第5章 函数的概念与性质（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学单元复习讲义以函数概念为核心，按“概念-性质-应用”逻辑构建知识体系，通过表格对比奇偶性定义与图象特点，框架图梳理单调性判定方法，系统呈现定义域、值域、对应关系三要素及单调性、奇偶性的内在联系，突出抽象函数定义域、单调性证明等重难点。 讲义练习设计分层递进，涵盖12类题型，如“用定义证明函数单调性”“利用奇偶性求解析式”，通过典例+变式强化逻辑推理与数学运算素养。方法技巧如“同增异减”口诀辅助复合函数单调性判断，帮助基础学生掌握通法，优秀学生深化综合应用，支持自主复习，助力教师实施精准教学。

第5章 函数的概念与性质 教学目标 1.理理解函数的定义，会用集合与对应关系刻画函数，能区分定义域、值域、对应关系这三要素；会判断两个函数是否为同一个函数。 2.掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法，能够根据实际情境写出函数解析式，会求函数定义域与简单函数的值域。 3.理解函数单调性、最大（小）值、奇偶性的概念，能借助图像识别单调性与奇偶性，会用定义证明简单函数的单调性，利用性质解决简单比较大小、求最值问题。 4.通过对实例抽象出函数概念的过程，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养，体会用函数模型研究变化规律的思想. 教学重难点 1.重点 掌函数的概念，函数三要素，求函数定义域、值域。 函数单调性、奇偶性的概念理解，利用图像和定义分析函数性质 2.难点 掌用集合对应语言理解函数概念，识别抽象函数的定义域。 用定义证明函数单调性；奇偶性的判定以及奇偶性和单调性综合应用. 知识点一、函数的相关概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 4、函数解析式的四种求法 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． （4）方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式 知识点二、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点三、函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点四、函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 题型01 函数概念的辨析 【典例1】给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用函数的定义依次判断即可. 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 【变式1】设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 【变式2】（多选）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合函数定义，逐项判断是否满足集合中每个元素，集合中都有唯一确定的元素与之对应即可得. 【详解】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有， 即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确； 故选：BCD. 【变式3】（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 【变式4】（多选）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 题型02 判断是否为同一个函数 【典例1】下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】分别求每个选项的两个函数的定义域和对应关系即可得正确选项. 【详解】对于A：的定义域为 ，定义域为 ， 定义域不同，所以不是同一函数，故选项A不正确； 对于B：的定义域为，的定义域为， 对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B错误； 对于C：的定义域为，的定义域为， 定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确； 对于D：的定义域为， 的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故选项D错误； 故选：C. 【变式1】下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数的三要素判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同个一函数，所以A错误； 对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. 【变式2】下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数的定义，分别逐一求解、验证定义域和对应法则是否相同，即可得到结论． 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：B 【变式3】（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 【变式4】（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【分析】根据题意结合函数相等的定义，分析函数的对应关系和定义域，进而逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 题型03 求函数的定义域 【典例1】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据偶次方根被开方数大于等于零和分母不为零的要求直接求解即可. 【详解】由于，需满足， 解得：且，. 故选：C. 【典例2】若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 【变式1】已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，然后根据抽象函数的定义域求解法列出不等式组解出即可. 【详解】若函数要有意义，则，解得， 由， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【详解】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D 【变式3】已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域直接判断各选项的定义域即可． 【详解】对于A、B、C，由题知的定义域为， ， 的定义域为， ，，的定义域均为， 故A、B、C不符合题意； 对于D ，， ，解得：， 所以函数的定义域为．故D符合题意. 故选：D. 题型04 求函数的解析式 【典例1】已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 【典例2】求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 【变式1】若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【详解】因为，且， 以代换，得，因此 【变式2】（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 【变式3】（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式： （2）已知，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2），；（3），. 【分析】（1）利用待定系数法，设，，代入后得到方程组，解出即可； （2）利用换元法设，代入计算即可； （3）令代换后与原式联立得到方程组，求解即得. 【详解】（1）依题意，设，， 则， 即，则，解得， 则. （2）设，，则， 则，， 故，. （3）因，用代换，可得； 联立，解得， 故，. 题型05 判断函数的单调性 【典例1】已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 【典例2】已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 【典例3】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【答案】在上单调递增 【分析】根据题意，利用函数单调性的定义和判断方法，即可求解. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 可得， 因为且，所以，所以，所以， 即，所以在上单调递增. 【变式1】定义．设函数，则的单调递增区间为______． 【答案】和 【分析】先由函数新定义和不等式解出分段函数的表达式，再求出单调递增区间即可. 【详解】当即时，解得， 所以， 因为二次函数的对称轴为，开口向下，所以递增区间为， 一次函数在定义域上为递增函数， 综上，的单调递增区间为. 故答案为：和. 【变式2】试讨论函数在区间上的单调性，在______上单调递减，在_______上单调递增. 【答案】 . 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ， ， ，即， 在内是减函数. ②设， 由①知， ， ， 即， 在内是增函数. 【变式3】已知函数. (1)解不等式； (2)判断该函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)函数在上是增函数.证明如下： 任取，，且， ， ，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. 【分析】（1）移项，通分再转化为一元二次不等式求解； （2）利用增函数的定义证明. 【详解】（1）不等式化为，即， 可化为，所以或， 不等式解集为. （2）略 【变式4】已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，. (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； 【答案】(1)；证明： 令，则，所以， 当时，， 因为， 所以， 因为，所以， 故当时， (2)在上单调递减；证明： 任取，且，则， 令，则， ， 由已知可知，当时，，所以， 即，所以在上单调递减； 【分析】（1）利用赋值法求得，再利用反比例函数的性质得到，结合赋值法即可证得结论； （2）利用赋值法与作差法，结合函数单调性的定义即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 题型06 根据函数的单调性求参数 【典例1】已知函数，则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】任取，且，化简得到，转化为恒成立，求得，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】任取，且， 则， 若函数在上单调递增，则恒成立， 因为，可得，则，即恒成立， 又因为且，可得，则，所以， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B. 【典例2】若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 【变式1】形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】易知函数在区间和上单调递减，在和上单调递增， 从而当函数在上单调递减时，，则，得， 当函数在上单调递增时，，则，得， 综上，a的取值范围为． 【变式2】在和上递增，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】分类讨论去绝对值，函数分为两部分；在二次式两根外侧，是一次函数；在两根之间，是开口向上的二次函数，分析可得一次函数递增得，落在负根外侧，包含两根之间及正根外侧两部分区间，对称轴需满足以保证区间内函数递增，列式解答，即可得到答案. 【详解】令，原函数可改写为：， 当，即时，， 当，即时，， 二次函数的判别式，所以恒有两个零点， 设为，由韦达定理可得，说明两个零点一正一负：， 所以的解集为，的解集为； 当或时，是一次函数，在和上递增， 所以一次项系数必须满足； 当时，是开口向上的抛物线，对称轴，， 为保证函数在区间上单调递增，需二次函数对称轴，解得， 为保证函数在区间上单调递增，需， 当时，，满足， 综上可得， 故实数的取值范围是. 【变式3】设函数，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数． 【答案】 【分析】设，由题意可得或在上恒成立，即或在上恒成立，求出的取值范围即可得答案. 【详解】解：设， 则 ， 因为，即， 要使函数在区间上是单调函数， 则或在上恒成立， 即或在上恒成立， 即或在上恒成立， 又因为，，， 所以， 所以当，或时，单调． 故a的取值范围为． 【变式4】已知函数. (1)当时，求出的解析式并用定义证明在为单调递减； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用换元法求出解析式，再利用定义证明函数单调性即可； （2）对用分离常数法化简，再利用换元法求出解析式，根据图象变换及单调性列出不等式即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，则，， 所以， ，且， ， ， ，即， 所以在为单调递减. （2）因为， 令，，则，则， 所以，， 又在上单调递增，，， 所以的取值范围为. 题型07 求函数的最值/值域 【典例1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为.． 【典例2】设定义在上的函数，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】令，，分析的单调性，即可求得的最小值，即的最小值. 【详解】令，. 设， . 因为，所以，所以，所以，即. 所以在上单调递增，所以． 故答案为：. 【变式1】已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【详解】令，整理得一元二次方程，解得或. 当或时，，因此； 当时，，因此. 求分段函数的最大值： 时，； 时，是递减函数，； 时，是递增函数，. 综上，当时的最大值为3. 【变式2】设是定义在上的单调函数，且，则函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意存在，使得，再令即可解出，然后利用函数单调性即可求出值域. 【详解】依题意，存在唯一的常数，使得， 且对恒成立． 令，则，即，又，得， 所以， 因为均在上单调递减， 所以在上单调递减，因为， 故在区间上的值域为． 故选：B 【变式3】已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 题型08 判断函数的奇偶性 【典例1】设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数． 【典例2】已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性定义和对称性进行判断即可. 【详解】，所以的图像关于直线对称， 设，则是将的图像向左平移1个单位长度得到的， 因为的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称， 所以为偶函数． 因为，记， 因，而 即且，故为非奇非偶函数，即C、D错误. 故选：B. 【变式1】已知函数的定义域为，则“，，当时，都有”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先验证题设条件能否推出是奇函数判断充分性，再举反例验证奇函数是否一定满足题设条件判断必要性，最终确定条件类型. 【详解】已知，当时，都有， 当时，可得，因此. 对任意，令，，可得，即. 记，由分母不为零可知，因此. 此时，满足奇函数定义，充分性成立； 若是奇函数，取反例，其定义域为且满足是奇函数， 取，，则，而，二者不相等，不满足题设条件，故必要性不成立. 综上所述，“，当时，都有”是“是奇函数”的充分不必要条件 【变式2】定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 【变式3】如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，不是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用奇函数定义分别判断各个选项即可. 【详解】是奇函数，． 对于是奇函数． 对于，是奇函数． 对于不是奇函数． 对于是奇函数． 故选: C． 【变式4】函数的奇偶性为__________．（选填：偶函数；奇函数；非奇非偶函数） 【答案】奇函数 【分析】利用奇偶函数的定义判断即可. 【详解】设，则，解得：， 所以函数的定义域为， 所以 ， 则函数的奇偶性为奇函数； 故答案为：奇函数 题型09 利用奇偶性求值或求参 【典例1】““是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由为奇函数得到，再判断函数的定义域是否关于原点对称，从而得到函数为奇函数的充要条件，即可得是函数为奇函数的充分不必要条件. 【详解】若为奇函数，则， 即，整理得， 即，解得. 当时，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数； 当时，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数. 所以函数为奇函数的充要条件是或. 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A.． 【典例2】若函数是奇函数，则实数______． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义，结合时的解析式求得时的解析式，再对比得关于的方程，解方程求得，最后检验满足奇函数定义即可. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 因为，当时，，， 所以，即，解得，此时， 当时，，所以，符合题意． 所以． 【变式1】若函数为偶函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数特征和分子为偶函数，得到分母也为偶函数，时满足要求，结合，求出答案. 【详解】因为为偶函数，且为偶函数， 所以为偶函数，若，则满足要求， 若，则，此时不是偶函数，不合要求， 所以.所以，又，所以. 故选：A. 【变式2】已知函数是偶函数，其中，，则的最大值是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义推得，代入消元后，利用二次函数的单调性求其最大值即可. 【详解】因函数是偶函数， 则，整理得， 因不恒为0，则，即， 则. 故当 时，的最大值是. 故选：B. 【变式3】已知定义域为的奇函数，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据为奇函数求出的值，则的值可求. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，所以，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式4】能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【答案】 1 0 1 【分析】根据奇函数的定义得出即可求解． 【详解】因为是上奇函数，所以， 当时，，， 则， 由得， 所以满足的即为奇函数， 所以可取． 题型10 利用函数奇偶性求解析式 【典例1】已知是定义在上的奇函数，当时，，那么时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是定义在上的奇函数，得，又时，，进而求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，，所以， 所以， 故选：C. 【典例2】已知､分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________. 【答案】 【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意､分别是定义在R上的偶函数和奇函数， ， ， 即. 故答案为： 【变式1】已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由是定义在上的奇函数得到.由当时，得到当时的表达式，从而求出，即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，， 所以当时，，所以，故. 故选：C. 【变式2】已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 【变式3】已知函数为偶函数，为奇函数，且.求及的表达式. 【答案】， 【分析】根据奇偶函数性质得到方程组，解出即可. 【详解】因为函数为偶函数，为奇函数， 且①， 所以， 即②， ①②联立可得， 【变式4】设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且. （1）求与的解析式； （2）求的值. 【答案】（1）, （2）3 【分析】（1）由奇偶性定义变形后结合已知可求得． （2）计算，易得所求结论． 【详解】解：（1）  ①    是偶函数，是奇函数        ② ①②得 进而    (2) 即 题型11 利用单调性和奇偶性解不等式 【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且时，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在上单调递减，再由函数为奇函数，可得在上单调递减，，由此可求出和的解集，从而可求得结果. 【详解】因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立， 所以在上单调递减， 因为是定义在上的奇函数， 所以在上单调递减， 因为，所以， 所以当或时，；当或时，， 由，得， 所以当或时，， 所以不等式的解集为. 故选：A 【典例2】已知函数是定义域上的奇函数. (1)求函数的解析式，并用定义证明在区间上是减函数； (2)解不等式. 【答案】(1). 证明：任取，且，即 ， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以在区间上是减函数. (2). 【分析】（1）根据奇函数的定义，代入可求得b值，根据定义法证明单调性的步骤，取值、作差、变形、定号、结论，即可得证. （2）由（1）可得在是减函数，且为奇函数，则条件可化为，列式求解，即可得答案. 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则， 即，解得， 所以. 单调性证明略. （2）由（1）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得， 所以解得， 所以不等式的解集为. 【变式1】已知定义域为的函数为奇函数，对任意的 ,,，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把要求解不等式,化为,利用函数的单调性，即可解得不等式. 【详解】设,由为奇函数可知为偶函数 因为任意的,,，都有 所以时,单调递减,由对称性可知在上单调递增． 因为，所以 若,则化为,即,由单调性可知． 若，则化为，即，由单调性可得． 综上,． 故选:C 【变式2】已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 【变式3】设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，判断出的奇偶性、单调性，由此求得不等式的解集. 【详解】设，由于是定义在上的奇函数， 所以，所以是定义在上的偶函数. 任取，，则： ，， 所以在上递增，则在上递减. ，， 对于不等式， 当时，有，即； 当时，由，即， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A 【变式4】已知是定义在上的函数，若满足且． (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)求使成立的实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，任取， 所以 因为，所以，， 所以，所以函数在上单调递增； (3) 【分析】（1）根据题意可分析出在上为奇函数，将，，分别代入即可求得解析式； （2）根据解析式结合单调性定义：取值，作差，变形，定号，结论，即可得出结果； （3）根据奇偶性和单调性以及定义域列出不等式解出即可. 【详解】（1）解：因为，且，所以为奇函数， 将代入可得， 即，所以，即， 因为，所以， 代入可得，解得， 故； （2）略 （3）因为为奇函数，且在上单调递增， 所以，即， 根据单调性及定义域可得：， 解得：，即. 题型12 抽象函数的单调性与奇偶性的综合应用 【典例1】已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，，则下列说法错误的是（     ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】通过特殊值法，可判断AB选项，根据函数单调性定义即可判断C选项，根据函数单调性和抽象函数性质，即可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，因此，则，故A选项正确； 对于B选项，令，则，且定义域关于原点对称，故B选项正确； 对于C选项，设，则， 则，，所以， 由题意得，，即， 故函数单调递减，则C选项错误； 对于D选项，根据定义域要求，，解得， 对于原不等式， 因为函数为奇函数且单调递减，故，解得， 故D选项正确； 【典例2】已知函数的定义域为，对任意，，都有，且当时，，. (1)判断的奇偶性. (2)证明：在上单调递增. (3)求在上的值域. 【答案】(1)为奇函数. (2) 令，则. 因为当时，，所以， 所以，， 故在上单调递增. (3) 【分析】（1）应用奇函数定义结合赋值法证明即可； （2）应用单调性定义证明即可； （3）应用函数单调性结合赋值法计算得出最值进而得出值域. 【详解】（1）因为， 令，得. 令，，得，所以， 所以为奇函数； （2）略 （3）因为在上单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为. 因为，所以 ， 所以， 故在上的值域为. 【变式1】已知定义在区间（为大于1的常数）上的函数满足：当时，，且,，，则下列结论错误的是（     ） A． B．为奇函数 C．在区间上为增函数 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】赋值法求，赋值证奇偶性，作差结合条件判断单调性，分两类解乘积型不等式，逐项判定对错． 【详解】解：在中，令，得， 即， ，故选项A正确． 令，得， ， 为奇函数，故选项B正确． 设，，且，则，，且，， ， ，在区间上是减函数．由于为奇函数， 在区间上也是减函数． 又， 在区间上为减函数，故选项C错误． 由题意，画出的大致图象如下图所示． 等价于或 由图可知，不等式的解集为，故选项D正确． 【变式2】已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 【答案】(1) (2)当时，． 即，由于对于任意实数，，有， 则，即有时，． 设，则，， 则由， 得，即． 故在定义域上是单调递增函数． 【分析】（1）利用赋值法即可求得答案； （2）先由题意推出时，．继而设，可得，，则由，推出，即可证明结论. 【详解】（1）由于对于任意实数，有， 令，则，即， 再令，则， 由于，则； （2）略 【变式3】已知函数定义在实数集上，且对任意均有，又对任意的，都有． (1)判断函数的奇偶性． (2)证明函数在上为单调减函数． (3)试求函数在，且上的值域． 【答案】(1)奇函数 (2)证明：对任意的，都有，令，则， 因为，可得，所以， 所以函数在上为单调减函数． (3) 【分析】（1）根据题意，分别令和，结合函数奇偶性的定义与判断方法，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义与判定方法，即可得证； （3）根据题意，化简求得，得到，进而求得且，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：令，所以，所以， 令，由，可得， 所以，所以函数是奇函数． （2）略 （3）解：由，知．且在上单调递减，所以， 由，有 可知， 所以，可得， 所以且， 所以，即函数的值域为. 【变式4】已知函数对任意实数，恒有，且当，，又. （1）判断的奇偶性； （2）求在区间上的最大值； （3）是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在求出；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）奇函数；（2）6；（3）存在， 【分析】（1）先求得，然后求得，由此判断出为奇函数. （2）判断出的单调性，由此求得在区间上的最大值. （3）根据的单调性和奇偶性化简不等式，根据一元二次不等式恒成立的条件列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，函数对任意实数，恒有. 令，得，解得. 令，得，即，故函数为奇函数. （2）任取，即，即，所以在上递减.所以在区间上的最大值为. （3）由（1）（2）知是在上递减的奇函数，故由得，即，即，对对一切都成立，所以，即，解得. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质建立不等式，进而求解定义域即可. 【详解】因为函数有意义，所以，解得. 故选：D. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 3.设函数的定义域为R，对于任意的，，且，则“”是“是增函数”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合函数单调性的定义，即可判断选项. 【详解】若，则，则当时，，所以单调递增， 反过来，若函数单调递增，则当时，，即，但不能推出， 所以“”是“是增函数”的充分不必要条件. 故选：B 4．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 5.（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．当时， 【答案】AD 【分析】先根据偶函数定义判定A正确，再将绝对值函数分段讨论单调性，得出先减后增否定B，解绝对值不等式得到解集否定C，利用上函数单调递增，结合时证明D正确． 【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，A正确； 对于B， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上是先减后增，B错误； 对于C，由，得，解得，C错误； 对于D，当时，，， 因为在上单调递增，且， 所以，D正确． 6．已知函数是奇函数，则__________． 【答案】 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】的定义域为，又函数是奇函数， 的定义域关于原点对称，， ，，， 是奇函数，故. 故答案为：. 7．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 8．若函数是定义在上的奇函数. (1)求函数的解析式； (2)用定义证明：函数在上是递减函数； (3)若，求实数t的范围. 【答案】(1) (2) 设， 则， 因为，所以， 所以，即， 则函数在上是递减函数 (3) 【分析】（1）根据题意得，进而解方程得，再检验满足奇函数性质即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据奇偶性得，再根据函数单调性解即可. 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 又因为，所以解得， 当时，， 经检验，此时满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以，所求函数的解析式为 （2）略 （3）解：因为，即， 又因为由（2）知函数在上是递减函数， 所以，即，解得:， 所以，所求实数的范围为 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域求解的定义域，再结合函数求解定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 所以的定义域为，又，则， 所以，因此函数的定义域为， 故选：C． 2．已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 3.已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 4.（多选）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】根据题设条件可得在上的单调性，结合其奇偶性可求不等式的解，从而可得正确的选项. 【详解】令，由题意知在上为减函数． 因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以为上的奇函数． 又在上为减函数，，所以为上的减函数． ①当 时，即， 所以，所以，所以，解得； ②当 时，即， 所以，所以，所以，解得． 综上，或． 5.对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】依题意的图象上存在点关于原点对称，设函数的图象与函数的图象关于原点对称，求出的解析式，则问题转化为方程，有解，参变分离结合基本不等式的性质计算可得. 【详解】依题意函数的图象上存在点关于原点对称， 设函数的图象与函数的图象关于原点对称， 设，则，， 所以， 函数存在“隐对称点”，即方程，有解； 得，， 利用基本不等式， 当且仅当时，等号成立，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 6．已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】设，即可判断为偶函数且在上单调递增，不等式即，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】设， 由且，， 得，所以在上单调递增． 因为为奇函数，所以， 所以，即为偶函数． 因为，所以， 所以不等式，即， 所以． 又因为在上单调递增，所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 7．已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明函数是奇函数； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明： 取，则， 又函数的定义域为，关于原点对称， 则是奇函数 (3) 【分析】（1）取，可求出和的值； （2）利用奇函数的定义证明； （3）先根据函数单调性的定义证明其是减函数，然后结合单调性推出，转化成，然后求不等式右边最小值即可. 【详解】（1）取可知，，则； 取，则 （2）略； （3）先证明函数是减函数，， ， 由题知时，，则，则， 故在上单调递减， ，结合， 则， 即，于是， 由，则， 不等式转化为， 而，当取得等号， 故 8．对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数，的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. (1)写出函数的一个“保值”区间； (2)若函数存在"保值"区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“保值”区间的定义直接求解即可； （2）设"保值"区间为，根据两种情况讨论，，，根据单调性得到关于的等式，然后根据二次函数性质即可求得. 【详解】（1）设函数的一个“保值”区间为， 则令，即，解得或， 且函数在上单调递增， 则函数的一个“保值”区间可为. （2）设"保值"区间为， 若，则在上为增函数， 所以， 即为方程的两个不等实根， 设，则， 所以； 若，则在上为减函数， 所以，相减得， 代入得， 所以方程有两个不等实根， 所以有， 解得， 综上，. 9.已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： (1)判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 【答案】(1)奇函数，单调递减，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）令可得出，再令结合奇函数的定义证得函数为奇函数，设，可得出，求得，结合题干条件以及函数单调性的定义可证得结论成立； （2）将所求不等式变形为，根据函数的定义域与单调性可得出关于的不等式组，即可解得所求不等式的解集； （3）推导出，求得，利用裂项求和法以及不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1）令，则，解得； 令，则， 所以为定义在上的奇函数， 设，则，所以， 因为 ，所以，则，， 又，所以， 又当，，所以， 所以，即，所以在上是减函数. （2）由得， 因为定义域为且在上是减函数，所以， 解得，故原不等式的解集为. （3）因为， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 所以， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念与性质 教学目标 1.理理解函数的定义，会用集合与对应关系刻画函数，能区分定义域、值域、对应关系这三要素；会判断两个函数是否为同一个函数。 2.掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法，能够根据实际情境写出函数解析式，会求函数定义域与简单函数的值域。 3.理解函数单调性、最大（小）值、奇偶性的概念，能借助图像识别单调性与奇偶性，会用定义证明简单函数的单调性，利用性质解决简单比较大小、求最值问题。 4.通过对实例抽象出函数概念的过程，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养，体会用函数模型研究变化规律的思想. 教学重难点 1.重点 掌函数的概念，函数三要素，求函数定义域、值域。 函数单调性、奇偶性的概念理解，利用图像和定义分析函数性质 2.难点 掌用集合对应语言理解函数概念，识别抽象函数的定义域。 用定义证明函数单调性；奇偶性的判定以及奇偶性和单调性综合应用. 知识点一、函数的相关概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 4、函数解析式的四种求法 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． （4）方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式 知识点二、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点三、函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点四、函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 题型01 函数概念的辨析 【典例1】给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【变式2】（多选）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    题型02 判断是否为同一个函数 【典例1】下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4】（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型03 求函数的定义域 【典例1】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【典例2】若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 题型04 求函数的解析式 【典例1】已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【变式1】若函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【变式3】（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式： （2）已知，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式. 题型05 判断函数的单调性 【典例1】已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【典例2】已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【典例3】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【变式1】定义．设函数，则的单调递增区间为______． 【变式2】试讨论函数在区间上的单调性，在______上单调递减，在_______上单调递增. 【变式3】已知函数. (1)解不等式； (2)判断该函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论. 【变式4】已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，. (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； 题型06 根据函数的单调性求参数 【典例1】已知函数，则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______． 【变式2】在和上递增，则实数a的取值范围是______. 【变式3】设函数，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数． 【变式4】已知函数. (1)当时，求出的解析式并用定义证明在为单调递减； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 题型07 求函数的最值/值域 【典例1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】设定义在上的函数，则的最小值是______． 【变式1】已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【变式2】设是定义在上的单调函数，且，则函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 题型08 判断函数的奇偶性 【典例1】设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式1】已知函数的定义域为，则“，，当时，都有”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【变式3】如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，不是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】函数的奇偶性为__________．（选填：偶函数；奇函数；非奇非偶函数） 题型09 利用奇偶性求值或求参 【典例1】““是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】若函数是奇函数，则实数______． 【变式1】若函数为偶函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数是偶函数，其中，，则的最大值是（   ） A．0 B． C． D．1 【变式3】已知定义域为的奇函数，则的值为__________. 【变式4】能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 题型10 利用函数奇偶性求解析式 【典例1】已知是定义在上的奇函数，当时，，那么时，（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知､分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________. 【变式1】已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【变式2】已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【变式3】已知函数为偶函数，为奇函数，且.求及的表达式. 【变式4】设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且. （1）求与的解析式； （2）求的值. 题型11 利用单调性和奇偶性解不等式 【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且时，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数是定义域上的奇函数. (1)求函数的解析式，并用定义证明在区间上是减函数； (2)解不等式. 【变式1】已知定义域为的函数为奇函数，对任意的 ,,，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知是定义在上的函数，若满足且． (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)求使成立的实数t的取值范围． 题型12 抽象函数的单调性与奇偶性的综合应用 【典例1】已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，，则下列说法错误的是（     ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【典例2】已知函数的定义域为，对任意，，都有，且当时，，. (1)判断的奇偶性. (2)证明：在上单调递增. (3)求在上的值域. 【变式1】已知定义在区间（为大于1的常数）上的函数满足：当时，，且,，，则下列结论错误的是（     ） A． B．为奇函数 C．在区间上为增函数 D．不等式的解集是 【变式2】已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 【变式3】已知函数定义在实数集上，且对任意均有，又对任意的，都有． (1)判断函数的奇偶性． (2)证明函数在上为单调减函数． (3)试求函数在，且上的值域． 【变式4】已知函数对任意实数，恒有，且当，，又. （1）判断的奇偶性； （2）求在区间上的最大值； （3）是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在求出；若不存在，请说明理由. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3.设函数的定义域为R，对于任意的，，且，则“”是“是增函数”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．当时， 6．已知函数是奇函数，则__________． 7．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 8．若函数是定义在上的奇函数. (1)求函数的解析式； (2)用定义证明：函数在上是递减函数； (3)若，求实数t的范围. 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3.已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 4.（多选）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 5.对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是___________. 6．已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 7．已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明函数是奇函数； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 8．对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数，的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. (1)写出函数的一个“保值”区间； (2)若函数存在"保值"区间，求实数的取值范围. 9.已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： (1)判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $