上海市闵行中学2026-2027学年第一学期高二期中质量检测数学试题

2026学年第一学期高二期中质量检测 数学试卷 (完卷时间：120分钟满分：150分) 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.异面直线a和b所成角的范围为 2.已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为3，则该三棱柱的体积为 3、“直线b在平面α上”用集合语言描述为 4.若平面a/1平面B,aca,bcB,则直线a与b的位置关系不可能是· (填相交”、“平 行”、“异面”之一) 5.如图，在长方体ABCD-ABCD的棱中，其所在直线与BB,是异面直线的棱有 条 6.如图，正方形OB'C的边长为2，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形中OB= A (第5题图) (第6题图) (第11题图) 7.在各棱长均为2的正三棱柱ABC-ABC中，则点C到平面ABB,4的距离为 8.空间中∠ABC和∠A'B'C两边分别平行，∠ABC=50°，则∠AB'C的大小是 9.在△ABC中，C=90°，AB=5,BC=3,以△ABC-一边BC所在直线为轴，其余两边旋转一周形 成的面围成的几何体的体积为 10.已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M,若圆M的面积为12π， 则球O的体积为 1.如图，已知在圆锥S0中，底面圈0的直径AB=2,圆锥S0的体积为2 二π，点M在母线SB 3 上，且M=，丽，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为 试卷第1 12.在楼长为2的正方体ABCD-AB,C,D中，M,N分别为AB,CC的中点，P是正方体侧面ADDA 上的一动点（含边界)，给出下列四个结论： ①满足MP⊥MN的点P有无数个： B ②满足直线MP/1平面ABC的点P有且只有一个； ③满足r=5的点P的轨迹长度为： ④满足直线MP与AC所成角为的点P不存在. 其中正确结论的序号是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分) 13.已知圆柱底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为（) A.8n B.16π C.24π D.32元 14.“几何体ABCD是正四面体”是“几何体ABCD是正三棱锥”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.设a,B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是，) A.若a⊥B,m⊥a,则m/IB B.若m/a,n⊥m,则n⊥a C.若mcB,a∩B=n,m/la,则m/1n D.若mcc,ncB,a/IB,则m/1n 16.南北朝时期，数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”， 用现代语言可以描述为：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所 截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.”例如可以用祖啦原理推导半球的体积 公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖 去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何-一个平行于底面的平面去截这两 个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若用垂直 于半径的平面口去裁半径为R的半球，且球心到平面α的距离为d-R,则平面a所截得的较小部 【页，共2页 分（称之为球冠”）的几何体的体积是半球体积的() A.6 7 B.6 C. 2 品 D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) D 如图，在正方体ABCD-ABCD,中，点E,F分别为棱CD,CB的 A 中点 (1)证明：EF11平面ABD; D (2)求异面直线AD与EF所成的角的大小 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在直角△40B中，∠01B=名， 斜边AB=8,D是AB中点，现将 直角△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥.点C为圆锥底面圆周上 -点，且80c-号 (1)求圆锥的体积与侧面积； (2)求直线CD与平面BOC所成的角的正切值， 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合 而成（如图所示).已知圆柱的底面半径为3m,高为5m,圆锥的底面与圆柱的上底 面重合，圆锥的母线长为5m.(取π的近似值为3) (1)求该灯塔主体结构的体积： 试卷第2 (2)已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平 方米外表面积200元（不包括底面）.人工施工费为总物料费用的20%.若景区预算为40万元，问： 该预算是否够用？ 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) B 如图，在四棱柱BCD-AB,CD中，侧棱AA⊥底面ABCD,AB⊥AD, AD//BC,AB=BC=1,AD=2,AA=2. (1)证明：CD⊥平面ACC4; (2)设点E为4D,的中点，点M在CE上. ()判断三棱锥M-ABA的体积是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由； (i)当△ADM的面积最小时，求平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值. 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体「的一个顶点，定义多面体了 在点P处的离散曲率为O,=l-2(0P0,+∠0，P%++∠P+∠0，P0),其 中(=1,2，，k,k≥3)为多面体T的所有与点P相邻的顶点，且平面2P2,平面 Q2P2,,平面2-PO和平面2P凸为多面体了的所有以P为公共点的面. (I)求四棱锥S-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，现已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，且AC=2,项点S在底面的射 影O为AC的中点， ①若03=√2+√万，求该四棱锥在S处的离散曲率0s; ②若该四棱维在S处的离散曲率，=号求直线05与平面MB所成角的正弦值， 顶，共2页