落高度hm近似满足公式t= V5 (不考虑阻力的影响). (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80的高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J)=10×物体质量(kg)×高度(m).一个质量为0.05kg的鸡 蛋经过6s落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人 体只需要65J的能量) 22.(本题9分)数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这 个问匙与的大小 4 小明的方法：因为V>4,所以V-3-3,所以-3_3（填>或<”） 4-4 小英的方法：之33246因为21<6=36，所21-60，所以13（填"或<） 4-4 (1)将上述材料补充完成： 2请从小明和小英的方法中选择一种比较-1与号的大小、 2 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(本题9分)观察下表，并解答下列问题. 0.000001 0.001 1000 1000000 a 0.001 0.1 10 100 【规律总结】 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向 左)移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动 位. 【规律应用】 (2)已知0.3≈0.6694,3≈1.442，/30≈3.107. ①300 ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据： 0.66942≈0.45,1.44222.08,3.1072≈9.65) 24.（本题10分)请认真阅读下面的材料，再解答问题. 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义.给出四 次方根、五次方根的定义. 比如：若x2=a(a≥0)，则x叫a的二次方根： 若x3=a,则x叫a的三次方根： 若x4=a(a≥0)，则x叫a的四次方根。 (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；-32的五次方根为一： (2)若a-1有意义，则a的取值范围是；若a有意义，则a的取值范围是 (8)求x的值：（2-4-8=0. 5/6 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(本题10分)在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件.北师大版八年级上学 期数学教材第29页“阅读•思考'部分，为我们讲述了这段精彩的历史 【经典回顾】 假设√2是有理数，那么可以写成两个整数p,q的比，即√2=巴（心，g互质）.两边平方得2 即p2= ①】 故p是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以P也是偶数. 设p=2(m是正整数)，代入得，q=② 所以g是偶数，q也是偶数.因为P和9都是偶数，所以P,9有公因数2 这与“p和9互质“矛盾.这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√不是有理数. (1)请在上面划线处填写相应内容：① ② 【类比推理】 (2)类比上述证明√2不是有理数的方法，推理说明2不是有理数 【实际应用】 (3)长方形画纸的面积为420cm,长与宽的比为4：3，能否从中裁出半径为9cm的圆形画纸？请说明理由. 6/6 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数的初步认识·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C B B D B D D A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．2026 12．4 13．3 14．16 15． 16．3 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题4分） 【详解】解： ……………………3分 ．……………………4分 18．（本题6分） 【详解】（1）解：， ，……………………1分 ，……………………2分 解得或．……………………3分 （2）解：， ，……………………4分 ，……………………5分 解得．……………………6分 19．（本题8分） 【详解】解：的平方根是它本身， ．……………………2分 的立方根是3， ，解得．……………………4分 的算术平方根是5， ，解得．……………………6分 ．……………………8分 20．（本题8分） 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：；……………………2分 （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1；……………………5分 （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是．……………………8分 21．（本题8分） 【详解】（1）解：当时， ， 物体从20m高空落到地面的时间为s．……………………2分 （2）解：小明的说法正确， 理由：当时， ， ， 从80m高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍．……………………5分 （3）解：当时，， ， ， 能量， 这个鸡蛋在下落过程中产生的能量为， ， 足以伤害无防护人体， 启示：严禁高空抛物．……………………8分 22．（本题9分） 【详解】（1）解：小明的方法：∵， ∴， ∴， 小英的方法：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：．……………………4分，每空1分 （2） 解：选小明的方法： ∵， ∴， ∴， 选小英的方法：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．……………………8分 23．（本题9分） 【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位．………2分 （2）①∵， ∴；……………………4分 ②∵正方体的体积为3000立方米， ∴正方体的棱长为：米， ∴需要铁皮的面积为： （平方米）．……………………9分 24．（本题10分） 【详解】（1）解：； 故答案为：；……………………2分 （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数；……………………6分 （3）解：， ， ， ， 或， 或．……………………10分 25．（本题10分） 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（是正整数），代入①得，． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．……………………4分 （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．……………………7分 （3）她的想法不能，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴她的想法不能．……………………10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $