精品解析：江苏省常州市金坛区第一中学2026-2027学年高二上学期11月统一练习数学试题

2026年秋学期高二数学11月统一练习 本卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 3. 如果，那么直线一定经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 坐标原点 4. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. （－10，6） C. D. 5. 设为实数，若椭圆与双曲线有相同的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 6. 已知点，，，圆，一条光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知曲线，则（ ） A. 可以是圆 B. 可以是抛物线 C. 当或时，为双曲线 D. 当时，为椭圆 10. 已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最大值为6 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 11. 已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（ ）． A. 的焦点坐标为 B. 直线与相切 C. D. 的取值范围为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 过点作圆的切线，则切线长为__________. 13. 设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于____________________ 14. 已知实数，，，满足，，，，则的最大值为________． 四、解答题（共77分） 15. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为． （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程． 17. 过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． （1）求直线的方程； （2）设为圆上一点，求的最小值． 18. 已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. （1）求的方程. （2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 19. 已知椭圆：，动直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； （3）若动直线经过点，则轴上是否存在定点（不同于点），使得直线与直线的倾斜角总互补？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期高二数学11月统一练习 本卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到开口向上，从而得解. 【详解】抛物线开口向上，且， 所以准线方程是. 故选：B 2. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析圆心距和半径之和的关系，即可得外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，整理得：，圆心，半径为， 因为，所以， 即两圆相外切， 故选：D. 3. 如果，那么直线一定经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 坐标原点 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线在坐标轴的截距分别是、，结合题意即可判定. 【详解】直线在轴上的截距为， 在轴上的截距为， 因为，所以同号， 则直线在坐标轴上的截距同正或同负，如图， 则直线一定经过第二象限. 故选：B 4. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. （－10，6） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 5. 设为实数，若椭圆与双曲线有相同的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】椭圆和双曲线有相同焦点，说明半焦距相等，然后分别求出椭圆与双曲线的半焦距，然后根据相等列出方程，从而求解出. 【详解】对于椭圆，因为与双曲线有相同的焦点，且双曲线的焦点在x轴上， 所以椭圆的焦点在轴上.所以，所以，即. 对于双曲线，所以，所以，即. 又，即，化简得，解得或（舍）. 故选：A 6. 已知点，，，圆，一条光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点关于直线的对称可得，即可根据三角形三边关系结合共线求解. 【详解】直线方程为，即， 设点关于直线的对称点为，则，解得， 故， 圆心为，半径为，故， 因此过经过反射在处，由于， 故光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为， 故选：B 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率. 【详解】 如图所示，由已知得，且，， 则 又由双曲线定义可知，即，而， 可得，即，解得（舍）或， 所以离心率， 故选：B. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断是直角三角形，利用斜率的几何意义，找到与的数量关系，再结合的面积为，列方程，求出与长度，再由椭圆的定义得，，，最终求出椭圆的方程. 【详解】因为以为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，所以，即是直角三角形，已知直线的斜率为，即， 在中，设，则， 由勾股定理可得 因为的面积为，根据三角形面积公式，即 解得，，所以 ，所以，，； 根据椭圆的定义：，所以； 又因为，所以； 根据得：； 所以椭圆的方程为. 故选：. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知曲线，则（ ） A. 可以是圆 B. 可以是抛物线 C. 当或时，为双曲线 D. 当时，为椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程逐项分析即可. 【详解】令，解得，此时方程，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A正确. 抛物线的标准方程中或的指数会出现一次，而曲线中都是二次，故B错误. 当时，，分母异号，此时曲线可表示为双曲线， 当时，，分母异号，此时曲线可表示为双曲线，故C正确. 当时，，分母同号，但时曲线表示圆，故D错误. 故选：AC. 10. 已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最大值为6 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B； 为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点. 【详解】因为，所以 化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确； ，几何意义为点到定点距离的平方加1， 因为点在圆上，圆心为 ，半径 ， 到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为 所以最大值为，选项B错误； 圆，圆心为 ,半径 ； 两圆心距为 ; 则的最小距离为； 的最大距离为； 所以范围是，选项C正确； 当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（ ）． A. 的焦点坐标为 B. 直线与相切 C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，将点代入抛物线方程可求出的值，进而得到抛物线标准方程，判断焦点坐标；选项B，联立直线与抛物线方程，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系； 选项C、D， 设直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到、纵坐标的关系，结合抛物线方程可得横坐标的关系，再分别计算、的表达式，结合直线与抛物线有两个交点分析取值范围. 【详解】因为点在C上，所以，， 故C的方程为，其焦点坐标为，A错误； 由、，可得直线斜率， 所以由点斜式可得直线的方程为， 代入，得，， 故直线与C相切，B正确； 设，，直线MN的方程， 代入，得，， 即，且，， ， ，C正确； ，， 所以 ， 因为，所以的取值范围为，D正确． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 过点作圆的切线，则切线长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可. 【详解】方程可化为，圆心，半径， 所以切线长为. 故答案为： 13. 设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于____________________ 【答案】或. 【解析】 【分析】分椭圆焦点在轴、轴两种情况，结合焦距得半焦距，利用椭圆中的关系列方程求解. 【详解】焦点在轴时：此时，椭圆中满足. 已知焦距为，即，得. 可得. 焦点在轴时：此时，椭圆中满足. 可得，解得. 综上，的值为或. 14. 已知实数，，，满足，，，，则的最大值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】将条件转化为单位圆上互相垂直的两点，通过三角换元设点坐标，去掉绝对值后把目标式化简为正弦型函数，进而求出最大值． 【详解】已知，，则是单位圆上两点， ，则， 设点，则， ， ， 令， 则 ， ，故， 故的最大值为8． 四、解答题（共77分） 15. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【小问1详解】 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为． （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出的中垂线方程为，联立，再求半径即可得到答案. （2）首先根据，得到在线段的中垂线上，从而得到，即可得到答案. 【小问1详解】 ，则的中垂线方程为， ，. 则圆 【小问2详解】 如图所示： 因为，所以在线段的中垂线上， 又因为线段的中垂线过，， 则，，整理得： 17. 过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． （1）求直线的方程； （2）设为圆上一点，求的最小值． 【答案】（1）或 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据弦长公式可求得圆心到直线的距离为，讨论直线的斜率是否存在即可列出等式求解； （2）根据抛物线的定义进行转化，利用几何意义即可求解最小值. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得： ， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 【小问2详解】 因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 18. 已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. （1）求的方程. （2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）由（1）知，， 设，，直线， 代入，整理得， ，且，得， ，， ∴直线，， ∴直线，， ，， ， . （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）（i）设直线，代入双曲线方程，利用韦达定理证明即可； （ⅱ）利用面积公式结合韦达定理把表示成的函数，通过解析式判断最小值. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为. 由题知，，，， 的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii） ， 其中， ， ， ∴当时，. 19. 已知椭圆：，动直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； （3）若动直线经过点，则轴上是否存在定点（不同于点），使得直线与直线的倾斜角总互补？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）焦距为，； （2）或； （3）存在定点. 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程，可得，，根据椭圆性质，可求得椭圆的焦距和离心率； （2）先根据平行四边形的性质，得到直线与平行，设出直线的方程，联立椭圆方程，结合，求出的值，进而得到直线的方程； （3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，通过特殊位置确定定点的可能位置，再进行验证即可. 【小问1详解】 由题意，椭圆：，所以，， 则，所以， 所以焦距为，离心率是. 【小问2详解】 因为四边形为平行四边形， 所以且，所以， 又，所以， 设直线，，， 联立，化简得， 又， 所以，， 由可知，， 即， 解得， 所以直线方程为或. 【小问3详解】 假设存在点满足题意， 当直线斜率存在时，直线与直线的斜率也存在，且， 设方程为，与：联立得：， 设，，由韦达定理得，， 所以 ， 所以， 即， 所以，解得， 当直线斜率不存在时，直线与直线的倾斜角都是， 所以它们的倾斜角互补，满足题意， 综上，存在定点，使得直线与直线的倾斜角总互补． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $