精品解析：湖南永州市零陵区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年下期期中质量监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，24个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中一定是相似形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，为锐角，满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，点，，在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 依托湘超联赛热度，大量球迷前往零陵古城柳子街游览．据估算，柳子街月客流量为万人次，借助赛事热度连续两个月保持相同月增长率，月客流量达到万人次．设客流量月平均增长率为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点；作，交的延长线于点，则下列矩形是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则=_______． 12. 在中，，，，则的值为_______． 13. 若关于x的方程有一个根为，则a的值是_______． 14. 阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则______． 15. 湖南省足球超级联赛（湘超）是湖南省本土顶级业余足球赛事，永州“永冲锋”足球队代表永州出战，比赛期间零陵工人文化宫聚集了大量市民观看比赛．商家推出融合零陵古城、柳子文化元素的纪念徽章，徽章每枚进价元．根据现场调研：当售价定为每枚元时，单场可卖出枚；若每枚徽章的售价上涨元，销量就减少枚．商家希望单场获得元的利润，同时尽量减少库存，则每枚徽章应涨价额为_______元． 16. 在书法文化研学课上，研究怀素碑刻拓片上的几何图形，如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在等腰中，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出的位似图形，使与的相似比为； （2）直接写出点的坐标为________，点的对应点的坐标为________，点的对应点的坐标为________； （3）在（1）中，若点为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标为________． 20. 为践行五育并举，落实立德树人根本任务，零陵区某学校特地开设劳动实践课．在劳动实践课上，李老师带领九年级一班的学生去学校的劳动德育实践基地，该基地为四边形，连接对角线，将四边形分成和两块种植区域．同学们的测量数据如下：，，，，． （1）求证：； （2）同学们计划在两块区域播种蔬菜种子，已知小地块需要种子，若单位面积播种种子重量相同，求大地块需要准备多少千克种子． 21. 零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史．为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮．如图，步道斜坡的坡比，斜坡的坡面长度，． （1）求这段斜坡的水平宽度； （2）景区计划在斜坡顶端处修建观景护栏，，在坡底点观测护栏顶端的仰角为，求护栏的高度． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 23. 【问题呈现】我们定义：在凸四边形中，若对角线相等，且至少有一个内角是直角，则称这个四边形为怀素四边形． （1）下列四边形中，一定是“怀素四边形”的是________；（填序号） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形； 【解决问题】 （2）如图1，正方形边长为12，点，分别在，边上，满足，连接，，．过作交于点，连接．若四边形是“怀素四边形”． ①求证：； ②求线段的长； 【应用拓展】 （3）如图2，在中，，，，点在右侧平面内，四边形为“怀素四边形”．过点作，交延长线于，且与相似，请直接写出的长． 24. 零陵柳子庙研学实践活动，同学们利用矩形手工卡纸开展折叠数学探究活动．现有矩形卡纸，，，同学们尝试通过折叠构造特殊角，开展几何探究： （1）如图1，先把矩形纸片对折，使与重合，展开得到折痕；再次折叠纸片，使点落在折痕上的点处，则的长为________，的度数为________； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的值； （3）将剪下来，点在边上，点在边上，将沿直线折叠，使点落在点处．如图2，点，在上，满足，且落在线段上（包含端点）．若，求出的值（用含的代数式表示），并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期期中质量监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，24个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断． 【详解】解：A：是关于的一元一次方程； B：是关于的分式方程； C：是关于的一元二次方程； D：是关于的分式方程． 2. 如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列图形中一定是相似形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意． B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意； C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意． D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵． ∴移项得． ∴两边同时加得 ． 即． 5. 在中，，为锐角，满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值与平方的非负性求出和的度数，再结合三角形内角和求出的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵ ，，且 ∴ ， ∴ ， ∵ ，为锐角 ∴ ， ∴ ∵ ，，均为锐角 ∴ 是锐角三角形． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式解题． 【详解】解：，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 7. 如图，点，，在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造直角三角形，利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，构造， ∴． 8. 依托湘超联赛热度，大量球迷前往零陵古城柳子街游览．据估算，柳子街月客流量为万人次，借助赛事热度连续两个月保持相同月增长率，月客流量达到万人次．设客流量月平均增长率为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设客流量月平均增长率为， 根据题意得， 9. 如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判定即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，则，故①能判定； 当时，则，故②能判定； 当，不是夹角的对应边比，不能判定，故③不能判定； ④，不能判定，故④不能判定； 综上，能判定的条件的个数为个． 10. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点；作，交的延长线于点，则下列矩形是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得的长，再根据求得的长，最后判断各个矩形的长宽比即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 取，的中点，， ， 根据勾股定理可得， ， ， 在矩形中，，符合黄金矩形的定义； 在矩形中，，不符合黄金矩形的定义； 在矩形中，，不符合黄金矩形的定义； 在矩形中，，不符合黄金矩形的定义． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】先把分式化简成已知的形式，再把已知整体代入即可 【详解】根据题意可得：原式=+1=． 【点睛】本题考查了分式的化简以及代入求值，解题的关键是运用整体思想代入求值． 12. 在中，，，，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】已知直角三角形两直角边的长度，依据锐角正切的定义，确定对应的对边与邻边的长度，代入计算即可． 【详解】解：在中， ∴ 将，代入上式， 得． 13. 若关于x的方程有一个根为，则a的值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将已知根代入原方程，构建关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程，等式成立， 即， 整理得， 解得． 14. 阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，利用关系式，结合已知条件且，进行求解即可． 【详解】解：根据题意，猜想：对任意锐角，都有． 证明过程如下： 如图，在中，过点作于，则， ，， ， ， ， ， 又，为锐角，， ． 故答案为：． 15. 湖南省足球超级联赛（湘超）是湖南省本土顶级业余足球赛事，永州“永冲锋”足球队代表永州出战，比赛期间零陵工人文化宫聚集了大量市民观看比赛．商家推出融合零陵古城、柳子文化元素的纪念徽章，徽章每枚进价元．根据现场调研：当售价定为每枚元时，单场可卖出枚；若每枚徽章的售价上涨元，销量就减少枚．商家希望单场获得元的利润，同时尽量减少库存，则每枚徽章应涨价额为_______元． 【答案】 【解析】 【详解】解：设每枚徽章的涨价额为元， 根据题意得， 解得，， 需尽量减少库存，即需尽可能提升销量，减少剩余商品量， 当时，销量为枚，当时，销量为枚，且， 对应的销量更高，库存更少， 每枚徽章的涨价额为元． 16. 在书法文化研学课上，研究怀素碑刻拓片上的几何图形，如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在图中添上字母，设，则图2中的，根据图2中矩形的面积为16，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：在图中添上字母，如图所示， 根据题意可得图1中的正方形边长为， 设, 根据图1的关系，可得图2中，， 则图2中的，， 根据题意得：， 整理得：， 解得（舍去）， ∴长为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先代入特殊角三角函数值，再计算乘法、减法； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， 或 解得． 18. 如图，在等腰中，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意易得为直角三角形，然后根据三角函数求解即可； （2）首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据勾股定理解得，然后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 ， ， 在Rt中，， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出的位似图形，使与的相似比为； （2）直接写出点的坐标为________，点的对应点的坐标为________，点的对应点的坐标为________； （3）在（1）中，若点为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标为________． 【答案】（1）如下图，即为所求； （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）分别找到的位似对应点，再顺次连接即可； （2）结合图形，即可获得答案； （3）根据位似比，位似图形所在象限确定点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知，的坐标为，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为； 【小问3详解】 ∵与的位似比为，且在第二象限， ∴若点为线段上任一点，变化后点的对应点的坐标为． 20. 为践行五育并举，落实立德树人根本任务，零陵区某学校特地开设劳动实践课．在劳动实践课上，李老师带领九年级一班的学生去学校的劳动德育实践基地，该基地为四边形，连接对角线，将四边形分成和两块种植区域．同学们的测量数据如下：，，，，． （1）求证：； （2）同学们计划在两块区域播种蔬菜种子，已知小地块需要种子，若单位面积播种种子重量相同，求大地块需要准备多少千克种子． 【答案】（1） 证明：，，，， ，，， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知得到，然后根据相似三角形的判定定理可证得结论； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 需要种子，且单位面积播种种子重量相同， 需要种子． 21. 零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史．为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮．如图，步道斜坡的坡比，斜坡的坡面长度，． （1）求这段斜坡的水平宽度； （2）景区计划在斜坡顶端处修建观景护栏，，在坡底点观测护栏顶端的仰角为，求护栏的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用坡比概念可设，则，利用勾股定理列方程求得x值即可解答； （2）利用正切定义和特殊角的三角函数值求得即可解答． 【小问1详解】 解： ，则是直角三角形， 斜坡的坡比，， 设，则， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 护栏的高度． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得出，计算求出结论即可； （2）根据根与系数关系得出，，再整体代入计算即可； 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ， ， ， 解得， 又， ． 23. 【问题呈现】我们定义：在凸四边形中，若对角线相等，且至少有一个内角是直角，则称这个四边形为怀素四边形． （1）下列四边形中，一定是“怀素四边形”的是________；（填序号） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形； 【解决问题】 （2）如图1，正方形边长为12，点，分别在，边上，满足，连接，，．过作交于点，连接．若四边形是“怀素四边形”． ①求证：； ②求线段的长； 【应用拓展】 （3）如图2，在中，，，，点在右侧平面内，四边形为“怀素四边形”．过点作，交延长线于，且与相似，请直接写出的长． 【答案】（1）③④ （2）①证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是怀素四边形， ∴， ∴； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据怀素四边形对角线相等、至少有一个内角为直角的定义，结合特殊四边形的性质逐一判断． （2）①利用正方形性质证明，得到；结合怀素四边形对角线相等的性质得，等量代换即可求证． ②过点作构造矩形，结合垂直条件推出等腰直角三角形，建立线段等量关系，结合正方形边长计算． （3）先由勾股定理求出，根据怀素四边形定义得；再分、两种相似对应关系，设未知数，结合勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：∵平行四边形对角线不一定相等，无必然直角， ∴平行四边形不是怀素四边形； ∵菱形对角线互相垂直但不相等， ∴菱形不是怀素四边形； ∵矩形对角线相等，四个内角均为直角， ∴矩形是怀素四边形； ∵正方形对角线相等，四个内角均为直角， ∴正方形是怀素四边形； 故答案为：③④． 【小问2详解】 解：①略 ②过点作，垂足为， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是怀素四边形，， ∴对角线， ∵，交延长线于， ∴， 情况1：当时， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵中，， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， 情况2：当时， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵中，， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 故的长为或． 【点睛】本题主要考查了新定义四边形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握新定义的内涵，运用分类讨论思想分析相似三角形的对应关系是解题的关键． 24. 零陵柳子庙研学实践活动，同学们利用矩形手工卡纸开展折叠数学探究活动．现有矩形卡纸，，，同学们尝试通过折叠构造特殊角，开展几何探究： （1）如图1，先把矩形纸片对折，使与重合，展开得到折痕；再次折叠纸片，使点落在折痕上的点处，则的长为________，的度数为________； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的值； （3）将剪下来，点在边上，点在边上，将沿直线折叠，使点落在点处．如图2，点，在上，满足，且落在线段上（包含端点）．若，求出的值（用含的代数式表示），并求出的最大值． 【答案】（1）， （2） （3）；最大值为 【解析】 【分析】（1）利用矩形以及折叠的性质，得到，是中点，证明是等边三角形，得，进而求出． （2）由平行线的性质转化角，得到，在中用勾股定理算出，再由余弦定义求值． （3）由折叠性质得到边相等，结合是等边三角形，证明，利用相似三角形周长比等于相似比得到的表达式；再根据的范围确定的取值，结合分式函数求最大值． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵折叠使点落在上的点处，， ∴， ∵是矩形对折折痕，，为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 矩形纸片对折，使与重合，展开得到折痕， ，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由折叠可知，，，， ，， ，， ， ； 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 当点与点重合时，，则， 当点与点重合时，，则， 点落在线段上（包括端点）， ， ， 当时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $