精品解析：天津市实验中学2026-2027学年高二上学期学情评估(一)数学试卷

2026—2027学年度第二学期高二年级学情评估（一） 数学 一．单选题 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 2. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方向向量、法向量的定义，结合线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的向量判断方法进行逐一判断即可. 【详解】A因为不重合，所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，所以本选项说法不正确； B由法向量与方向向量的定义易知或，所以本选项说法不正确； C由于为平面的法向量，所以，所以本选项说法不正确； D由平面法向量与平面的位置关系可得，所以本选项说法正确， 故选：D 3. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 4. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为，重合不符合题意， 所以, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由空间共面向量可得，代入解方程即可得出答案. 【详解】若空间向量共面， 则，所以， 所以，解得：. 故选：B. 6. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 7. 方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的条件，通过判别式建立不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】对于方程，若表示圆， 则需满足（其中，，）. 代入得， 化简为， 即， 因式分解得， 解得. 故选：B 8. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，下列说法正确的个数（ ） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中，以点D为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体中，以点D为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为该正方体的棱长为1，分别为，的中点， 所以，， 所以，设，则， 因为， 所以， 即，所以， 取，当时，；当时，； 取， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面，所以当点平面时， 又点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹为正三角形，③错误； 点P不可能是棱的中点，①错误； 正三角形边长为，点P轨迹的长度为，②错误； 正三角形的面积为，④正确. 9. 已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算得到，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【详解】设的中点为，根据圆的性质可得，如图所示. 则， 所以，点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，其方程为. 因为,所以，. 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2， 因为，所以. 二．填空题 10. 已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为 11. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 【答案】0或##或0 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即，解得或 故答案为：0或 12. 两相交圆与的公共弦所在的直线方程为__________，以公共弦为直径的圆的方程为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将两圆的方程相减即可得公共弦所在的直线方程；设所求圆的方程为：，得圆心，代入直线，求解即可. 【详解】解：将与的方程相减，得， 即两圆的公共弦所在直线方程为：； 因为不在直线上， 所以设所求圆的方程为：， 即：， 其圆心， 因为圆心在直线上， 所以，解得， 故所求方程为， 即. 故答案为：； 13. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 【答案】 【解析】 【详解】考点：两条平行直线间的距离． 分析：通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可． 解：直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==． 故答案为． 14. 如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出如图的货车截面图矩形，在圆上时，货车最高，求出的长即得． 【详解】如图，矩形是货车截面图，，则， 故答案为：． 15. 已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，确定方程表示的曲线，再利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值求法求解. 【详解】曲线是以点为圆心，1为半径的圆 关于轴、原点及轴对称而得的圆、圆、圆与圆组合而成，如图： 是曲线上的点与定点的 距离平方并减去74的差的一半，由图知圆心离点最远，连接并延长交圆于点， 因此曲线上的点与点距离的最大值为， 的最大值为； 直线方程为，即，由， 由，得，则点的横坐标为， 所以的最大值为，此时. 三．解答题 16. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 或 （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出的中点坐标，再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程； （2）依题意，分截距为与不为两种情况，截距为时，直接用点斜式即可求得直线方程；截距不为时，设截距式方程，代入点求出参数即得所求直线方程； （3）先求出边的垂直平分线的方程，再利用对称性列方程求解即得对称点的坐标. 【小问1详解】 因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； 【小问2详解】 依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； 【小问3详解】 的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 17. 圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，圆截轴所得弦的长为. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，求的值. 【答案】（1）； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）设圆心，则，结合弦长公式求出的值即可求出圆的方程； （2）由题意结合圆的标准方程可知圆心到直线的距离，按斜率是否存在分情况讨论圆心到的距离，即可解出切线方程； （3）由题意可得圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式列式求解即可. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心， 因为圆与轴的负半轴相切，所以，半径， 又圆截轴所得弦的长为，所以，解得， 所以圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知圆的圆心，半径， 因为与圆相切，所以圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离符合题意， 当直线斜率存在时，设斜率为，则，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 此时方程为， 综上切线的方程为或. 【小问3详解】 因为圆上恰好有3个点到直线的距离为1， 所以直线分割圆为一段优弧和一段劣弧， 在劣弧上有且仅有一个点到直线的距离为1，且该点为劣弧的中点， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得或. 18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且，，是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明： 连接，因为，为线段的中点，， ，且，所以四边形为平行四边形， 又，， 则四边形为正方形，所以， 又平面，平面，则两两垂直. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，， 因为是的中点，所以， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 又因为平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】连接，由题可得四边形为正方形，结合平面，可得两两垂直，据此如图建立空间直角坐标系. （1）求出平面的一个法向量，通过说明，平面，可完成证明； （2）由（1）分析结合空间中点到平面距离公式可得答案； （3）由题可得底面的法向量与，然后由题设可得，据此可得，最后求出平面与平面的法向量，利用空间两平面夹角计算公式可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，，，所以， 且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离； 【小问3详解】 由题意知，底面的法向量为， 因为，， 且，，所以， 所以由题意知：， 解得：，所以， 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，取， 所以， 又平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第二学期高二年级学情评估（一） 数学 一．单选题 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 4. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，下列说法正确的个数（ ） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 二．填空题 10. 已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 11. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 12. 两相交圆与的公共弦所在的直线方程为__________，以公共弦为直径的圆的方程为__________. 13. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 14. 如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________. 15. 已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 三．解答题 16. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 17. 圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，圆截轴所得弦的长为. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，求的值. 18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且，，是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $