精品解析：江苏苏州市黄埭中学2026-2027学年高二第一学期10月阶段性检测数学试题

高二10月阶段性检测试卷 数学 一、单项选择题（每小题5分，共40分.） 1. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 2. 已知直线过点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值建立等式求解即可． 【详解】， 解得， 故选：C． 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 36 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】因为为等比数列，故，故， 而，故， 所以，故（同号，负值舍去）， 故选：D 4. 已知等差数列{ an}中， 其前n项和为 Sn，若 则 （ ） A. 2021 B. -2022 C. 2024 D. -2023 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，由，求出，利用等差数列求和公式即可求解． 【详解】在等差数列中，，其前项和为， ， ，解得， 则． 故选：C． 5. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意有，解得的取值范围； 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即对都成立， 所以．（或通过二次函数的对称性求解） 故选：D. 7. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（     ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得的边长，结合图形求得周长，计算并化简，求得即得. 【详解】由， 可得，，，， 所以， 所以， 所以前项和， 所以. 故选：B. 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 已知满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 设的前项和为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】两边取倒数，可得，可得是等差数列，逐项计算可判断其正误. 【详解】由，可得， 所以，所以是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以，则，故AB正确,C错误； 又， 则，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 【答案】AD 【解析】 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 11. 已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数：，，使，，，成等差数列；…；在和出之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，…，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据新数列的定义方式可知，在原数列前项中添加了项，所以，A项正确；对于B，根据等差数列的前项和公式即可判断B项错误；对于C，先判断是等差数列中的第三项，即可求出的值，C项错误；对于D，根据，即可利用分组求和和错位相减法求出，D项正确． 【详解】对于A，在数列中是第项，所以，A项正确； 对于B，，B项错误； 对于C，，C项错误； 对于D，由选项B知，所以 ，D项正确. 故选：AD． 三、填空题（每小题5分，共15分.） 12. 已知是公比为的等比数列，若，则______. 【答案】25 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】因为 所以 故答案为：25 13. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程____________. 【答案】或 【解析】 【分析】分直线经过原点和不经过原点两种情况进行讨论求解. 【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为， 当直线不经过原点时，设直线的截距式为， 把点代入可得：，解得， 所以直线的方程为：， 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 数列中，，且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得数列是以为首项，为公比的等比数列，求其通项公式，得到数列的前项和，代入，分离参数求解． 【详解】由，得， ，数列是以为首项，以为公比的等比数列， ，则． 由，得，． 当时，有最小值为，，即实数的最大值为． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.） 15. 已知各项均为正数的等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）令，数列的前项和为，当为何值时最小，并求出的最小值. 【答案】（1）； （2）时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出首项和公比，代入等比数列通项公式，即可求出的通项公式； （2）由（1）得，代入化简可得，易知数列为等差数列，利用等差数列前项和公式求出，利用二次函数的单调性，求出其最小值. 【小问1详解】 由题可知，设首项，公比，由，得， 由，则，两边同除以得，即， 因为，所以，于是，因此； 【小问2详解】 由（1）可得，故， 所以，因此数列是以首项为、公差为3的等差数列， 所以其前项和为， 易知对应二次函数开口向上，对称轴为，又因为，，，， 所以数列从第3项起均为正数，所以前两项和最小，即当时，最小，最小值为. 16. 已知数列满足：，，． （1）求证：成等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：由题意，， 令，即， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即可证明数列为等比数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）令，根据已知条件证明为常数即可； （2）由（1）可求得，然后根据分组求和求数列的前项和即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 则 . 17. 设公比为正的等比数列前项和为，且成等差数列． （1）求的通项； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列求和计算求出公比，再根据等差中项列式基本量运算得出首项，最后应用等比数列通项公式计算即可； （2）根据（1）中计算得出,化简得出累加得出，最后应用裂项相消求和即得. 【小问1详解】 因为等比数列公比,， 所以，即， 是等差数列，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以 所以，故， 累加法得出， ， . 18. 已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，利用递推关系可得数列为等比数列，即可得解； （2）根据等差数列通项公式求出，再由错位相减法求出和即可. 【小问1详解】 因为，① 所以当时，， 又，所以． 当时，，② ①式减去②式，得， 所以． 又， 所以对，都有， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 依题设得， 所以，所以． 所以，① 所以，② ①式减去②式，得 ， 所以． 19. 已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的，都有，数列各项都是正整数，，，且数列，，，…，是等比数列. （1）求，； （2）证明：数列是等差数列； （3）求满足的最小正整数n． 【答案】（1），； （2）当时，由得，所以两式相减得， 所以.由知，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列. （3）5. 【解析】 【分析】(1)当时，可求得.当时，可求得； (2) 当时，由得，所以两式相减得，由此可证明数列是首项，公差的等差数列； (3) 由(2)得， 推导出数列是首项为1，公比为2的等比数列，由此可求得通项公式；由，得.设，令得，即.由得.令得，知，所以，可求出满足的最小的正整数. 【详解】(1)当时，，即，，由得. 当时，，即，，由得. （2）略 (3)由(2)得， 由,所以数列的公比， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以. 又，所以，即. 由，得. 设， 则. 令得，即.由得. 令得，知， 所以， 又因为，故当时，， 所以满足的最小正整数n为5. 【点睛】本题考查由数列的前项和得出数列的通项，考查研究新数列是否是等差数列或等比数列求得通项，求解不等式的最小整数，解决的关键是运用数列的函数特征取相邻项作差或作商后判断函数的增减性，得出函数的最值，属于难度题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二10月阶段性检测试卷 数学 一、单项选择题（每小题5分，共40分.） 1. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 36 D. 6 4. 已知等差数列{ an}中， 其前n项和为 Sn，若 则 （ ） A. 2021 B. -2022 C. 2024 D. -2023 5. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（     ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 已知满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 设的前项和为，则 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 11. 已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数：，，使，，，成等差数列；…；在和出之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，…，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分.） 12. 已知是公比为的等比数列，若，则______. 13. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程____________. 14. 数列中，，且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.） 15. 已知各项均为正数的等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）令，数列的前项和为，当为何值时最小，并求出的最小值. 16. 已知数列满足：，，． （1）求证：成等比数列； （2）求数列的前项和． 17. 设公比为正的等比数列前项和为，且成等差数列． （1）求的通项； （2）若数列满足，求数列的前项和． 18. 已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn 19. 已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的，都有，数列各项都是正整数，，，且数列，，，…，是等比数列. （1）求，； （2）证明：数列是等差数列； （3）求满足的最小正整数n． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $