精品解析：天津市河北工业大学附属中学2026-2027学年高三年级上学期10月学情调研数学试题

高三年级2026—2027学年度第一学期学情调研试卷（2026年10月） 高三数学 一．单选题：本题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 11 6. 直线l过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆内一点，则过点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D. 10. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 11. 若直线：与直线：平行，则（    ） A. 4 B. C. 1或 D. 或4 12. 的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 13. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，A为C的左支上一点，与C的一条渐近线平行.若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 14. 已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（ ） A. 4 B. C. D. 二．填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 15. 化简__________． 16. 在中，，，，则__________． 17. 若直线是圆的一条对称轴，则________. 18. 过点且与圆：相切的直线方程为__________ 19. 已知抛物线，则以的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的标准方程为__________. 20. 已知椭圆的焦距为6，则的值为_________. 21. 已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为____________． 22. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______． 三．解答题： 23. 已知点，及圆． （1）求过点的圆的切线方程； （2）若过点的直线与圆相交，截得的弦长为，求直线的方程． 24. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 25. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求C的方程； （2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 26. 已知椭圆C：的焦距长为，点在C上. （1）求C的方程； （2）过点的直线与C交于A、B两点（均异于点P），若直线PA，PB的斜率都存在，分别设为，，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级2026—2027学年度第一学期学情调研试卷（2026年10月） 高三数学 一．单选题：本题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得,又因， 则. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 3. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“” 的否定是“”. 4. 已知是空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的判定判断A；利用线面垂直的性质判断BD；确定面面位置关系判断C. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得或相交，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：C 5. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 6. 直线l过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直关系得到直线l的斜率，再由直线方程的点斜式即得解 【详解】由题意，直线l与直线垂直， 故，且过点 则直线l的方程为：，即 故选：B 7. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程配方化成标准方程即得. 【详解】由配方得， 故圆的圆心坐标为. 故选：A. 8. 已知圆内一点，则过点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】圆，圆心为，半径为， ，则最短弦所在直线的斜率， 直线过，得方程，整理为. 9. 抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于 轴正半轴，由 ，可得： ，即焦点坐标为 . 本题选择B选项. 10. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 11. 若直线：与直线：平行，则（    ） A. 4 B. C. 1或 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 12. 的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 13. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，A为C的左支上一点，与C的一条渐近线平行.若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线，由平行关系求出，再结合双曲线定义及等腰三角形性质列式求出离心率. 【详解】由对称性，不妨取双曲线的渐近线，令的半焦距为c， 依题意，，则，而， 则，，解得， 所以C的离心率为. 故选：C 14. 已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 解法二：设右焦点为，连接，根据双曲线的定义和性质可得，，结合余弦定理运算求解. 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 二．填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 15. 化简__________． 【答案】 【解析】 【详解】. 16. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 17. 若直线是圆的一条对称轴，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心在直线上建立关于a的方程，解之即可求解. 【详解】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得. 故答案为：. 18. 过点且与圆：相切的直线方程为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解． 【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时， 可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得， 即此直线方程为， 故答案为：或 ． 19. 已知抛物线，则以的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标与准线方程，从而确定圆的圆心与半径，即可得圆的方程. 【详解】由题意得的焦点为，准线为， 故圆的圆心为，则半径， 则圆的标准方程为. 故答案为：. 20. 已知椭圆的焦距为6，则的值为_________. 【答案】29 【解析】 【分析】讨论椭圆焦点的位置，然后根据焦距，列等式求得即可. 【详解】因为椭圆的焦距为6，所以． 当椭圆的焦点在轴上时，因为，，所以，解得（舍去）； 当椭圆的焦点在轴上时，因为，，所以，解得． 综上所述，的值为． 故答案为：． 21. 已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结， 在中，由，得， 设，由，得， 由为直角三角形，得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为： 22. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据条件求各边的长及，再在中用余弦定理求得与的关系，即可得解． 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率， 故答案为：． 三．解答题： 23. 已知点，及圆． （1）求过点的圆的切线方程； （2）若过点的直线与圆相交，截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）或；（2）或 【解析】 【分析】（1）当直线斜率不存在时可知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，从而得到所求切线方程； （2）由（1）知直线斜率必存在，设直线方程为，根据垂径定理可知圆心到直线距离，从而构造出方程求得，进而得到所求直线方程. 【详解】（1）当直线斜率不存在时，方程为：，与圆相切； 当直线斜率存在时，设方程为：，即 圆心到直线距离，解得： 切线方程为：，即 综上所述：过的切线方程为：或 （2）由（1）知，过直线与圆相交，则直线斜率必存在 设直线方程为：，即 圆心到直线距离 又相交弦长为，圆半径为，则，即 解得：或 所求直线方程为：或 【点睛】本题考查圆的切线方程的求解、根据直线与圆相交所得弦长求解直线方程的问题；关键是能够熟练应用圆心到直线的距离构造方程求得结果，属于常考题型. 24. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理角化边，余弦定理计算； （2）使用正弦定理求解； （3）使用两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，，由正弦定理可知，，，，由余弦定理，所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理，得； 【小问3详解】 因为，所以，则为锐角，， 则，， 所以. 25. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求C的方程； （2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积. 【小问1详解】 依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 26. 已知椭圆C：的焦距长为，点在C上. （1）求C的方程； （2）过点的直线与C交于A、B两点（均异于点P），若直线PA，PB的斜率都存在，分别设为，，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据焦距及椭圆过点列出方程求解即可； （2）设直线方程为，联立方程，由根与系数的关系求出，，再由斜率公式直接计算即可得解. 【小问1详解】 ，，， 在椭圆上， ，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为过点的直线与C交于A、B两点，所以直线斜率存在， 设直线方程为，，， 联立得， 即， 当，即时， ，， ， ， ， 为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $