第2章 实数的初步认识 单元复习+小测（核心知识+8易错辨析+6典例精讲）2026-2027学年苏科版八年级数学上册 ）

该初中数学讲义以“实数的初步认识”为核心，通过核心知识分模块梳理平方根、立方根、实数等要点，结合表格对比8个易错点的错误与正确结论，构建清晰知识脉络，突出双重非负性、实数与数轴对应等重难点内在联系。 讲义亮点在于典例精讲设计，6类题型涵盖选择、填空、解答，如“估计12的算术平方根范围”培养数感，“观测距离实际应用”发展模型意识，分层题满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升学生运算能力与推理意识。

第2章 实数的初步认识 单元复习+小测 （核心知识+8易错辨析+6典例精讲） 【知识点01】平方根 1. 算术平方根 若一个正数，则正数叫做的算术平方根，记作；规定。 双重非负性：，。 2. 平方根（二次方根） 若，则叫做的平方根，记作。 正数：有两个平方根，互为相反数； 0：平方根是0； 负数：没有平方根。 3. 重要等式 ； 【知识点02】立方根 1. 概念 若，则叫做的立方根，记作。 2. 性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0； 任何实数都有唯一的立方根。 3. 常用等式 ， 【知识点03】实数 1. 无理数 无限不循环小数叫做无理数。 三类常见无理数： 开方开不尽的数： 含的数： 构造型无限不循环小数：（相邻1之间依次多1个0） 2. 实数分类 3. 实数与数轴 实数和数轴上的点一一对应。 4. 实数的相关性质 实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数完全一致；有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然成立。 【知识点04】近似值 1. 精确度：近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 2. 实际运算中，可根据题目要求对无理数的运算结果取近似值。 易错点 错误说法/错解 正确结论 算术平方根与平方根混淆 9的平方根是3 9的平方根是；算术平方根是 化简出错 ，核心公式 开方数取值范围混淆 有意义 负数没有平方根，无意义；负数可以开立方，例： 特殊根的取值记错 平方根等于本身的数是0、1 平方根等于本身的数只有0；立方根等于本身的数： 无理数判断误区 带根号的数、无限小数都是无理数 是有理数；只有无限不循环小数才是无理数 非负性应用误区（必考） ，a、b可取任意数 ，两个非负数和为0，则 数轴对应关系记错 有理数与数轴上点一一对应 实数与数轴上的点一一对应 近似数精确度混淆 0.2与0.20精确度相同 0.2精确到十分位；0.20精确到百分位，二者精确度不同 【题型一】算术平方根 1．（2025·江苏南京·中考真题）估计12的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）若是一个数的算术平方根，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）化简___________． 4．有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是______． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为（单位）观测者能看到地面的最远距离为（单位）．则，其中是地球半径，通常取6400．小亮站在大洋湾景区望海楼俯瞰美景，眼睛离地面的高度为，求此时他能观测到地面的最远距离． 【题型二】平方根 6．（23-24八年级上·江苏南京·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A．a是x的平方根 B．x是a的平方根 C．x是a的算术平方根 D．a是x的算术平方根 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个数的平方根为和，则这个数为__________． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期中）正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 9．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知正数的平方根分别是和，求和的值． 10．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 【题型三】立方根 11．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）5的立方根是_________． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则的值为__________． 13．若，则___________． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期末）已知，求的值． 15．已知2（x﹣1）3＋54＝0，求x的值． 16．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）计算与求值： (1)计算：； (2)求中x的值． 17．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【题型四】无理数 18．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3.14 19．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列实数，，，中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）比较大小：_______（用“>”、“=”、“<”连接）． 21．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）若有理数a满足，则a的值可为__________．（写出一个即可） 22．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 23．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【题型五】实数 24．有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（    ）    A．5 B． C． D． 25．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）比较大小：______．（填“”、“”或“”）． 26．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知点在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点表示的实数为__________ 27．的绝对值是______，的相反数是______． 28．如图，将面积为7的正方形放在数轴上，以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为________． 【题型六】近似值 29．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）由四舍五入法得到的近似数精确到（   ） A．百分位 B．个位 C．十位 D．百位 30．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）近似数万，则a的取值范围是 ____________________． 31．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）对于圆周率3.1415926……，请你用四舍五入法精确到0.001，则3.1415926……的近似值是______． 32．下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 33．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 1. 本章核心是完成数系的扩充，将有理数拓展为实数；平方的逆运算是开平方，立方的逆运算是开立方，是实数运算的基础。 2. 开方取值范围核心区别：平方根仅对非负数有意义，算术平方根具有双重非负性；负数没有平方根，但任意实数都有唯一的立方根。 3. 三类根式精准区分：表示算术平方根（结果非负）、表示平方根（互为相反数两个值）、表示立方根（结果与被开方数符号一致）。 4. 无理数的本质是无限不循环小数，所有实数都可以在数轴上表示，且与数轴上的点一一对应，实数可进行大小比较、四则运算，运算规则与有理数一致。 5. 本章两大必考解题模型：① 算术平方根、平方数的非负性模型；② 的化简求值模型。 6. 近似数问题关键：精准区分精确数位，根据题目要求四舍五入，避免混淆不同小数位数的精确度。 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A． B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是 D．0没有平方根 2．用四舍五入法将精确到千位后，用科学记数法表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．若一个数的立方根是2，则这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 4．估计2+的值是（　　） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 5．如图，实数、、、在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ） A． B． C． D． 6．我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 8．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 9．立方根与它本身相同的数是（    ） A．0或±1 B．0或1 C．0或－1 D．0 10．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 二、填空题 11．计算______． 12．如果x是9的平方根，y是的立方根，则______． 13．满足的所有整数x的和是__________． 14．的平方根是_________；5的算术平方根是_________；的绝对值是__________． 15．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则_________． 16．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______． 三、解答题 17．求下列各式中的值： (1)； (2)． 18． 已知的平方根为，的立方根为b．求的值． 19．一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 20．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 21．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 22．某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识 单元复习+小测 （核心知识+8易错辨析+6典例精讲） 【知识点01】平方根 1. 算术平方根 若一个正数，则正数叫做的算术平方根，记作；规定。 双重非负性：，。 2. 平方根（二次方根） 若，则叫做的平方根，记作。 正数：有两个平方根，互为相反数； 0：平方根是0； 负数：没有平方根。 3. 重要等式 ； 【知识点02】立方根 1. 概念 若，则叫做的立方根，记作。 2. 性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0； 任何实数都有唯一的立方根。 3. 常用等式 ， 【知识点03】实数 1. 无理数 无限不循环小数叫做无理数。 三类常见无理数： 开方开不尽的数： 含的数： 构造型无限不循环小数：（相邻1之间依次多1个0） 2. 实数分类 3. 实数与数轴 实数和数轴上的点一一对应。 4. 实数的相关性质 实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数完全一致；有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然成立。 【知识点04】近似值 1. 精确度：近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 2. 实际运算中，可根据题目要求对无理数的运算结果取近似值。 易错点 错误说法/错解 正确结论 算术平方根与平方根混淆 9的平方根是3 9的平方根是；算术平方根是 化简出错 ，核心公式 开方数取值范围混淆 有意义 负数没有平方根，无意义；负数可以开立方，例： 特殊根的取值记错 平方根等于本身的数是0、1 平方根等于本身的数只有0；立方根等于本身的数： 无理数判断误区 带根号的数、无限小数都是无理数 是有理数；只有无限不循环小数才是无理数 非负性应用误区（必考） ，a、b可取任意数 ，两个非负数和为0，则 数轴对应关系记错 有理数与数轴上点一一对应 实数与数轴上的点一一对应 近似数精确度混淆 0.2与0.20精确度相同 0.2精确到十分位；0.20精确到百分位，二者精确度不同 【题型一】算术平方根 1．（2025·江苏南京·中考真题）估计12的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】首先根据，即可得出12的算术平方根介于3和4之间． 【详解】∵， ∴． ∴估计12的算术平方根介于3和4之间． 故选C． 【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，得出接近的有理数是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）若是一个数的算术平方根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了算术平方根的定义. 根据算术平方根的定义即可列出不等式求出a的范围. 【详解】解：∵非负数有算术平方根，且该数的算术平方根大于或等于0， ∴ ∴ 故选D 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）化简___________． 【答案】2026 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2026． 4．有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是______． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为（单位）观测者能看到地面的最远距离为（单位）．则，其中是地球半径，通常取6400．小亮站在大洋湾景区望海楼俯瞰美景，眼睛离地面的高度为，求此时他能观测到地面的最远距离． 【答案】16 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】此题主要考查了算术平方根的应用，利用算术平方根求出值，将数据直接代入计算是解题的关键． 根据，把，代入计算即可． 【详解】解：由，得， 答：此时观测者能看到的最远距离约是． 【题型二】平方根 6．（23-24八年级上·江苏南京·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A．a是x的平方根 B．x是a的平方根 C．x是a的算术平方根 D．a是x的算术平方根 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查的是平方根的定义．根据平方根及算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：， 是的平方根． 故选：B． 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个数的平方根为和，则这个数为__________． 【答案】9 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查已知一个数的平方根求这个数，利用一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再根据平方根的定义，求出这个数即可． 【详解】解：由题意，，解得； ∴， ∴这个数为； 故答案为：9． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期中）正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【知识点】平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质“正数的两个平方根互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：因为正数 的一个平方根是 ，所以另一个平方根是它的相反数，即 ． 故答案为： ． 9．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知正数的平方根分别是和，求和的值． 【答案】的值为，的值为25． 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根的应用，以及根据平方根求被开方数，利用一个正数有两个平方根，它们互为相反数求出a的值，再求出m的值即可． 【详解】解：和是正数的两个平方根 ， 解得： 答：的值为，的值为25． 10．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义，转化为两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 则或 或． 【题型三】立方根 11．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）5的立方根是_________． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】此题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义即得答案． 【详解】解：由于5不是完全立方数，因此5的立方根为， 故答案为． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则的值为__________． 【答案】2 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根的概念和运算，解题关键在于理解立方根的定义． 根据立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么x叫做a 的立方根或三次方根，据此即可解答． 【详解】因为， 所以8的立方根是2， 故答案为：2． 13．若，则___________． 【答案】 293.8 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根的规律题，将25360000分解为25.36与1000000的乘积，再利用立方根的性质和已知条件计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：293.8． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期末）已知，求的值． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查立方根，将等式移项后，再除以2，方程两边除以2后，再开立方即可． 【详解】解：      ∴． 15．已知2（x﹣1）3＋54＝0，求x的值． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】将方程变形为 ，利用立方根的定义计算即得出答案． 【详解】解： ， ， 则， 解得：． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题关键． 16．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）计算与求值： (1)计算：； (2)求中x的值． 【答案】(1)6； (2)． 【知识点】求一个数的算术平方根、立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再计算加法即可得解； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 【题型四】无理数 18．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3.14 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的定义，依据有理数与无理数的概念判断各选项，其中无理数是无限不循环小数，有理数包含整数、分数（有限小数、无限循环小数）． 【详解】解：A、是无限不循环小数，满足无理数的定义，故选项Ａ正确，符合题意； B、是分数，属于有理数，故选项B错误，不符合题意； C、0是整数，属于有理数，故选项C错误，不符合题意； D、3.14是有限小数，属于有理数，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 19．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列实数，，，中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在实数，，，中，无理数是和，有2个， 故选：B． 20．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）比较大小：_______（用“>”、“=”、“<”连接）． 【答案】< 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数的估算，实数的大小比较，通过估算得出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ 故． 故答案为：<． 21．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）若有理数a满足，则a的值可为__________．（写出一个即可） 【答案】1.5（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算，根据题意可得，得到可以为2.25，即，进而求出a的值． 【详解】解：∵a为有理数， ∴为有理数， ， ∴， ∴可以为2.25，即， ∴， ∴a的值可为1.5． 故答案为：1.5（答案不唯一）． 22．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 【答案】/ 【知识点】求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较立方数确定整数部分，再求小数部分． 【详解】解：， ， ， 的整数部分为4， 的小数部分为， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、不等式的性质 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 【题型五】实数 24．有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】C 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】把按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值． 【详解】解：当时， 125的立方根为5，5是有理数， 5的立方根是，是无理数，则输出， 所以输出， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：将数m求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n值是解题的关键． 25．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）比较大小：______．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】通过比较两个负数的绝对值，绝对值小的数更大． 本题考查了实数的大小比较，掌握无理数的近似值是解题关键． 【详解】∵ ∴， 由于 和 均为负数， 且 ， ∴ ． 故答案为： 26．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知点在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点表示的实数为__________ 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查数轴上点到原点的距离，绝对值，掌握知识点是解题的关键． 根据数轴上与原点距离相等的点有两个，它们互为相反数，即可解答． 【详解】解：设点M表示的实数为a，则点M到原点的距离为，根据题意， ， 解得． ∴点M表示的实数为． 故答案为：． 27．的绝对值是______，的相反数是______． 【答案】 / / 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是； 的相反数是 故答案为：；． 28．如图，将面积为7的正方形放在数轴上，以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为________． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：∵将面积为7的正方形放在数轴上， ∴正方形的边长为． ∵以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧， ∴ ∴点E表示的数为． 故答案为：． 【题型六】近似值 29．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）由四舍五入法得到的近似数精确到（   ） A．百分位 B．个位 C．十位 D．百位 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、求近似数的精确度 【分析】本题考查近似数的精确度判断，关键是将科学记数法表示的数还原为原数，看末位有效数字对应的数位即可 【详解】解：∵， 又∵原数中数字4位于十位上， ∴该近似数精确到十位， 故选：C 30．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）近似数万，则a的取值范围是 ____________________． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查的知识点是近似数，熟练应用四舍五入求近似值是解题关键，根据近似值是通过四舍五入得到的：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入即可得出结果． 【详解】根据取近似数的方法，得万， 可以由大于或等于的数，6后面的一位数字，满5进1得到； 或由小于的数，舍去1后的数字得到． 因而， 故答案为：． 31．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）对于圆周率3.1415926……，请你用四舍五入法精确到0.001，则3.1415926……的近似值是______． 【答案】3.142 【知识点】求一个数的近似数 【分析】根据近似数的四舍五入法则，精确到0.001需观察万分位数字进行取舍． 【详解】解：精确到0.001即保留三位小数，观察3.1415926…的万分位数字为5， 根据四舍五入法则，向千分位进1，千分位上的1加1后变为2， 因此该数的近似值为3.142． 32．下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 【答案】(1)精确到十分位，有3个有效数字； (2)精确到万位，有1个有效数字； (3)精确到百位，有4个有效数字 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数的精确度和有效数字的概念． （1）、（2）、（3）近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；有效数字，即从数字的左边第一个不是0的数字起，所有的数字都是有效数字．据此求解即可． 【详解】（1）解：近似数，数字0所在是位是十分位，则精确到十分位，有3个有效数字； （2）解：近似数5万，数字5所在的位是万，则精确到万位，有1个有效数字； （3）解：近似数，右边的数字5所在的位是百位，则精确到百位，有4个有效数字． 33．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【答案】(1)小强的近似值为10.18，小丽的近似值精确度更高 (2) 【知识点】求一个数的近似数、无理数的大小估算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及完全平方公式是正确解答的关键． （1）利用题目所提供的方法进行计算即可； （2）估算无理数的大小，设，得到，忽略，求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， 即， ， ． 比较小可以忽略不计， ，解得． 即的近似值为． ∴小丽的精确度较高． （2）由于，可设， ， 即， 由于，， 由于较小，忽略不计， ，解得， ∴． 1. 本章核心是完成数系的扩充，将有理数拓展为实数；平方的逆运算是开平方，立方的逆运算是开立方，是实数运算的基础。 2. 开方取值范围核心区别：平方根仅对非负数有意义，算术平方根具有双重非负性；负数没有平方根，但任意实数都有唯一的立方根。 3. 三类根式精准区分：表示算术平方根（结果非负）、表示平方根（互为相反数两个值）、表示立方根（结果与被开方数符号一致）。 4. 无理数的本质是无限不循环小数，所有实数都可以在数轴上表示，且与数轴上的点一一对应，实数可进行大小比较、四则运算，运算规则与有理数一致。 5. 本章两大必考解题模型：① 算术平方根、平方数的非负性模型；② 的化简求值模型。 6. 近似数问题关键：精准区分精确数位，根据题目要求四舍五入，避免混淆不同小数位数的精确度。 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A． B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，依据平方根和算术平方根的性质求解即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A. ，原说法错误； B. 2的算术平方根是，原说法错误； C. 1的平方根是，说法正确； D. 0的平方根是0，原说法错误； 故选：C． 2．用四舍五入法将精确到千位后，用科学记数法表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：精确到千位是． 故选C． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 3．若一个数的立方根是2，则这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据一个数的立方根是2，先求出这个数，然后再求出这个数的平方根即可． 【详解】解：∵这个数的立方根是2， ∴这个数为， ∴这个数的平方根是，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根定义，求出这个数为8． 4．估计2+的值是（　　） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 【答案】B 【分析】根据无理数的估算方法即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法． 5．如图，实数、、、在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数大小比较，实数与数轴，掌握实数的大小比较方法是解题的关键， 根据数轴上实数、、、的位置，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，， ∴最小的实数是m． 故选：A． 6．我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到， 而，， 十位上的数是， 的值是， 故选：D． 7．如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握正方形的体积公式是解题的关键． 根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长． 【详解】解：由条件可知：每一个小正方体的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故选：A． 8．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 符合题意，可以输出， ∴， 故选：B． 9．立方根与它本身相同的数是（    ） A．0或±1 B．0或1 C．0或－1 D．0 【答案】A 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：0立方根等于是0，1立方根等于是1，-1立方根等于是-1． 立方根与它本身相同的数是0或±1， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，立方根的定义，熟记概念是解题的关键． 10．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 二、填空题 11．计算______． 【答案】 【分析】根据，即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根的知识，解题的关键是掌握． 12．如果x是9的平方根，y是的立方根，则______． 【答案】或 【分析】此题考查了平方根与立方根．根据平方根与立方根的意义，求出x、y值，即可代入求得答案． 【详解】解：∵x是9的平方根， ∴ ∵y是的立方根 ∴ 当，时， 当，时， 故答案为：或． 13．满足的所有整数x的和是__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算．首先通过对，大小的估算，可得满足的所有整数，进而对其求和． 【详解】解：， ， ， 又， ， 满足的所有整数有，，，， 它们和为， 故答案为：． 14．的平方根是_________；5的算术平方根是_________；的绝对值是__________． 【答案】 / 【分析】此题考查求一个数的平方根，求算术平方根，求绝对值，根据定义依次解答即可． 【详解】解：的平方根是，5的算术平方根是；的绝对值是； 故答案为：；；． 15．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故答案为：． 16．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______． 【答案】或或 【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可． 【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：． 与C重合的点表示的数：． 第二次折叠，折叠点表示的数为：或． 此时与数轴上的点C重合的点表示的数为： 或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键． 三、解答题 17．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项再开平方，即可作答． （2）先在方程的两边同时除以2，再开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 18．已知的平方根为，的立方根为b．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，立方根．根据平方根，立方根的意义可得，，从而可得：，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵的平方根为，的立方根为b， ∴，， 解得：， ∴． 19．一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查了平方根、平方根的运用等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得到关于的等式，解得的值，进而求得这个正数即可； （2）把和的值代入等式得到关于t的方程，然后根据平方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：， ∴，， ，即这个数为． （2）解：当，时，，解得：（舍弃）． 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 20．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 【答案】(1)8，6 (2)， 理由如下： ． 【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； （2）略 21．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 22．某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 【答案】（1） （2） （3）长为，宽为 （4）如下图即为所求： 【分析】本题考查折叠的性质，算术平方根的实际应用，熟练掌握折叠的性质，算术平方根的定义，是解题的关键： （1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，进行求解即可； （2）根据折叠得到A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比即为：，进行求解即可； （3）纸是由纸经过4次折叠后得到的，进而得到纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍，进行求解即可； （4）设型纸的长为，宽为，根据题意得到，得到M型纸的长为，而5个小正方形的面积恰好为，进而得到M型纸的长为5个小正方形构成的一个大正方形的边长，画图即可． 【详解】解：（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线长为； 故答案为：； （2）由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等， ∴A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比， 由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为， ∴故A型纸的长与宽的比为， ∵纸的宽为， ∴纸的长为； （3）∵纸是由纸经过4次折叠后得到的， ∴纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍， ∵纸的长为，宽为， ∴纸的长和宽分别为和； （4）设型纸的长为，宽为， ∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形， ∴小长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M型纸的长为， ∵5个小正方形的面积恰好为， ∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为M型纸的长， 1 学科网（北京）股份有限公司 $