第11讲 函数的奇偶性【六大题型+知识归纳+高分精练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第11讲： 函数的奇偶性 题型一：函数奇偶函数的判断 1 题型二：利用奇偶性求函数的解析式 4 题型三：奇偶数求参数问题 5 题型四：奇偶性求解不等式问题 6 题型五：奇偶性的对称问题 8 题型六：函数的奇偶性综合问题 9 知识点一：函数奇偶性的几何特征 一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 知识点二：函数奇偶性的定义 1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 知识点三：奇(偶)函数的定义域特征 奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 知识点点四：用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点点五：奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 题型一：函数奇偶函数的判断 【例1】．（26-27高一上·全国）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)既是奇函数又为偶函数 【详解】（1）定义域：，因为对于任意，且，所以为奇函数. （2）定义域：，即，所以为非奇非偶函数. （3）定义域：，解得，所以为非奇非偶函数. （4）定义域：，即或，所以， ，所以，所以函数为奇函数 （5）定义域：，解得，所以，因此既是奇函数又为偶函数. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是偶函数. （3）的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数. 【变式2】．（专题14函数的奇偶性（八类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)偶函数； (2)奇函数； (3)奇函数； (4)非奇非偶函数； (5)既是奇函数又是偶函数 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）由，则函数的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由， 则函数定义域为，关于原点对称， 此时，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）由， 则函数的定义域为， 所以函数定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数． （5）由，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 题型二：利用奇偶性求函数的解析式 【例2】．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，_______． 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 又因为是奇函数，所以， 即当时，. 【变式1】．（26-27高三上·山东·期中）设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________. 【答案】 【详解】因为为奇函数，所以， 即. 又为偶函数，所以， 即 ，得 . 将 代入， 得：， 即， 化简得. 【变式2】．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 【答案】 【详解】当时，，而是偶函数， 所以. 故答案为： 题型三：奇偶数求参数问题 【例3】．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 【变式1】．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 【答案】/0.5 【详解】由题意得， 又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性， 则，解得，则， 此时，解得，定义域关于原点对称， 且，则为奇函数，满足题意. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为________． 【答案】 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 则定义域关于原点对称，可得，解得， 所以函数的定义域为． 由于函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递减， 因为，则或，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 题型四：奇偶性求解不等式问题 【例4】．（26-27高一上·天津南开·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是偶函数，得. 又在上单调递减，故在上单调递增. 所以当时，；当时，. 要求，即需满足以下两种情况之一： ，即，解得； ，即，解得. 综上，的解集为. 【变式1】．（26-27高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 因为是定义在上的奇函数，所以，即， 由题意得在上单调递减，则有在上单调递减， 所以，解得. 【变式2】．（26-27高一上·广西河池·阶段检测）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 故当时，，当时，， 由可得：或， 解得或， 因此满足的的取值范围是. 题型五：奇偶性的对称问题 【例5】．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是定义在上的奇函数，在上单调递增，且， 可知，当时，；当时，； 由，得或，解得或， 所以不等式的解集为． 【变式1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 【变式2】．（25-26高一上·河南·期中）已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，令，即， 即，所以函数是奇函数； 由对任意，，当时，都有， 得函数在上单调递增；由函数是奇函数， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增. 在不等式两边都加上得： ，即， 令，因为函数也是奇函数，在上单调递增， 所以函数是奇函数，且在上单调递增. 则不等式可转化为， 所以，解得. 故选：D. 题型六：函数的奇偶性综合问题 【例6】．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数． (1)若为偶函数，求的值； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，记的最大值为，最小值为，当时，设函数．求的最小值． 【详解】（1）函数定义域为，关于原点对称， 而， 若为偶函数，则， 即，化简可得， 因为不恒为，所以； （2）由题可知，不等式在时恒成立. 显然当时，为任意值时都满足题意； 当时，不等式可化为在时恒成立， 易知， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以； 即实数的取值范围为. （3）函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增， 所以，， 此时， 因为在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由二次函数性质可知，， 此时， 因为在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 由二次函数性质可知，， 此时， 因为在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减， 所以，， 此时， 因为在区间上单调递增，所以； 综上：当时，函数有最小值为. 【变式1】．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于实数的不等式. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，则， 由，解得， 所以，故函数的解析式为. (2)函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. （3）由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得， 则关于实数的不等式的解集为. 【变式2】．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设，若对任意的，对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，整理得到，所以，则， 又，所以，解得. 所以，. (2)由（1）可知. 函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，则，，， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知，又，，所以函数在上的值域为. 可将问题转化为，当时，恒成立. 若，则在区间上为增函数，由，得到， 若，则，此时在上恒成立， 若，则在上为减函数，由，得到. 综上可知：，即实数的取值范围为 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，， 函数为偶函数，所以，所以， 整理得：，所以. 2．（26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是奇函数，且当时，， 则当时，，可得. 3．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（    ） A．1 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义求出值，得到函数解析式，结合函数解析式求值即可. 【详解】因为是偶函数，所以即，解得：或. 又，所以，所以函数. 所以. 4．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 不等式，即， 又因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是， 故选：C. 5．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先根据，得出，再应用分段函数的解析式得出，最后应用二次函数最值求解. 【详解】因为，则当时，， 因为当时，，又因为当时，， 则， 当时，的最大值是. 故选：D. 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数和的定义域均为，函数为偶函数，则， 因为函数为奇函数，所以，可得， 因为，所以①， ，即，可得②， 联立①②可得，，故. 故选：B. 7．（25-26高一上·山东临沂·期末）已知定义在上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 【答案】B 【详解】对A：令，则有，故，故A正确； 对B：令，，则有，故，故B错误； 对C：令，则有，其中，， 令，，即有对、，当时，恒成立， 即函数为减函数，故C正确； 对D：令，则有，又， 故，故函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：B. 8．（专题18函数的综合应用（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知函数的定义域是，对任意的，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数图象关于点中心对称， 知函数图象关于点中心对称，所以为奇函数. 令，则，所以为偶函数， 对于，有， 所以在上单调递增， 则在上单调递减. 由，得，， 当时，变形为，即，解得； 当时，变形为，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题 9．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故A正确； 对于B，的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故D正确． 10．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调增区间为 【答案】ABC 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 当时，由奇函数得：，故B正确； 当时，由， 因为，所以解得， 当时，由， 显然此时无解，综上可得不等式的解集为，故C正确； 当时，由二次函数的递增区间可得， 当时，由的递增区间可得， 故函数的单调增区间为，故D错误； 故选：ABC． 11．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的单调递增区间为和 C．当时， D．的解集为 【答案】BCD 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，可得，故A错误； 对于C，当时， ，设，则，， 又，所以时，，故C正确； 对于D，由时， ，可得， 又和在递增，可得在递增， 由奇函数的图象关于原点对称，可得在递增，且， 所以等价为 或 ， 解得或，故D正确； 对于B，因为在和上递增，且， 由的图象可看做的图象位于x轴上方的图象不变， 将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到， 所以的递增区间为，，故B正确. 故选：BCD. 12．（25-26高一上·江苏苏州·期中）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 【答案】BCD 【详解】因为，且定义域为，所以函数是奇函数，故A错误，B正确； 当时，， 此时在时单调递增，所以， 当时，， 当时，由奇函数的对称性可知，此时， 综上可得：函数的值域为，故C正确； 当时，， 此时在时单调递增，根据奇函数对称性可知， 在时也单调递增，由于函数的定义域为，且， 所以函数在上是增函数，故D正确； 故选：BCD 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】CD 【详解】对于A，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故A错误； 对于B，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数的图象关于成中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，所以， 即，所以，故函数的一个周期为4， 因为，，，， 所以， 所以，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 14．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数是定义在上的奇函数，且当，，则时，__________. 【答案】 【分析】当时，，所以可写出的解析式.因为函数是定义在上的奇函数，所以可以通过求得. 【详解】当时，，所以. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 故答案为：. 15．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递增．则函数在上单调递___________（增、减），不等式的解集为___________． 【答案】 减 【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 在上单调递减， 又，所以或时，，时，， 不等式， ，或， ，或， 解得，或， 即不等式的解集为． 故答案为：减； 16．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则_________. 【答案】 【详解】由为奇函数可得. 令得，令得，令得. 为偶函数可得，令得， 因此， 所以，解得. 又，故，得， 故时，， 因此， 所以. 故答案为： 17．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知定义在上的偶函数与奇函数满足．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由定义在上的偶函数与奇函数满足， 可得，即， 联立方程组，解得， 由不等式，可得， 即，转化为， 设，则函数为单调递增函数，可得， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 18．（专题17 分段函数（十一类重难点题型类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知定义在上的奇函数，当时，.    (1)作出的函数图像； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 令，则，解得； 当，则，所以 ； 所以函数； 作出函数的图像如下图所示：    （2）由（1）知，的单调递减区间为，， 因为在上单调递减，所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·江苏常州·期末）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若函数，求函数的最小值； (3)已知是函数的最小值，若，解不等式. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，且当时，， 所以当时，，， 所以. （2）函数， 当时，即，在递增，可得； 当时，即，； 当时，即时，在递减，可得. 综上的最小值. （3）由题易知， 整理不等式可得， 当时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上所述：①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为. 20．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且满足，当时，，且. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数满足，且，可得， 又因为当时，，可得，解得. (2) 在上为单调递增. 证明：由函数， 任取，且， 则， 因为，且，可得且， 所以，即， 所以函数在上为单调递增. （3）由（1）知，函数的定义域为，且， 即，所以函数为上的奇函数，且， 所以函数在上为单调递增函数， 又由不等式，即， 所以，解得，解得， 所以实数的取值范围为. 21．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， (1)若，其中． （i）求，的解析式； （ii）若对于任意，都有，求实数a的取值范围. (2)若函数在上单调递减，求不等式的解集. 【详解】（1）（i）因，则， 因是奇函数，是偶函数，则， 则，得，； （ii），即， 令，则在上单调递增， 当时，在上单调递增，符合题意； 当时， 开口向上，且对称轴，显然在上单调递增，所以； 当时，开口向下，且对称轴，则由题意，得， 又，所以； 综上，故实数a的取值范围为； （2），则 ， 又定义域为R，关于原点对称，则是偶函数， 因在上单调递减，则在上单调递增， 等价于，即， 则，即或，得或， 故不等式的解集为. 22．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知函数，，且. (1)判断函数的奇偶性； (2)若为奇函数，且对于任意的，都存在满足，求的取值范围； (3)若函数与在区间上单调性一致（同时递增或同时递减），求的最大值. 【详解】（1）若，则，定义域为，关于原点对称，且，故此时为奇函数； 若，则的定义域为，因为，故定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数. （2）由（1）可知，若为奇函数，则，即.易知在上，的值域为 对于任意的，都存在满足， 等价于函数在区间上的值域是函数在区间上的值域的子集， 即是在区间上值域的子集. 若，则，其对称轴为. ①若，即时，则在上的最小值为， 故值域为，依题意是的子集，故，解得； ②若，即时，则在上的最小值为， 故值域为，依题意是的子集，故，得或，又因为，故得. 综上所述，. （3）对于， 当时，的对称轴为，当时，的对称轴为. 当时，，此时在上单调递增，不成立； 当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，所以，则， 所以，当时，等号成立，此时. 易知在与上单调递减，此时在和上单调递减， 故在上单调递减，由上分析，当时，在上单调递减，此时在上单调递减，满足题意. 故的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲： 函数的奇偶性 题型一：函数奇偶函数的判断 2 题型二：利用奇偶性求函数的解析式 3 题型三：奇偶数求参数问题 3 题型四：奇偶性求解不等式问题 3 题型五：奇偶性的对称问题 4 题型六：函数的奇偶性综合问题 4 知识点一：函数奇偶性的几何特征 一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 知识点二：函数奇偶性的定义 1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 知识点三：奇(偶)函数的定义域特征 奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 知识点点四：用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点点五：奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 题型一：函数奇偶函数的判断 【例1】．（26-27高一上·全国）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 【变式2】．（专题14函数的奇偶性（八类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 题型二：利用奇偶性求函数的解析式 【例2】．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，_______． 【变式1】．（26-27高三上·山东·期中）设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________. 【变式2】．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 题型三：奇偶数求参数问题 【例3】．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数是上的偶函数，则的值为______． 【变式1】．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 【变式2】．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为________． 题型四：奇偶性求解不等式问题 【例4】．（26-27高一上·天津南开·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高一上·广西河池·阶段检测）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型五：奇偶性的对称问题 【例5】．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·河南·期中）已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型六：函数的奇偶性综合问题 【例6】．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数． (1)若为偶函数，求的值； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，记的最大值为，最小值为，当时，设函数．求的最小值． 【变式1】．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于实数的不等式. 【变式2】．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设，若对任意的，对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（    ） A．1 B．5 C．9 D．10 4．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东临沂·期末）已知定义在上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 8．（专题18函数的综合应用（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知函数的定义域是，对任意的，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调增区间为 11．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的单调递增区间为和 C．当时， D．的解集为 12．（25-26高一上·江苏苏州·期中）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点中心对称 D． 三、填空题 14．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数是定义在上的奇函数，且当，，则时，__________. 15．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递增．则函数在上单调递___________（增、减），不等式的解集为___________． 16．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则_________. 17．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知定义在上的偶函数与奇函数满足．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题 18．（专题17 分段函数（十一类重难点题型类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知定义在上的奇函数，当时，.    (1)作出的函数图像； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·江苏常州·期末）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若函数，求函数的最小值； (3)已知是函数的最小值，若，解不等式. 20．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且满足，当时，，且. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 21．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， (1)若，其中． （i）求，的解析式； （ii）若对于任意，都有，求实数a的取值范围. (2)若函数在上单调递减，求不等式的解集. 22．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知函数，，且. (1)判断函数的奇偶性； (2)若为奇函数，且对于任意的，都存在满足，求的取值范围； (3)若函数与在区间上单调性一致（同时递增或同时递减），求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $