精品解析：上海市奉贤区东华大学附属奉贤致远中学2026-2027学年第一学期期中教学评估高二数学

东华大学附属奉贤致远中学2026学年第一学期期中教学评估 高二数学 考试时间：120分钟　　满分150分 一、填空题 1. 经过两点的直线的倾斜角为___________． 【答案】## 【解析】 【详解】∵，∴， 设过的直线的倾斜角为，则，∴． 2. 掷一颗均匀的骰子，出现偶数点的概率是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】列举所有出现的情况，求得满足题意的情况，利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】掷一颗均匀的骰子，出现点数分别为，共种情况； 其中偶数有，共种情况，故出现偶数点的概率是. 故答案为：. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可． 【详解】空间直角坐标系中， 点关于平面对称的点的坐标是 故答案为：． 4. 两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们至少有一人命中的概率是_______ 【答案】0.8## 【解析】 【分析】使用间接法，用1减去他们都没命中的概率即可得. 【详解】他们至少有一人命中的概率是. 故答案为：0.8. 5. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将符合要求的个数据由小到大排列出来，再结合平均数公式求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排列，前个数依次为、、，要使得这个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为、，即这个数据由小到大依次为、、、、， 所以这个点数的平均数的最大值为. 6. 某年级举行健美操比赛，位评委对某班级代表队的评分如下： ，则评分的第百分位数是________. 【答案】 【解析】 【详解】数据已按升序排列，为整数， 取第个和第个数的平均数，得. 7. 某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【答案】176 【解析】 【详解】第1行第7列的数字开始，依次抽取175，068，331，047，447，176， 故第6个被抽到的同学的编号为176 8. 给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 9. 设是空间中平面内一个边长为2的等边三角形，P是空间中一点，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，然后由数量积坐标表示结合代数知识可得答案. 【详解】如图，以中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，设， 则， 从而， 当时取等号. 故答案为：. 10. 如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间基底来计算.先得出，然后再两边同时平方，即可求出的长. 【详解】如图所示； 由题知，， ， ， . 11. 如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】以为原点，以，，的方向依次为坐标轴正方向，建立空间直角坐标系，分别设，，，再由，可得，从而建立和的关系式，最后利用二次函数求最值即可. 【详解】以为原点，以，，的方向依次为坐标轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，， 则，，， 故，， 因为，所以， 即，整理得， 设， 对称轴为， 所以， 则，又因为，所以解得， 综上所述，棱长的最大值为. 12. 已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设底面的中心为原点，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，结合已知条件得到，设，，则，再应用向量数量积的运算律及坐标运算得到，最后由柯西不等式得，即可得. 【详解】设底面的中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为正四棱锥的底面边长，所以， 侧棱长，则高， 则，，，，， 设向量，则，， 由，整理得， 因为，所以，得， 设，，则，当且仅当时取等号， 由，其中，， 则，，且， 所以， 所以， 由于，而，当且仅当时两处等号同时成立， 所以，则，即为. 二、单选题 13. 为了解一批灯泡的使用寿命，从中抽取20只灯泡进行测试，在这个问题中，被抽取的20只灯泡的使用寿命是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本的定义即可得到结果. 【详解】在已知的这个问题中，被抽取的20只灯泡的使用寿命叫做总体的一个样本. 故选:C. 14. 事件与独立，分别是的对立事件，则下列命题中不成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率、独立事件的乘法公式及概率加法公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：由于是独立事件，故，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：由于是独立事件，则也是相互独立事件， ，故D正确. 15. 如图所示，在正方体中，P为线段上的动点，给出下列四个结论： ①DP长度为定值； ②三棱锥的体积为定值； ③任意点P，都有； ④存在点P，使得平面． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于①，根据空间两点距离公式求解；对于②，通过证明平面，进而得到点P到平面的距离为定值，从而判断正误；对于③，通过判断，进而判断；对于④，通过验证向量与向量和同时垂直时是否有解，进而判断正误. 【详解】如下图所示： 设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、、、 ，设点，其中 对于①，不是定值，①错误； 对于②，在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面， ，则点P到平面的距离为定值，而的面积也为定值， 所以，三棱锥的体积为定值，②正确； 对于③，，，所以， 因此，对任意点P，都有，③正确； 对于④，，，， ，这样的t不存在， 所以不存在点P，使得平面，④错误． 16. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 三、解答题 17. 为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动． 已知、两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 学校 1 2 学校 1 1 （1）假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人” 的样本空间； （2）求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率； （3）求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可列出其样本空间，即可求解； （2）符合“抽到的人恰好都是语文老师”只有一种可能，利用古典概率即可求解； （3）由题符合题意的有：，，有种可能，即可求解. 【小问1详解】 样本空间为：. 【小问2详解】 事件“抽到的人恰好都是语文老师”只有一种可能，所以概率为， 【小问3详解】 事件“抽到的人中，恰好有名语文老师名数学老师，且这人恰好来自同一所学校”， 来自学校有两种可能：，，来自学校一种可能，总计结果有种可能， 所以概率为. 18. 如图，在正四棱柱中，已知，. （1）求异面直线与直线所成的角的大小； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，通过求向量与向量的夹角，转化为异面直线与直线所成的角的大小；（2）先求出面的一个法向量，再用点到面的距离公式算出即可． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建系， 设 所以, , 所以异面直线与直线所成的角的余弦值为 ，异面直线与直线所成的角的大小为． （2）因为， ，设是面的一个法向量， 所以有 即 ，令 ， ，故， 又，所以点到平面的距离为. 【点睛】本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力． 19. 某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分． （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求出参数值，再求解平均数即可. （2）利用分层抽样的性质求出每一部分的学生数，再结合古典概型概率公式求解概率即可. （3）结合题意算出新的平均数和，再利用方差公式求解方差即可. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为， 所以， 解得，而设平均分为， 得到， ， 即本次竞赛成绩的平均分为分. 【小问2详解】 若从样本成绩为和的学生中共抽取6人， 且成绩在的人数为人， 在的人数为人， 即从的学生中取人，从中取人， 设这名学生分别为，2人中有来自组的学生的概率为， 则基本事件为， ，共有种基本事件， 符合条件的有，共种， 则，故2人中有来自组的学生的概率为. 【小问3详解】 因为这6个分数的平均数，标准差， 所以这6个分数的平均数为分，， 则，解得， 设新的方差为， ，则这8个分数的方差为. 20. 如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足． （1）求证：不论取何值，总有； （2）设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； （3）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值． 【答案】（1） 如图，以为原点， 以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，由，得， 所以，则， 而， 则， 所以，即不论取何值，总有. （2） （3） 时， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据题意可得，进而根据求证即可； （2）根据线面角的空间向量公式表示出，进而求解即可； （3）根据面面角的空间向量公式表示出，利用换元法及二次函数的性质求出最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 易得平面的一个法向量为， 由直线与平面所成的角为， 则， 而，所以， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， 令，则，则， 函数，当时，， 所以， 即当，，时，． 21. 如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． （1）若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； （2）求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】（1）（i）由题意得，， ， 在中，因为，所以， 又因为，，， 在中，因为，所以， 因为，、平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （ii）. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴，以平面内过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小； （2）设，根据题意得出，结合图形不妨取，所以，并设，，，利用空间向量法结合函数的单调性可求得与平面所成角的正弦值的范围. 【小问1详解】 （i）略； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴， 以平面内过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 结合图形可知，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的大小为. 【小问2详解】 设，因为，， 即，所以， 结合图形不妨取，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成角为， 所以， 设，， 由，不妨取，则，所以， 所以 ， 令，所以， 因为函数、在上为减函数， 故函数在上为减函数， 故当时，，所以， 所以与平面所成角的正弦值的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东华大学附属奉贤致远中学2026学年第一学期期中教学评估 高二数学 考试时间：120分钟　　满分150分 一、填空题 1. 经过两点的直线的倾斜角为___________． 2. 掷一颗均匀的骰子，出现偶数点的概率是___________. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______. 4. 两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们至少有一人命中的概率是_______ 5. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 6. 某年级举行健美操比赛，位评委对某班级代表队的评分如下： ，则评分的第百分位数是________. 7. 某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 8. 给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 9. 设是空间中平面内一个边长为2的等边三角形，P是空间中一点，则的最小值为______. 10. 如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为________. 11. 如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为________. 12. 已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 二、单选题 13. 为了解一批灯泡的使用寿命，从中抽取20只灯泡进行测试，在这个问题中，被抽取的20只灯泡的使用寿命是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本容量 14. 事件与独立，分别是的对立事件，则下列命题中不成立的是（    ） A. B. C. D. 15. 如图所示，在正方体中，P为线段上的动点，给出下列四个结论： ①DP长度为定值； ②三棱锥的体积为定值； ③任意点P，都有； ④存在点P，使得平面． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 16. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动． 已知、两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 学校 1 2 学校 1 1 （1）假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人” 的样本空间； （2）求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率； （3）求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率． 18. 如图，在正四棱柱中，已知，. （1）求异面直线与直线所成的角的大小； （2）求点到平面的距离. 19. 某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分． （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差． 20. 如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足． （1）求证：不论取何值，总有； （2）设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； （3）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值． 21. 如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． （1）若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； （2）求与平面所成角的正弦值的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $