精品解析：江苏省溧阳中学2026-2027学年高二年级第一学期10月阶段调研数学试题

2025级高二年级第1学期10月阶段调研试题 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2. 请将试卷答案做在答卷纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系以及直线的斜截式方程求解即可. 【详解】直线，即， 故选：D 2. 设，则“直线与直线平行”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若直线 与平行， 可得，解得或， 经检验，当或时，两直线不重合， 对于充分性：或无法推出，则充分性不成立， 对于必要性：可推出或，则必要性成立， 得到“两直线平行”是“”的必要不充分条件，故B正确. 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得. 4. 圆与圆的位置关系为（　　） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程化为标准形式，求解圆心坐标与半径，计算圆心距，结合两圆位置关系的判定规则判断位置关系. 【详解】将圆化为标准形式得到，圆心，半径，圆的圆心为，半径. 则，，， 满足，因此两圆的位置关系为相交. 5. 已知直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将直线方程化为斜截式：. 其斜率 ，在 轴上的截距 . 所以. 解得 ，故实数 的取值范围为 . 6. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线的对称性，先求得曲线在第一象限部分的面积，即可求得曲线围成的图形的面积. 【详解】令，得或；令，得或. 以代替，以代替，方程仍然成立， 所以曲线关于轴，轴，原点对称. 所以可先分析的情况. 当时，，即， 所以曲线在第一象限的部分由以为圆心，以为半径的半圆和一个三角形，及原点组成. 所以其面积为. 所以曲线围成的图形的面积为. 故选：B. 7. 已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合椭圆的对称性以及椭圆的定义得到，在中结合余弦定理可得，进而结合离心率的公式可以求出结果. 【详解】 取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则， 在中结合余弦定理可得， 故，即，所以，因此， 故选：A. 8. 米勒问题是德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）.米勒问题的数学模型如下图：设是锐角的一边上的两点，点是边上的一动点，则当且仅当的外接圆与相切于点时，最大.若，点在轴上，则当最大时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出线段的垂直平分线所在直线的方程，得到圆心，根据半径相等得到方程，求出，检验后得到点的坐标. 【详解】设的外接圆圆心为，则在线段的垂直平分线上， ，故线段的垂直平分线所在直线斜率为， 又线段的中点坐标为，即， 故线段的垂直平分线所在直线的方程为，即， 设，由题意得的横坐标也为，将其代入，得，故， 故的外接圆半径为，又因， 由化简得，解得， 直线的方程为，即， 令得，故，则， 当时，， 故，此时为钝角，不合题意； 当时，， 故，此时为锐角，满足题意， 综上，点的坐标为. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（　　） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是18 B. 直线（为参数）必过第四象限 C. 过两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，令，解得，令，解得， 则该直线与两坐标轴围成的三角形面积，A错误； 对于B，直线可化为， 由，解得，即该直线过定点，故其必过第四象限，B正确； 对于C，当这两个点的横坐标或纵坐标相等时，两点式方程的分母就是0，此时直线不能用两点式表示，故C错误； 对于D，当直线过原点时，设其方程为，将点代入，解得，直线方程为； 当直线不过原点时，设其方程为，将点代入，解得，直线方程为， 综上，所求直线方程为和，故D正确. 10. 椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为 C. 直线与椭圆恒有公共点 D. 若为椭圆上一点，为圆上一点，则点的最大距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定的取值，根据离心率定义和椭圆定义可判断AB正误；根据直线所过定点在椭圆内部可知C正确；设，利用两点间距离公式可求得，由可知D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆的离心率，故A错误； 对于B，由椭圆定义知：的周长为： ，故B正确； 对于C，由得：， 由得：，即直线恒过定点； ，点在椭圆内部， 直线与椭圆恒有公共点，故C正确； 对于D，由知：圆心为，半径； 设，则， 当时，， ，故D错误. 11. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，， ，直线与月牙形有且仅有两个公共点，则（　　）（参考数据：） A. B. 圆的方程为 C. 的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，可通过确定圆心坐标即可判断，对于C，设直线，分别计算直线过点时，直线与圆相切时，直线与圆相切时的取值，即可判断，对于D，连接，求得的面积为，通过向量夹角公式求得，结合图形对称性即可求解. 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， ，且中点坐标为，得的垂直平分线方程为， 设圆心坐标为，且，所以， 解得，所以圆C的方程为，， 故选项A正确，选项B正确.. 设直线，当直线过点时，，此时也过点， 当直线与圆相切时，，解得， 当直线与圆相切时，， 解得或， 因为直线与月牙形只有两个交点， 结合图象可知的取值范围为，故选项C错误. 连接， 直线方程为：，点到的距离为， 又，所以的面积为， 设，，，所以， 所以，由对称性可知月牙形的面积约为： ，故选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 过点且与直线垂直的直线的一般式方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】将直线的一般式转为斜截式可得，斜率为， 故与其垂直的直线的斜率为， 又直线过点，由点斜式有，整理得. 13. 已知椭圆的焦距为2，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 或 【解析】 【分析】先由焦距求出半焦距，再根据椭圆中与方程分母的关系，分焦点在轴、轴两种情况，分别计算对应的离心率. 【详解】由椭圆焦距为2，可得半焦距满足，解得，因此， 对于椭圆方程（）， 可得，即 ，解得或， 当时，，椭圆焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为2， 因此离心率； 当时，，椭圆焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为， 因此离心率； 综上，椭圆的离心率为或. 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为.设点，点是圆上的任意一点，过点作 于，则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知求得，设，则，在中，根据余弦定理得，再由，应用基本不等式求最小值. 【详解】 如图，连接，因为圆心到直线的距离， 又圆上恰有3个点到直线的距离为， 所以，即， 设，则， 在中，， 即， 又 ， 当，即时取等. 故的最小值为，即的最小值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点，，. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； 【小问2详解】 因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； 【小问3详解】 依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 16. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用圆心与切点的连线垂直于切线，通过斜率关系求出圆心坐标，再计算半径得到圆的标准方程。 （2）分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径，求出过定点的圆的切线方程 【小问1详解】 设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 17. 已知动圆经过定点，且与圆相内切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若点在曲线上，且，求的大小. 【答案】（1）动圆圆心的轨迹的方程为； （2）的大小为 【解析】 【分析】（1）通过两圆内切的几何性质推导动圆圆心满足的距离和条件，结合椭圆的定义求解轨迹方程； （2）利用椭圆的定义得到点到两焦点的距离和，结合已知的距离乘积，通过余弦定理求解三角形内角. 【小问1详解】 由圆，得圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由于动圆经过定点，因此， 由于，即在圆内部，因此动圆位于圆内部， 两圆内切时圆心距等于两圆半径之差，即， 所以， 根据椭圆的定义，得动圆圆心的轨迹为焦点在轴上的椭圆， 焦点为、，因此焦距，即；，即， 故， 因此动圆圆心的轨迹的方程为； 【小问2详解】 设，，因此， 由题设条件，可得， 所以， ，因此， 在中，由余弦定理得 ， 由于是三角形的内角，取值范围为，可得. 18. 设，，，圆过三个点. （1）求圆的方程； （2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆相交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点. 【答案】（1） （2） （3）设直线的方程为，因为直线与圆相交于异于原点的两点，故，将直线方程代入圆的方程中：， 整理得：，设，，由韦达定理得：， ， ​已知直线，斜率分别为​，，且 ，则：， ​又因为 ，，所以：，代入 ，​ 得：，将韦达定理代入上式：， 等式两边同乘 ：，展开化简得：，，， 因为 ，两边同除以得：，将代回直线的方程：，由此可知，当时，无论取何值，恒为 ， 故直线恒过定点 . 【解析】 【分析】（1）第一问通过观察两个对称点的特征快速确定圆心所在直线，再结合第三点利用距离相等关系即可求出圆的标准方程； （2）第二问巧妙借助线段中点将复杂的距离平方和问题转化为圆上动点到定点的距离最值问题，从而求得参数的取值范围。 ； （3）第三问通过联立直线与圆的方程并结合根与系数的关系处理斜率乘积为定值的条件，最后将得出的参数关系代入直线方程中提取出恒过的定点坐标. 【小问1详解】 已知圆过 ，，三点，观察可知，点和点的横坐标相同，线段的垂直平分线方程为，圆心定在这条垂直平分线上，故设圆心坐标为 ， 由圆的性质知 ，即：， 展开得：，解得： ， 所以圆心为，半径 ，圆的方程为：； 【小问2详解】 设点在圆上，，，取线段的中点，坐标为 ，即 ， 的长度为 ，由中线长公式，有：，因为 ，且 ， 代入得： ，点 到圆心的距离平方为：， 所以 ，因为点 在圆上，的最大值为 ，最小值为 ， 因此 ，计算得：， 所以 的取值范围是 ， 实数的取值范围是：； 【小问3详解】 略. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆C于A，B两点， ① 若，求直线的方程； ② 求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①或 ② 【解析】 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）①设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； ②利用点到直线的距离，弦长公式表示出三角形面积，换元后求最值即可得解. 【小问1详解】 由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. ②由①可知直线方程为， 则到直线的距离， 由①可知，， 所以三角形的面积， 令，由知，则， 当，即时等号成立，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二年级第1学期10月阶段调研试题 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2. 请将试卷答案做在答卷纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设，则“直线与直线平行”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系为（　　） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 已知直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 6. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 米勒问题是德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）.米勒问题的数学模型如下图：设是锐角的一边上的两点，点是边上的一动点，则当且仅当的外接圆与相切于点时，最大.若，点在轴上，则当最大时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（　　） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是18 B. 直线（为参数）必过第四象限 C. 过两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和 10. 椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为 C. 直线与椭圆恒有公共点 D. 若为椭圆上一点，为圆上一点，则点的最大距离为 11. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，， ，直线与月牙形有且仅有两个公共点，则（　　）（参考数据：） A. B. 圆的方程为 C. 的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 过点且与直线垂直的直线的一般式方程为__________. 13. 已知椭圆的焦距为2，则椭圆的离心率为__________. 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为.设点，点是圆上的任意一点，过点作 于，则 的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点，，. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求的面积. 16. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； 17. 已知动圆经过定点，且与圆相内切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若点在曲线上，且，求的大小. 18. 设，，，圆过三个点. （1）求圆的方程； （2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆相交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆C于A，B两点， ① 若，求直线的方程； ② 求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $