精品解析：湖南省永州市零陵区八校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2025年下期初中阶段期中考试 九年级数学（试题卷） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上．） 1. 反比例函数的图象过点，则的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 2. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. B. C. 3 D. 6 3. 已知两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶．已知某款机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量时，其最快移动速度等于（ ） A. B. 5 C. 10 D. 40 6. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. “永远太远，永州不远”．湘超永州主场的野生球场凭借“挂票”火爆出圈，一票难求．据了解，10月21日，湘超第七轮永州主场迎战长沙的门票预约人数约万人次，10月23日预约人数飙升到了万人次．设这两天的平均增长率为x，列方程正确的是（） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A. B. C. D. 9. 如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍后得到线段，则端点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 等腰三角形边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为（ ）． A. 13或14 B. 14或15 C. 15或16 D. 13或15 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内．） 11. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是______． 12. 若，则_____； 13. 方程的根为_______________． 14. 已知点，均在反比例函数图象上，则______（填、、）． 15. 若是一元二次方程的两个实数根，则______． 16. 若是反比例函数，则的值为______． 17. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为________． 18. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 用适当的方法解方程：． 20. 已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间成反比例关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 21. 已知方程：． （1）当m______时，它是关于未知数x的一元二次方程； （2）在（1）的条件下，若方程有两个不相同的实数根，求m的取值范围． 22. 如图．已知是的角平分线，E是延长线上的一点且． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 某文创商店的每个挂件的成本为10元，以单价18元售出，一天能售出30个．现进行降价促销，若每个降价1元，则一天可多售出5个（只降价，不涨价）． （1）当每个挂件定价为15元时，一天能卖出多少个？ （2）要使当天利润达到200元，则每个挂件应降价多少元？ 24. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 25. 阅读材料 材料1：（韦达定理）一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：（同构思想）如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是一元二次方程．两个不相等实数根．请根据材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，，则______，______； （2）已知实数m、n满足，，且，求的值； （3）已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 26. 探究活动：将一个矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，连接． （1）【探究1】如图1，当时，点恰好在延长线上使得．若，求的长； （2）【探究2】如图2，连接，过点作交于点M．证明：； （3）【探究3】在探究2的条件下，射线分别交，于点P，N（如图3），试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期初中阶段期中考试 九年级数学（试题卷） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上．） 1. 反比例函数的图象过点，则的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式．把点的坐标代入求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ， 解得． 故选：D． 2. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一次项的系数的含义，原方程化为一般形式为，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴其一次项系数为； 故选B 3. 已知两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方看直接得出结果． 【详解】∵两个相似三角形的相似比为2：3， ∴面积比为=4：9． 故选B． 【点睛】考查了相似三角形的性质,解题关键是运用了相似三角形面积的比等于相似比的平方. 4. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项移到等号右边，把含未知数的项凑成完全平方式，再进行因式分解． 【详解】解：， ， 两边加上： 即， 配方正确的是， 故选：B． 5. 最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶．已知某款机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量时，其最快移动速度等于（ ） A. B. 5 C. 10 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据图象的信息，利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后再将代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据图象可知，机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 解得， 反比例函数解析式为， 当时，， 故选：A． 6. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，求出，进而求出． 【详解】解：∵， ， ，，， ， 解得：， ， 故选：C． 7. “永远太远，永州不远”．湘超永州主场的野生球场凭借“挂票”火爆出圈，一票难求．据了解，10月21日，湘超第七轮永州主场迎战长沙的门票预约人数约万人次，10月23日预约人数飙升到了万人次．设这两天的平均增长率为x，列方程正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的平均增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 根据平均增长率的定义，从初始值经过连续两次增长达到最终值，列方程即可． 【详解】解：∵初始预约人数为万人次，平均增长率为x，从10月21日到10月23日，时间经过了2天， ∴． 故选：A． 8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形你的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、B、有两组角对应相等的两个三角形相似，由此判定，故A、B不符合题意； C、和，和不是对应边，不能判定，故C符合题意； D、由，得到，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意； 故选：C． 9. 如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍后得到线段，则端点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查位似变换，坐标与图形性质，解答本题的关键是找到相似比． 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出点的坐标即可． 【详解】解：以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍后得到线段， 点与点是对应点， 点的对应点的坐标为，位似比为， 端点的坐标为， 故选：D． 10. 等腰三角形边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为（ ）． A. 13或14 B. 14或15 C. 15或16 D. 13或15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及等腰三角形的性质．分两种情况讨论：当时，求m值；当或时，求m值，每种情况均需验证三角形三边是否满足任意两边之和大于第三边，即可作答． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴ 情况一：当时， 则， 解得 即三角形边长为4、4、3，满足三角形三边关系； ∴ 即， ∴； 情况二：当时， 则 ∴， ∴三角形边长为3、5、3，满足三角形三边关系， ∴ ∴ 综上，m的值为14或15， 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内．） 11. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键． 12. 若，则_____； 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 13. 方程的根为_______________． 【答案】， 【解析】 【分析】用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 14. 已知点，均在反比例函数图象上，则______（填、、）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据得出在每个象限内，随着的增大而减小，又因为点，均在反比例函数图象上，得出，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∵点，均在反比例函数图象上，且， ∴， 故答案为：． 15. 若是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：2． 16. 若是反比例函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为：． 17. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，可证明轴，得到；再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∴； ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 用适当的方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ∴， ∴或， ∴，． 20. 已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间成反比例关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据待定系数法，求出反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 函数图象经过点， ， 解得：， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 时，随的增大而减小， 当时，， 即在安全情况下，该闭合电路中电阻的取值范围是不小于． 21. 已知方程：． （1）当m______时，它是关于未知数x的一元二次方程； （2）在（1）的条件下，若方程有两个不相同的实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握公式法是解题的关键； （1）根据一元二次方程的定义即可求解； （2）根据一元二次方程根的判别式的意义，得到，解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵是关于未知数x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 【小问2详解】 ∵方程有两个不相同的实数根， ∴，即， 解得：且． 22. 如图．已知是的角平分线，E是延长线上的一点且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）是角平分线可得，可得，从而，再利用对顶角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论； （2）由（1）中的结论，利用相似三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确合理的使用相似三角形的判定定理是解题的关键． 23. 某文创商店的每个挂件的成本为10元，以单价18元售出，一天能售出30个．现进行降价促销，若每个降价1元，则一天可多售出5个（只降价，不涨价）． （1）当每个挂件定价为15元时，一天能卖出多少个？ （2）要使当天利润达到200元，则每个挂件应降价多少元？ 【答案】（1）当每个挂件定价为15元时，一天能卖出45个； （2）每个挂件应降价4元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出在18元的基础上降价的钱数，进而求出因降价而增加的销售量，再加上30即可得到答案； （2）设每个挂件降价x元，则每个挂件定价为元，根据总利润等于每个挂件的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每个挂件定价为15元时，一天能卖出：（个）， 答：当每个挂件定价为15元时，一天能卖出45个． 【小问2详解】 设每个挂件降价x元，则每个挂件定价为元，由题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：每个挂件应降价4元． 24. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用先求出反比例函数的关系式，得到，再利用待定系数法求解一次函数关系式即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴反比例函数， 当时，， ∴； 将，代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ∵与相似， ∴当时，， ∴， 设点P的坐标为， 则， 解得， ∴此时点的坐标为； 当时，， ∴， 设，则，，， ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 25. 阅读材料 材料1：（韦达定理）一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：（同构思想）如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是一元二次方程．两个不相等实数根．请根据材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，，则______，______； （2）已知实数m、n满足，，且，求的值； （3）已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）将、看作是一元二次方程两个不相等的实数根，进而求解； （2）对条件变形可推出、是方程的两个不相等的实数根，进而求解； （3）对条件变形可推出和可看作方程的两个不相等的实数根，进而求解． 【小问1详解】 解：由材料知，可将、看作是一元二次方程两个不相等的实数根， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴、可看作方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：将两边同时除以， 变形为， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 26. 探究活动：将一个矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，连接． （1）【探究1】如图1，当时，点恰好在延长线上使得．若，求的长； （2）【探究2】如图2，连接，过点作交于点M．证明：； （3）【探究3】在探究2的条件下，射线分别交，于点P，N（如图3），试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 关系式为．理由如下： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）设，由旋转性质得，，由相似三角形的性质得出，由比例线段得出方程，求解即可； （2）连接，证明，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，证出即可； （3）连接，证明，由全等三角形的性质可得出，得出，证明，由相似三角形的性质得出即可． 【小问1详解】 如图，设， ∵矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴点A，B，在一条线上，，，， ∴， ∴∽， ∴，∴， 整理，得，解得，（不合题意，舍去）， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $