第1讲：集合的概念与表示【八大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版必修第一册）

本讲义聚焦集合的概念与表示核心知识点，从元素与集合的定义切入，通过元素确定性、互异性、无序性三大特性夯实基础，衔接元素与集合的关系、常见数集符号，再到列举法、描述法两种表示方法，最后引入空集，构建完整的知识学习支架。 该资料题型设计覆盖全面，从基础的集合定义判断到综合的参数问题、新定义问题，例题与变式题结合。通过新定义问题培养学生用数学眼光发现问题，参数问题锻炼逻辑推理的数学思维，描述法表示集合提升数学语言表达能力。课中助力教师系统授课，课后学生可通过练习题查漏补缺，巩固知识。

第1讲：集合的概念与表示 题型一：集合的定义 2 题型二：常见数集关系问题 2 题型三：集合的参数问题 3 题型四：列举法表示集合 3 题型五：用描述法表示集合 4 题型六：同一集合的判断 4 题型七：空集问题 5 题型八：集合的新定义问题 5 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 知识点二：. 集合中元素的三大特性（高频考点） 确定性：给定集合，任一对象要么属于它，要么不属于它，二者必居其一。 互异性：集合中的元素互不相同，同一个元素只写一次。 含参集合求值题，求出参数后一定要检验互异性！ 无序性：集合里元素没有顺序， 知识点三：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1） 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 1. 列举法 （2） 描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 知识点五：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 题型一：集合的定义 【例1】．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【变式1】．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】．（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 题型二：常见数集关系问题 【例2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（ ） A． B． C． D． 题型三：集合的参数问题 【例3】．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，则实数的值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．3或1 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. 【变式2】．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 题型四：列举法表示集合 【例4】．（第01讲集合的概念与表示（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【变式1】．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 【变式2】．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 题型五：用描述法表示集合 【例5】．（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有正因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【变式2】．（1.1.1集合及其表示方法（第2课时）课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 题型六：同一集合的判断 【例6】．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段检测）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型七：空集问题 【例7】．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合为空集，则实数的取值范围是___________ 【变式1】．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的方程的解集是空集，______________． 【变式2】．（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 题型八：集合的新定义问题 【例8】．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【变式1】．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【变式2】．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．集合中不能只有一个元素 B．3和可以是一个集合中的元素 C．集合可以表示为所有整数组成的集合 D．2.1是整数集中的元素 2．（第01讲集合的概念与表示（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 3．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 4．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 5．（26-27高一上·山东聊城·开学考试）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 二、多选题 8．（26-27高一上·山西运城·开学考试）下列说法正确的是（    ） A． B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 9．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 10．（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 三、填空题 11．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）用列举法表示集合______________________． 12．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 13．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）已知一个五边形的边长均为正整数，随机选取其中四条边，记所选四条边的长度之和为.若的所有取值组成的集合为，则这个五边形的边长分别是__________.（列出即可，无需排序） 四、解答题 14．（26-27高一上·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数组成的集合； (2)方程的解集； (3)不等式的解的集合； (4)二次函数图象上的所有点组成的集合． 15．（暑假预习专题第2讲集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 16．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲：集合的概念与表示 题型一：集合的定义 2 题型二：常见数集关系问题 3 题型三：集合的参数问题 4 题型四：列举法表示集合 5 题型五：用描述法表示集合 6 题型六：同一集合的判断 8 题型七：空集问题 9 题型八：集合的新定义问题 10 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 知识点二：. 集合中元素的三大特性（高频考点） 确定性：给定集合，任一对象要么属于它，要么不属于它，二者必居其一。 互异性：集合中的元素互不相同，同一个元素只写一次。 含参集合求值题，求出参数后一定要检验互异性！ 无序性：集合里元素没有顺序， 知识点三：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1） 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 1. 列举法 （2） 描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 知识点五：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 题型一：集合的定义 【例1】．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 【变式1】．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 【变式2】．（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. 题型二：常见数集关系问题 【例2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由于，，，，故②错误，①③④正确. 【变式1】．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①：是实数，是实数集，所以，①正确； 对于②：是整数，是整数集，所以，②正确； 对于③：是负整数，是正整数集，所以，③正确； 对于④：是无理数，是有理数集，所以，④错误. 故选：C. 【变式2】．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于①：，所以①错误；对于②：，所以②错误； 对于③：因为是无理数，即，所以③错误；对于④：因为，所以④正确； 综上所述：错误的个数是3. 故选：C. 题型三：集合的参数问题 【例3】．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，则实数的值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．3或1 【答案】C 【详解】由题意可知或，解得，或. 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足互异性，所以. 故选：C. 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 【变式2】．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 【答案】 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 题型四：列举法表示集合 【例4】．（第01讲集合的概念与表示（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 【变式1】．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，，元素无穷，. （2）大于2且小于15的质数有，. （3），为整数，得，. 【变式2】．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 题型五：用描述法表示集合 【例5】．（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有正因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1)(2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 【变式2】．（1.1.1集合及其表示方法（第2课时）课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法来表示集合. 【详解】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 题型六：同一集合的判断 【例6】．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 【变式1】．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 【变式2】．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段检测）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 题型七：空集问题 【例7】．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合为空集，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据集合为空集，由方程无解得解. 【详解】由可得， 当，即时，方程无解，即为空集. 故答案为： 【变式1】．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的方程的解集是空集，______________． 【答案】/0.5 【分析】化简方程，分类讨论解方程即可求解． 【详解】由方程整理得， 当，即时，方程可化为，解集为空集，符合题意； 当，即时，由得且， 解得且，因为方程的解集为空集，故即． 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【答案】(1) (2)或. （2）根据a分类讨论，从而解决问题． 【详解】（1）当时，集合，因为A是空集，所以且， 所以，所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素，当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素，所以且，所以， 综上所述，或. 题型八：集合的新定义问题 【例8】．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1) 证明：若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； (2) 证明：假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合，， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 【变式1】．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 【变式2】．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【详解】（1） ，当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. (3)假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．集合中不能只有一个元素 B．3和可以是一个集合中的元素 C．集合可以表示为所有整数组成的集合 D．2.1是整数集中的元素 【答案】B 【详解】对于A：集合中可以只有一个元素，故A错误． 对于B：集合中可以同时包含多种类型的元素，3和可以是一个集合中的元素，故B正确． 对于C：通常约定用大写拉丁字母表示集合，小写字母一般表示集合中的元素，集合不可以表示为所有整数组成的集合，所有整数组成的集合用表示，故C错误． 对于D：2.1不为整数，2.1不是整数集中的元素故D错误． 2．（第01讲集合的概念与表示（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 3．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 【答案】B 【分析】对原方程进行变形，判断方程有解时代数式是奇数还是偶数，根据指数运算，判断有多少种情况. 【详解】由题可得，变形为，得， 令，则，， 因为，所以为偶数，则为奇数，与一奇一偶， 由得， 可得， 当为奇数，则，，此时为偶数，有2027种情况； 当为偶数，则，，此时为奇数，有2027种情况； 所以共有4054种情况，即集合的元素个数为4054. 4．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 5．（26-27高一上·山东聊城·开学考试）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 6．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 7．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 二、多选题 8．（26-27高一上·山西运城·开学考试）下列说法正确的是（    ） A． B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 【答案】AD 【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合，所以A正确； 对于B，空集是没有任何元素的集合，集合是含有元素的单元素集合， 所以与不是同一个集合，所以B错误； 对于C，集合，集合， 所以集合与集合不是同一个集合，所以C错误； 对于D，由方程组，解得，所以集合可以表示为，所以D正确. 9．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 10．（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案. 【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 三、填空题 11．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）用列举法表示集合______________________． 【答案】 【详解】已知， 因为， 所以， 故必须为整数，否则为分数，不可能是正整数， 因此是6的约数，即的可能取值为1，2，3，6， 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 综上，符合条件的y的取值为1和5，故该集合为． 12．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 13．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）已知一个五边形的边长均为正整数，随机选取其中四条边，记所选四条边的长度之和为.若的所有取值组成的集合为，则这个五边形的边长分别是__________.（列出即可，无需排序） 【答案】14，15，16，16，17 【分析】分析可知有两条边长度相等，且5个和值的总和必为4的倍数，进而可得相等的和值为62，即可得结果. 【详解】设这个五边形的边长分别为，，，，，任取其中四条边求长度之和共可得5个和值， 但集合中只有4个元素，所以必有两个和值相等，可知有两条边长度相等. 5个和值的总和为，必为4的倍数. 因为， 又因为，，，， 只有为4的倍数，所以相等的和值为62. 所以，. 由，，，， 可得这个五边形的边长分别是14，15，16，16，17. 四、解答题 14．（26-27高一上·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数组成的集合； (2)方程的解集； (3)不等式的解的集合； (4)二次函数图象上的所有点组成的集合． 【答案】(1){8} (2) (3) (4) 【详解】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为{8}． （2）方程可化为：， 所以，所以方程的解集为． （3）由，得.故不等式的解集为． （4）“二次函数的图象上的所有点”用描述法可表示为． 15．（暑假预习专题第2讲集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 【答案】(1)任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． (2)，且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素. (3)不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合. （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是． 16．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 17．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 【答案】(1)是； 【详解】（1）， 又， 满足 集合是“和积平衡集”； (2)以为根的一个一元二次方程可为， 是两个不同的正数，且是“和积平衡集”， ， 又和为的两个不同的正根， ， 又，则， 若都小于等于2，则，矛盾， 所以至少有一个大于2； （3）设中的，且， 由， 当时，由， 而且都为正整数，明显等式不可能成立， 所以，故， 所以， 当时，，所以只能有， 由，得，此时的“和积平衡集”为， 当时， 又，即， 即，与矛盾，所以不满足条件， 所以符合条件的“和积平衡集”有且只有，此时的“和积平衡集”为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $