精品解析：江苏省兴化市周庄高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 （考试用时：120分钟 总分：150分） 注意：所有试题的答案均需填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效. 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知则“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 已知，则中元素的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若，则下列各式中恒等的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 要得到的图象，只需将的图象上所有点的纵坐标（ ） A. 缩小到原来的倍（横坐标不变） B. 扩大到原来的2倍（横坐标不变） C. 向上平移1个单位（横坐标不变） D. 向下平移1个单位（横坐标不变） 6. 已知非零向量的夹角为且，当取最小值时，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，且有，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知角的终边与角的终边关于直线对称，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于定义在上的函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数不是偶函数 B. 若，则函数不是奇函数 C. 若，则函数是增函数 D. 若，则函数不是减函数 11. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 若为等差数列，且，则单调递增 B. 若为等比数列，且，则单调递增 C. 若为等差数列，且，则单调递增 D. 若为等比数列，且，则单调递增 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数，则__________. 13. 在中，若，则______. 14. 已知，且，则______. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）若有实数根，求实数的范围； （2）若恒成立，求实数的范围. 16. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）若，且，求的值. 17. 在中，点是的中点，且. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）求周长的取值范围. 18. 设数列满足递推关系. （1）求证：数列是等比数列； （2）（i）证明：； （ii）记求数列的前项和； （3）对于第（2）问中的，是否存在正整数，使等式成立.若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）当时， （i）判断函数在上的零点个数； （ii）若有公比的等比数列满足，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 （考试用时：120分钟 总分：150分） 注意：所有试题的答案均需填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效. 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知则“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充要条件的定义即可求解. 【详解】由且可知一定成立，故“且”是“”的充分条件， 又由可知都为0，即且，故“且”是“”的必要条件. 综上，“且”是“”的充要条件. 故选：C. 2. 已知，则中元素的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合一元二次不等式解法化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】不等式的解集为，所以， 又，所以，有2个元素. 故选：B 3. 若，则下列各式中恒等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质逐一判断四个选项的正误即可. 【详解】对于A：，故选项A不正确； 对于B：，故选项B不正确； 对于C：，故选项C不正确； 对于D：，故选项D正确. 故选：D. 4. 已知是偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可求得，进而计算可求得的值. 【详解】因为是偶函数，所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以， 所以，所以，又， 所以，所以，， 所以，解得. 故选：C. 5. 要得到的图象，只需将的图象上所有点的纵坐标（ ） A. 缩小到原来的倍（横坐标不变） B. 扩大到原来的2倍（横坐标不变） C. 向上平移1个单位（横坐标不变） D. 向下平移1个单位（横坐标不变） 【答案】A 【解析】 【分析】先利用指数的运算律，把函数变形为，再根据函数图象变换的规律即可作出判断. 【详解】因为，可以发现当取同一个值时，函数对应的函数值是中对应函数值的， 所以要得到的图象，只需将的图象上所有点的纵坐标缩小到原来的倍（横坐标不变）. 故选：A. 6. 已知非零向量的夹角为且，当取最小值时，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由数量积的定义可得，利用数量积的运算律求得，即可求解. 【详解】令，则， 则 ，故当时，取最小值. 故选：B 7. 若，且有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知函数性质，分别构造函数并求导，用导数分析函数单调性并结合三角函数的性质判断的大小关系． 【详解】令，求导得，，， ，在上单调递增， ，，； 令，求导得，在上单调递增， ，； 令，求导得， 在上单调递增， ，且，， 在上，，， ， ，则， 在上单调递增，，， ． 故选：A． 8. 已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，可求得，利用，求得的值，计算即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位后的解析式为， 又平移后的函数图像与原来图像重合，所以， 所以，所以，又，所以， 所以， 当时，则， 又，且时，， 所以，所以， 所以 . 故选：B. 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知角的终边与角的终边关于直线对称，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】依题意可得，再诱导公式判断即可. 【详解】由角的终边与角的终边关于直线对称， 得，即， 所以，，C正确，A错误； ，， D正确，B错误. 故选：CD 10. 对于定义在上的函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数不是偶函数 B. 若，则函数不是奇函数 C. 若，则函数是增函数 D. 若，则函数不是减函数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义判断A；举反例判断BC，利用减函数定义判断D. 【详解】定义在R上的函数，若，则不恒成立， 则不是偶函数，故A正确； 取，此时， 函数的定义域为R，且， 故函数是奇函数，故B错误； 若，则，，故， 但函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误； 定义在R上的函数，若， 则对任意时，不恒成立， 则函数在R上不是减函数，故D正确. 故选：AD 11. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 若为等差数列，且，则单调递增 B. 若为等比数列，且，则单调递增 C. 若为等差数列，且，则单调递增 D. 若为等比数列，且，则单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的性质及数列单调性的概念直接判断各选项. 【详解】A选项，若为等差数列，且，设公差为，则，即，所以单调递增；故A正确； B选项，设公比为，，则， 当时，，则，此时单调递增； 当，，则的正负交替，则不恒成立，不满足条件； 当时，，则的正负交替，则不恒成立，不满足条件； 当，，则，此时单调递增. 综上若为等比数列，且，则单调递增，故B正确； C选项：若是等差数列，且，，则， 所以，则当时，，即，所以数列单调递增，C选项正确； D选项：若是等比数列，且，，则，则，所以数列为摆动数列，所以当为奇数时，，当为偶数时，，又， 所以数列不单调，D选项错误. 故选：ABC 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出，然后由复数模的定义求解即可． 【详解】， . 故答案为：. 13. 在中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理直接求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 所以. 故答案为： 14. 已知，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式将展开，两边同时除以，再利用两角和的正切公式求得，代入求解即可. 【详解】因为，所以， 两边同时除以，可得， 因为，所以， 所以，解得． 所以. 故答案为： 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）若有实数根，求实数的范围； （2）若恒成立，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照和分类讨论，利用判别式法列不等式求解即可； （2）按照和分类讨论，进而利用判别式法列不等式求解即可. 【小问1详解】 有实数根，即方程有解， 当即时，方程，得，符合题意； 当即时，由题意，即， 解得 ，且； 综上，实数的范围； 【小问2详解】 当即时，不等式化为，此式显然不恒成立，不符合题意； 当即时，由题意得， 即，解得， 综上，实数的范围是. 16. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简得，根据正弦函数性质求解单调增区间即可； （2）由题意，结合角的范围利用同角三角函数关系求得，然后利用两角和的正弦公式化简求值即可. 【小问1详解】 . 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以. 17. 在中，点是的中点，且. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）由两边平方即可求解； （3）利用余弦定理可得：，结合基本不等式即可求出范围，从而得到周长范围. 【小问1详解】 因为在中，点是的中点， 所以，则，， 则； 【小问2详解】 由，可得， 则， 即， 解得：； 【小问3详解】 由，可得：， 由余弦定理可得：，故， 由于，解得：， 所以，当且仅当时等号成立， 又因为 即， 所以， 则周长的取值范围为. 18. 设数列满足递推关系. （1）求证：数列是等比数列； （2）（i）证明：； （ii）记求数列的前项和； （3）对于第（2）问中的，是否存在正整数，使等式成立.若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）由题意，且，则数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）（i）由（1），，则， 所以. （ii）； （3） 不存在，理由如下： 由题意，， 化简得， 由于为奇数，则不是整数，则不存在. 【解析】 【分析】（1），代入即可得，结合首项不为0，则可证明数列是等比数列； （2）（i）由（1）求出通项公式，进而求出通项公式，代入整理得左式等于右式即可； （ii）由（i）的结论，进行裂项相消求和即可； （3）代入进行整理，利用奇偶说明不存在即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）得， 则. 【小问3详解】 略 19. 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）当时， （i）判断函数在上的零点个数； （ii）若有公比的等比数列满足，求的值. 【答案】（1） （2）（i）;（ii） 【解析】 【分析】（1）求出，代值计算即可；（2）（i）利用导数研究的单调性以及最值，结合零点存在定理即可判断； （ii）根据，转化为方程，为该方程的根，由，得到，讨论的范围，得到值即可. 【小问1详解】 由题可得：，所以， 解得： 【小问2详解】 当时， （i）， 则，， 令，则， 所以在上单调递减，由于， 所以存在唯一零点，使得； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以， 当，由于，则，在上单调递增， 所以在上有一个零点， 当时，由于，，在上单调递减， 根据零点存在定理，在存在唯一零点， 综上，函数在上的零点个数为； （ii）由，可得，因为为等比数列，且， 所以，即， 考虑方程，为该方程的根； 因为，所以 当时，，则，因为数列为等比数列，则其公比为，所以， 当时，由可得，即， 若时，由可得：，由于等比数列，所以，则当时，，即，与矛盾，从而不符合题意； 若时，由可得：，由于等比数列，所以，则当时，，即，与矛盾，从而不符合题意； 综上，若有公比的等比数列满足，则的值为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $