精品解析：天津市民族中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026—2027民族中学10月阶段调研卷（数学） 一.单选题（每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、幂函数的单调性将问题转化，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：因为在上单调递增，由得到，由在定义域上单调递增，又，即，所以； 故由能够推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立，故是的充分不必要条件； 故选：A 3. 已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性、特殊点法及排除法进行判断即可. 【详解】由函数的图象可知，函数是奇函数． 对于B：，此时为偶函数，与图象不符，故B错误； 对于C：当时，，与图象不符，故C错误； 对于D：，此时为偶函数，与图象不符，故D错误； 由排除法可知A正确， 故选：A. 4. 设，是两个不同的平面，l是一条直线，下列命题是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面间的位置关系判断． 【详解】若，，则或，AD均错； 若，，则或，B错； 对选项C，若，，则， 如图，设是平面内的任意直线，过作平面与平面交于直线， 因为，则， 又由得， 所以，而是平面内的任意直线，所以，C正确． 故选：C． 5. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，，， 因为，. 6. 化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 7. 设椭圆=的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m、n和c的关系求得n. 【详解】抛物线, ,焦点坐标为 椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同 椭圆的半焦距,即 ， ， 椭圆的标准方程为， 故选B. 本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b和c的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余. 考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质. 点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而,因而椭圆方程确定. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 9. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 二.填空题（每题5分） 10. 为虚数单位，复数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算． 【详解】， 故答案为： 11. 的展开式中常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式展开式通项公式，确定常数项对应参数值，即可求结果. 【详解】由题设，展开式通项为且， 当时，对应项是常数项，即为. 故答案为： 12. 若直线（）截圆所得的弦长为2，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的标准方程确定圆心、半径，应用直线与圆相交弦长的几何求法列方程求参数值. 【详解】由圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线（）的距离为， 又直线截该圆所得的弦长为2，故， 所以（负值舍）. 故答案为： 13. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 14. 设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________ . 【答案】 【解析】 【分析】设圆心坐标为，利用平面向量的夹角公式求得值后可得. 【详解】设圆心坐标为，则，焦点， ， ，， 由于圆与轴的正半轴相切， 则取，所求圆得圆心为，半径为1， 所求圆的方程为. 15. 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点，再结合离心率求出方程作答. 【详解】依题意，抛物线的准线为，而双曲线的焦点在x轴上， 于是双曲线的左焦点为，半焦距，而双曲线的离心率为2，由，得，因此， 所以双曲线方程为. 故答案为： 三.解答题（每题15分） 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，. （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦边角关系及已知条件求c； （2）应用余弦定理求值； （3）应用平方关系、倍角正余弦公式求得，，最后应用差角正弦公式求值. 【小问1详解】 因为且，解得； 【小问2详解】 根据（1），易得，则； 【小问3详解】 由（2）及，得， ，， 则. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，M，N分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 取中点，连接，由是的中点， 故，且，由是的中点， 故，且， 则有、，故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接NP、MP，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式求解三棱锥的高，借助余弦定理、正弦定理求解底面面积，最后代入体积公式即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、、， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为． 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有，即点到平面的距离为， 根据两点间的距离公式易得，，， 则， ，所以， 所以． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明：因为面面，面面，面，， 所以平面，平面，所以； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质证结论； （2）取的中点O，首先证平面，，再构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求二面角的余弦值； （3）根据（2）所得空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点O，因为，所以， 因为面面，面面，面， 所以平面，又，故， 以，，的正方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 因为平面的一个法向量为，则. 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 因为，且平面的法向量为， 因为，直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）最小正周期为； （2）单调增区间为（），单调减区间为（）， （3）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）应用差角正弦公式、倍角正余弦公式化简函数式，即可确定最小正周期； （2）整体法求的单调区间； （3）由题设，结合正弦函数的单调性求区间最值. 【小问1详解】 已知， . 所以的最小正周期为； 【小问2详解】 令，，则，， 所以的单调增区间为（）， 令，，则，， 所以的单调减区间为（）. 【小问3详解】 因为，则， 且在区间上单调递减，上单调递增， 而， 所以的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027民族中学10月阶段调研卷（数学） 一.单选题（每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两个不同的平面，l是一条直线，下列命题是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 设椭圆=的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为 A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 二.填空题（每题5分） 10. 为虚数单位，复数______. 11. 的展开式中常数项为______． 12. 若直线（）截圆所得的弦长为2，则______. 13. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 14. 设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________ . 15. 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为_____. 三.解答题（每题15分） 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，. （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，M，N分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求三棱锥的体积． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值； 20. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $