精品解析：江苏省邗江中学2026-2027学年高三年级上学期期中模拟测试数学试题

2026-2027-1-高三年级期中模拟测试 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的．） 1. 集合的子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 3. 在中，已知，，则“”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 4. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 5. 已知为锐角，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（） A. B. C. D. 7. 若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 设，函数在区间上有唯一零点，则的最小值为（ ） A. B. e C. 3 D. 二、多选题（每小题6分，共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意实数均有（为常数），，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 11. 已知三个内角满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若的面积为3，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数为上的单调递增函数，则的取值范围是________． 13. 已知为钝角，且，则______． 14. 已知函数．若存在实数，使得对任意实数恒成立，则正实数取最小值时________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，. （1）求函数的最大值； （2）若函数，求函数的对称中心． 16. 已知个电子元件中含有个不合格品，从中一次任取个． （1）设取出的个产品中不合格品数为，求； （2）若取出的个产品中至少有一个不合格品，求取出的个产品中恰有个不合格品的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点． （1）证明：平面平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）点分别在边上，且平分平分，. ①求证：； ②求. 19. 设定义在上的函数的导函数为.如果存在实数和函数，使得，其中对任意实数恒成立，则称函数具有性质. （1）求证：函数具有性质； （2）已知函数具有性质，给定实数，，其中.证明：； （3）对于函数和点，令，若点满足在处取得最小值，则称是的“点”.已知函数具有性质，点.若对任意的，都存在曲线上的一点，使得既是的“点”，又是的“点”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027-1-高三年级期中模拟测试 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的．） 1. 集合的子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】集合， 集合的子集个数为. 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出， ，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，，所以， ， 所以在上的投影向量为. 故选：B 3. 在中，已知，，则“”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果. 【详解】由正弦定理得，即， ，又因为， 或； 则“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：. 4. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】由，有，所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8． 5. 已知为锐角，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由向量共线可得，再由二倍角的正切公式及角的范围可得. 【详解】因为，，且， 所以，即. 又，得， 解得或， 又因为为锐角，所以，因此. 6. 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简对数式得到自变量，再结合奇函数与轴对称性推出函数周期，将大自变量转化到的已知区间内，代入解析式计算结果. 【详解】， 由，可知. 由是奇函数，得， 由是偶函数，得，即函数关于直线对称， 所以， 因此，即函数周期. ， 因为，所以， 因此 7. 若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为“，，使得”为假命题， 所以，，使得”为真命题， 令，则，则在上单调递增， 因为，所以 8. 设，函数在区间上有唯一零点，则的最小值为（ ） A. B. e C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】令整理可得，设函数，求出的单调性可知要使有唯一零点，则，由此可得，再令，求出在上的最小值，即可得出答案. 【详解】令，，两边取对数得，整理得. 设函数，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，有唯一零点，且，则，所以， 即， 设，, 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 易知在上的最小值为， 所以，当且仅当时取等. 故选:C. 二、多选题（每小题6分，共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断AB，应用作差比较法可判断CD. 【详解】A项，由，得，故A错误； B项，由，得，故B正确； C项，由已知，得，， 则，且， 所以， 则，故C正确； D项， 因为，则， 所以， 即，故D错误. 故选：BC. 10. 设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意实数均有（为常数），，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】运用奇函数的性质与的单调性，得到，判断A； 运用赋值，结合，得到判断B； 设，由已知推得即为周期函数，判断C；根据题意推得 为等差数列并求出通项公式即可判断D. 【详解】对于A，已知、都是定义在上的奇函数，在中，令得， 则，又为单调函数，则有，即，所以，所以A错误； 对于B，因为，， 所以，令，得，且得，所以B正确； 对于C，设，则由， 可得，所以， 所以，即为周期函数，所以C正确； 对于D，由，得， 即，令,得，且，得， 对任意正整数，，所以是等差数列，故，所以D错误. 11. 已知三个内角满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若的面积为3，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，然后根据三角函数的性质及基本不等式可得，可判断AC；利用余弦定理可得判断B；利用三角形面积公式判断D. 【详解】设角的对边分别为， 由正弦定理和， 可得，又由余弦定理，可得， 代入得，， 即，整理得， 由于，则， 而，当且仅当，即，即时取等号， 所以， 即，所以，AC正确； 由于，， 由余弦定理，，则得， 故，B正确； 若的面积为3，即，解得， 则，D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数为上的单调递增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数为上的单调递增函数， 所以在上恒成立， 若，显然在上不恒成立； 若，则，得， 故的取值范围是 13. 已知为钝角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，切化弦结合三角恒等变换化简整理即可，即可得结果. 【详解】因为， 则 ， 即，且为钝角，所以. 故答案为：. 14. 已知函数．若存在实数，使得对任意实数恒成立，则正实数取最小值时________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值、结合导数的几何意义及图象平移后的位置关系求解即可. 【详解】由已知时单调递增， 对于，， 令，即，解得. 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，即， 又时，，可作出函数的大致图象如下： 显然要满足题意需整个函数图象向左平移后完全在原函数图象上方即可， 考虑临界情况，即左移后的右半段函数与平移前的左半段函数相切，此时平移距离最短， 可转化为与相切， 不妨设切点为， 则，解得，则，即切点为， 所以，则， 令，即，解得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，. （1）求函数的最大值； （2）若函数，求函数的对称中心． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式并配方得到，结合二次函数的性质求最值即可. （2）根据二倍角公式及辅助角公式得到，结合余弦型函数的性质求对称中心即可. 【小问1详解】 . 又，则，所以当时，取得最大值，为. 【小问2详解】 . 令，，解得，，此时对应函数值为. 故函数的对称中心为，. 16. 已知个电子元件中含有个不合格品，从中一次任取个． （1）设取出的个产品中不合格品数为，求； （2）若取出的个产品中至少有一个不合格品，求取出的个产品中恰有个不合格品的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件的概率性质，将所求区间概率转化为对立事件的概率差，简化古典概型计算； （2）识别问题为条件概率，结合古典概型分别计算对应事件的概率，代入条件概率公式求解. 【小问1详解】 从个元件中一次任取个，总的基本事件数为组合数，所有基本事件等可能发生， 由题意，不合格品共个，因此取出的个产品中不合格品数的可能取值为、、、， 事件“”的对立事件为“”（即取出的个产品全为合格品）， 由古典概型的概率公式可得， 根据对立事件的概率公式可得. 【小问2详解】 设事件为“取出的个产品中至少有一个不合格品”，事件为“取出的个产品中恰有个不合格品”， 由题意可知，因此，即， 故， 事件的对立事件为“取出的个全为合格品”， 因此， 所以若取出的个产品中至少有一个不合格品，取出的个产品中恰有个不合格品的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点． （1）证明：平面平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由为等边三角形，为中点，得， 底面是正方形，故，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，且平面，所以 平面， 因为平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再利用面面垂直性质得到，推出平面，进而证得面面垂直； （2）建系后由线面平行条件求出坐标，求出平面的法向量，利用线面角向量公式算出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接.由为等边三角形，得，又平面平面，交线为，故平面， 以为原点，为轴正方向，过平行于的方向为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 由边长为，得，，，，， 为中点，故，设（在上，）， 向量， ，， 设平面的法向量为，则，，令，则，得， 由平面，得，即，得， 解得 ，即， 设平面的法向量为，，， ，得，令，则，得， ， 设直线与平面所成的角为，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）点分别在边上，且平分平分，. ①求证：； ②求. 【答案】（1） （2）①证明：在和中分别使用正弦定理 AI ② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合辅助角公式和特殊角的正弦值求出即可； （2）①在和中分别使用正弦定理，再结合角平分线的性质可得； ②由正弦定理和比例的性质可得和，再结合题中边长等式由两角差的余弦公式和同角的三角函数关系和特殊角的三角函数关系化简，最终得到结果； 【小问1详解】 由正弦定理可得， . 【小问2详解】 ①略 ②设， ， 同理， ， ， ， ， ， 19. 设定义在上的函数的导函数为.如果存在实数和函数，使得，其中对任意实数恒成立，则称函数具有性质. （1）求证：函数具有性质； （2）已知函数具有性质，给定实数，，其中.证明：； （3）对于函数和点，令，若点满足在处取得最小值，则称是的“点”.已知函数具有性质，点.若对任意的，都存在曲线上的一点，使得既是的“点”，又是的“点”，求的取值范围. 【答案】（1）证明：， 取，则具有性质. （2）证明：具有性质 函数使得 时对恒成立， 在上单调递增，， 当且， ， 且另一方面，同理， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件计算并判断即可； （2）易知单调递增，然后利用单调性，去绝对值符号求解即可； （3）先写出点对应的函数，然后求导，利用两点具有相同的“点”，建立等式，化简得到，由题易知，得到恒成立，即恒成立，然后求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， ， ， ， 对，都存在曲线上的一点，使得既是的点又是的点， 设既是，也是的最小值点， 两函数定义域为也为两函数极小值点，， ①， ②， ①-②， 具有性质恒成立， 故恒成立， 综上：的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：需要先理解题中新概念的意思，然后再和已学知识结合处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $