专题5.3 平面向量的数量积及其应用讲义【8类必考点分类集训】-2027届高三数学一轮复习

专题5.3 平面向量的数量积及其应用 【考点1：  平面向量数量积的定义及坐标运算】 2 【考点2：已知数量积求模】 3 【考点3： 向量夹角的计算】 3 【考点4：垂直关系的向量表示】 4 【考点5：投影向量】 5 【考点6： 向量数量积在几何中的应用】 6 【考点7：向量数量积在物理中的应用】 7 【考点8：与数量积有关的新定义】 9 【考点1：  平面向量数量积的定义及坐标运算】 1．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知向量 满足 ，则 （   ） A．15 B． C． D．11 3．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量，相等，则，重合 D．若，则 4．（25-26高一下·河南周口·阶段检测）已知，8，与的夹角为，则____________. 5．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则使的值最小时直线l的方程为______. 【考点2：已知数量积求模】 1．（河北省名校联盟2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题）已知向量，，且，则（    ） A．1 B． C．6 D． 2．（2026·湖北·模拟预测）已知单位向量、满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·甘肃定西·期中）已知向量满足，且与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·天津红桥·阶段检测）已知向量、满足，，，若向量满足，则的取值范围是________. 5．（26-27高三上·北京丰台·期中）已知平面向量，满足，，则_________，的最大值为_________． 【考点3： 向量夹角的计算】 1．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知向量满足，，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知，，若为钝角，则实数的值可以是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·云南曲靖·期中）已知单位向量，满足，则与的夹角为______． 5．（26-27高二上·广东中山·阶段检测）已知向量，，若向量与所成角为锐角，则实数的取值范围为________. 【考点4：垂直关系的向量表示】 1．（25-26高二下·云南·学业考试真题）设平面向量，满足，与的夹角的余弦值为，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（26-27高三上·江苏·阶段检测）（多选）已知单位向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知与垂直，且与垂直，则____________ 4．（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）已知向量，． (1)求数量积 (2)当k为何值时，向量 与垂直？ 5．（26-27高二上·上海宝山·开学考试）已知平面向量，． (1)若，求实数m的值和； (2)若，求实数m的值和． 【考点5：投影向量】 1．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知向量，在上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知向量，，在上的投影向量为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江·二模）已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏镇江·阶段检测）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·陕西·阶段检测）已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【考点6： 向量数量积在几何中的应用】 1．（北京市海淀区2026-2027学年第一学期期中练习高三数学试卷）已知点为正方形所在平面内的动点，且，．点在正方形的内部及其边界上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆渝中·模拟预测）如图所示，“六芒星”是以中心为的正三角形各边的两个三分点为顶点再向外作正三角形而形成的，点为该“六芒星”边上的动点，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）《九章算术》称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，鳖臑 中， 平面 ，，，点 在线段 上运动，则 的最小值为______． 4．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）反坦克拒马是二战经典的反坦克障碍物，下图为简易模型，三根长度均为4米的线段，，交于共同的中点，，，为下端点，，，为上端点，一根线段的上端点与另外两根线段的下端点构成的三角形（如），其面积称作拒马的“狙击面积”，结构上，由于力学考量，，均为正三角形，且任意两根线段所在直线所成的，则该拒马的狙击面积最大值为______平方米． 5．（25-26高一下·北京·期末）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是__________． 【考点7：向量数量积在物理中的应用】 1．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为，则与夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·福建泉州·期末）具身智能是前沿人工智能技术，以此为核心研发的智能机器人有望成为服务人类的可靠助手．如图，质点受到两个力和的作用，已知与的夹角为，N，则与的合力大小为（    ） A．20N B．N C．N D．N 3．（25-26高一下·天津西青·期末）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下五个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④；⑤在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．以上结论中，正确的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26高一下·陕西西安·期末）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.如果某人在运动过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，那么力对冰球所做的功为______. 5．（26-27高二·山东·学业考试模拟）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，其中，且，与的夹角为．给出以下结论： ①的最小值为；②的范围为； ③当时，；④当时，． 其中所有正确结论的序号是________． 【考点8：与数量积有关的新定义】 1．（26-27高三上·北京房山·开学考试）定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为、它的长度规定为．在中，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·云南玉溪·期末）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）（多选）如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量．若，记，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若点，则 D．若点，，则的最小值为 4．（25-26高一下·江西景德镇·期末）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，，求； (2)在锐角中，且，求周长的取值范围. 5．（24-25高一下·福建福州·期末）对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”. (1)若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围； (2)一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，要求爬行路径最短，爬完第次后停留的位置记为，设,记事件T＝“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①当时，求； ②当且时，证明：. 一、单选题 1．（25-26高一下·河南开封·期中）在边长为3的菱形ABCD中，，，则=（    ） A． B． C． D． 2．（2026届高三数学信息检测原创卷（二））已知平面向量，满足，且，则（    ） A．4 B．5 C． D．2 3．（2026高三·全国·专题练习）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 4．（25-26高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）已知平面向量，当最小时，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知向量，满足，且，的夹角为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则与的夹角为钝角 D． 8．（2026·辽宁铁岭·一模）下列说法中错误的为（    ） A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为 三、填空题 9．（25-26高一下·北京海淀·期中）若向量满足，则______． 10．（25-26高二上·上海闵行·阶段检测）设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____. 四、解答题 11．（25-26高一下·全国·课后作业）已知平面向量，满足，.若对一切实数，恒成立，求与的夹角. 12．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，．其中且与相互垂直. (1)求实数的值． (2)，且，求. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 平面向量的数量积及其应用 【考点1：  平面向量数量积的定义及坐标运算】 2 【考点2：已知数量积求模】 5 【考点3： 向量夹角的计算】 6 【考点4：垂直关系的向量表示】 8 【考点5：投影向量】 11 【考点6： 向量数量积在几何中的应用】 13 【考点7：向量数量积在物理中的应用】 18 【考点8：与数量积有关的新定义】 22 【考点1：  平面向量数量积的定义及坐标运算】 1．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过向量数量积的坐标运算得到，对变形后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】由，， 得. 由，得，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知向量 满足 ，则 （   ） A．15 B． C． D．11 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算律，将模的平方差化为两向量和与差的数量积，再用坐标计算. 【详解】由向量数量积的运算律，得 . 代入已知坐标，得 . 3．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量，相等，则，重合 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积的运算性质可判断A；根据向量共线定理可判断B；根据向量的减法可判断 C；根据垂直关系的向量表示可判断 D. 【详解】对于A，与共线，与共线，而与不一定共线，所以等式不一定成立，故A错误； 对于B，若，，则不存在实数使，故B错误； 对于C，因为，所以，即，所以重合，故C正确； 对于D，由，得，则可能，不一定有，故D 错误. 4．（25-26高一下·河南周口·阶段检测）已知，8，与的夹角为，则____________. 【答案】 【详解】由向量数量积定义可得. 5．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则使的值最小时直线l的方程为______. 【答案】 【分析】可设，表示出、进行解得即可；也可以采用直线的截距式方程得到，将化简得，再用基本不等式解答即可. 【详解】解法一：如图所示：设，， ，， ∴， ∴当时，即，时，取最小值， 此时，直线的倾斜角为135°，斜率为， ∴直线的方程为，即. 解法二：设，，由题意得， 直线的方程为，因为直线过点，则. ，. ， 当且仅当，也就是时取等号. 联立，解得. 此时直线方程为，即. 【考点2：已知数量积求模】 1．（河北省名校联盟2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题）已知向量，，且，则（    ） A．1 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先通过向量数量积的坐标运算求出参数的值，再计算目标向量的坐标，最后代入模长公式得到结果。 【详解】因为，，所以，解得， 故，所以，， 所以，所以. 2．（2026·湖北·模拟预测）已知单位向量、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，、为单位向量，则， ，， 因为，两边平方得， 展开得，代入得，解得， 因为，故. 3．（26-27高三上·甘肃定西·期中）已知向量满足，且与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合向量模的运算公式，即可求解. 【详解】因为，且与的夹角为，可得， 所以. 4．（26-27高三上·天津红桥·阶段检测）已知向量、满足，，，若向量满足，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先计算，再利用向量模的三角不等式构造关于的绝对值不等式，求解得到取值范围. 【详解】因为，，，所以， 故， 因为，且， 即，即，解得， 则的取值范围是. 5．（26-27高三上·北京丰台·期中）已知平面向量，满足，，则_________，的最大值为_________． 【答案】 【分析】根据平面向量模长公式直接求解即可求出第一空；利用向量三角不等式即可求出第二空. 【详解】由，则； 因为，则由向量三角不等式可得， 当且仅当共线反向时等号成立，所以的最大值为. 【考点3： 向量夹角的计算】 1．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知向量满足，，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，且， 解得，则， 又，所以的夹角为. 2．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角公式先求出的范围，然后排除两向量共线的情况，即可求得结果. 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以，由于，所以. 所以，即，解得. 若两向量与共线，则存在使得，即， 可得方程组，解得. 当时，两向量共线，此时夹角为，不符合夹角为钝角的条件，所以要排除. 所以实数的取值范围为. 3．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知，，若为钝角，则实数的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】转化为且不平行. 【详解】若为钝角，则，得， 当，，得， 所以，且，选项中满足条件的只有或. 4．（26-27高三上·云南曲靖·期中）已知单位向量，满足，则与的夹角为______． 【答案】 【详解】因为， 平方可得：， 即，所以与的夹角为． 5．（26-27高二上·广东中山·阶段检测）已知向量，，若向量与所成角为锐角，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据题意得到，再舍去的情况即可得到答案. 【详解】，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，即，解得， 当与平行时，，， 由向量共线定理得：使得，即， 所以，因为向量与所成角为锐角，所以 所以向量与所成角为锐角，实数的范围. 【考点4：垂直关系的向量表示】 1．（25-26高二下·云南·学业考试真题）设平面向量，满足，与的夹角的余弦值为，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】因为，则， j，即，解得. 2．（26-27高三上·江苏·阶段检测）（多选）已知单位向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】以“向量模的平方等于向量自身的平方”为核心，先由差模求出两向量的数量积，再以此为基础逐一验证夹角、和模与垂直关系. 【详解】A 选项，因为 为单位向量，故 ， 对 两边平方，得，即，解得 .  A 错误； B 选项，由 ，，得 ， 因为向量的夹角的范围为 ，因此 ，B 正确； C 选项，，故 ，C 正确； D 选项，，故 ，D 正确. 3．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知与垂直，且与垂直，则____________ 【答案】 或 【分析】根据向量垂直化简数量积，由两式可得且，再由向量夹角公式求解即可. 【详解】由题意，得， ， 两式相减得：，则， 代入上面两个式子中的任意一个，得， 则， 又，所以. 4．（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）已知向量，． (1)求数量积 (2)当k为何值时，向量 与垂直？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由，得 . （2）由，得 ，. 由向量 与垂直 ，得  ，化简得 ，解得 . 5．（26-27高二上·上海宝山·开学考试）已知平面向量，． (1)若，求实数m的值和； (2)若，求实数m的值和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由向量共线的坐标运算即可得到，再由向量的模长公式代入计算即可得到结果；（2）由向量垂直的坐标运算即可得到，再由向量的夹角公式代入计算即可得到结果. 【详解】（1）由可得，解得， 则， 所以. （2）， 由可得，解得， 则，， ，， 所以. 【考点5：投影向量】 1．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知向量，在上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量公式和余弦计算公式求解. 【详解】由，且在上的投影向量为，得． 因此． 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知向量，，在上的投影向量为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影，及向量的夹角公式即可求解． 【详解】由，则， 设向量与的夹角为， 又在上的投影向量为， 则， 即，则， 又，所以， 故向量与的夹角为． 3．（2026·黑龙江·二模）已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式可求向量与夹角余弦值. 【详解】在上的投影向量为，故， 而，故，故， 故即， 故选：A. 4．（25-26高一下·江苏镇江·阶段检测）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据投影向量公式求出，再代入向量夹角公式求出夹角. 【详解】已知，则. 因为在上的投影向量为，且投影向量的坐标为，所以. 将，代入上式可得：，即，那么，解得. 设向量与的夹角为，，可得：. 因为，且，所以. 则向量与的夹角为. 故选：A. 5．（25-26高一下·陕西·阶段检测）已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，即可利用数量积的定义求出，根据即可求出. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，则，即， 所以，所以， 因，得， 故向量与的夹角为. 故选：A 【考点6： 向量数量积在几何中的应用】 1．（北京市海淀区2026-2027学年第一学期期中练习高三数学试卷）已知点为正方形所在平面内的动点，且，．点在正方形的内部及其边界上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，根据向量数量积运算律得到，结合数量积的坐标表示特殊位置求解即可. 【详解】以点为原点，以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，， ，，. 所以. 当时，， 当时，， 故. 当时，， 当时，. 故的取值范围为. 2．（2026·重庆渝中·模拟预测）如图所示，“六芒星”是以中心为的正三角形各边的两个三分点为顶点再向外作正三角形而形成的，点为该“六芒星”边上的动点，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将目标向量拆分为定点向量与动向量之和，把数量积分离为常数项与含动点的投影项，利用动点轨迹的边界约束求投影的最值，从而得到数量积的取值范围. 【详解】正三角形边长为6，中心为其重心与外心，由正弦定理得外接圆半径， 由六芒星的构造对称性，向外所作正三角形的顶点到的距离也为，即，， 所以，，且六芒星上任意点满足， ， 由图形对称性，与夹角为，故与夹角为， 所以， 根据数量积的几何意义，等于在方向上的投影乘以， 由于，当与同向时投影最大，反向时投影最小； 结合六芒星顶点分布，最值可在顶点处取到，因此， 得，故， 所以. 3．（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）《九章算术》称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，鳖臑 中， 平面 ，，，点 在线段 上运动，则 的最小值为______． 【答案】 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算将数量积表示为关于参数的二次函数，进而求得最小值. 【详解】因为 平面 ，，且 ， 所以 ，． 如图，以 为坐标原点，， 的方向分别为 轴、 轴的正方向，过点 且平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ． 则 ，，， ． 设 ，其中 ． 因为 ， 所以 ． 又 ， 所以 ． 因为 ， 所以，当 时， 取得最小值 ． 4．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）反坦克拒马是二战经典的反坦克障碍物，下图为简易模型，三根长度均为4米的线段，，交于共同的中点，，，为下端点，，，为上端点，一根线段的上端点与另外两根线段的下端点构成的三角形（如），其面积称作拒马的“狙击面积”，结构上，由于力学考量，，均为正三角形，且任意两根线段所在直线所成的，则该拒马的狙击面积最大值为______平方米． 【答案】 【分析】由于三根线段两两所在直线夹角，且上下端点构成正三角形，因此三根线段在空间中具有高度对称性，可以用向量表示三根线段的方向，再利用正三角形条件求出向量内积，最后把的面积表示成的函数，求最大值. 【详解】设三根线段交于点，设， 则，， 由为正三角形得， 结合任意两根线段所在直线所成角为， 取， ，同理，， 即是等腰三角形，， 底边上高， ， 平方得， 当时，即，满足，此时. 【点睛】关键点睛：把三根线段看成共起点的三个向量，利用“中点”和“正三角形”条件得到三个向量两两内积相等。关键转化：，把几何最值问题转化为二次函数最值问题。 5．（25-26高一下·北京·期末）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算将转化为，结合正六边形的几何性质求出的取值范围即可. 【详解】连接，，. 因为点，在圆上运动且关于圆心对称， 所以，且．    ． 因为点在正六边形的边上运动，当点位于各边的中点时，取得最小值，此时， 所以； 当点位于正六边形的顶点时，取得最大值， 此时， 所以． 故的取值范围是. 【考点7：向量数量积在物理中的应用】 1．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为，则与夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 所以， 所以. 所以. 又. 所以， 又，所以. 2．（25-26高一下·福建泉州·期末）具身智能是前沿人工智能技术，以此为核心研发的智能机器人有望成为服务人类的可靠助手．如图，质点受到两个力和的作用，已知与的夹角为，N，则与的合力大小为（    ） A．20N B．N C．N D．N 【答案】C 【详解】因为与的夹角为，， 所以， 即合力为． 3．（25-26高一下·天津西青·期末）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下五个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④；⑤在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．以上结论中，正确的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】做出受力分析图，根据题意对结论逐一判断即可. 【详解】画出受力分析图，如图所示：    平衡状态时，受重力 和两臂拉力 、 作用， 根据平衡条件可得 ，即 . 因为 ，设 ，  可得 ，即 ，其中 . 对于①，当 时， 取得最大值，此时 取得最小值 ，故①正确； 对于②，当 时，， 则 ，故②正确； 对于③，当 时，， 则 ，故③正确； 对于④，由平衡条件可知 ，结论中缺少系数 ，故④错误； 对于⑤，由 可知，当 增大时，其中， 增大， 减小， 分母减小，则 增大，即两臂夹角越大越费力，故⑤错误. 综上所述，正确的结论有①②③，共 个. 4．（25-26高一下·陕西西安·期末）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.如果某人在运动过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，那么力对冰球所做的功为______. 【答案】3 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，因为，所以. 5．（26-27高二·山东·学业考试模拟）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，其中，且，与的夹角为．给出以下结论： ①的最小值为；②的范围为； ③当时，；④当时，． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】④ 【详解】因为，且，所以， 解得，根据的实际情况，可得，故②错误； 又在上单调递减，且，所以在上单调递增， 当时，，所以，故①错误； 当时，，所以，故③错误； 当时，，所以，故④正确． 【考点8：与数量积有关的新定义】 1．（26-27高三上·北京房山·开学考试）定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为、它的长度规定为．在中，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量中线公式得到三角形两条中线的长度，结合重心性质求出三角形面积的最大值，再根据外积定义转化为外积模的最大值. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，取中点为，中点为，连接，，相交于点，如图所示， 则，且，得， 同理得. 由重心定义得为的重心， 由重心性质，重心分中线的比为， 因此，， 则的面积为， 当时，取得最大值. 由重心性质，，故的最大值为， 根据外积定义，，因此其最大值为. 2．（25-26高一下·云南玉溪·期末）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜坐标系定义将向量，表示为基底向量，的线性组合，利用向量加法求出，再结合向量数量积运算公式求其模长. 【详解】由题意可得，，则， 则. 3．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）（多选）如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量．若，记，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若点，则 D．若点，，则的最小值为 【答案】AC 【分析】运用向量的加法运算，数量积运算法则，模长公式逐个求解可得答案. 【详解】由已知得，， 对于A，若，， 则，故A正确； 对于B，若，， 则 ，故B错误； 对于C，若点，则， 故C正确； 对于D，若点，， 则，， 所以，故D错误. 4．（25-26高一下·江西景德镇·期末）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，，求； (2)在锐角中，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量夹角公式及给定定义求解. （2）利用给定定义及三角形面积公式求出，再利用正弦定理及和差角的正弦公式，结合余弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）由向量，，得，而， 则，所以. （2）在中，由，得， 整理得，而，解得，又， 由正弦定理得，， 令，由是锐角三角形，得，， 因此 ，， 所以周长的取值范围是. 5．（24-25高一下·福建福州·期末）对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”. (1)若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围； (2)一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，要求爬行路径最短，爬完第次后停留的位置记为，设,记事件T＝“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①当时，求； ②当且时，证明：. 【答案】(1) (2)②由（2）①知当时，， 当时，能使得是的迷你向量的共有三个，记为（类似①）， 要想使得经过的路线中至少有其中2个点，则路径必经过点， 可得{12，13，14，23，24，34}，所以， {14，24，34}，所以， 当时，能使得是的迷你向量的共有三个，记为（类似①）， 故不存在至少有个使得是的迷你向量； 综上所述：故当且时，. 【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式计算不等式即可； （2）①应用列举法计算古典概型概率即可；②应用古典概型证明即可. 【详解】（1）因为是的“迷你向量”，所以，又，， 所以，解得，所以实数的取值范围为； （2）①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有三个，即， 要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点， 故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可. 先考虑总共最短路径条数：最短路径一共5步，其中二步向上，三步向右， 也即是在5步中选择二步向上，其余三步向右， 故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法： “12”代表前二步向上，剩下三步向右； “24”表示第二、第四步向上、其余三步向右； {12，13，14，15，23，24，25，34，35，45}， 所以总共的最短路径条数为10；所以； 所以{45},故经过包含的路径条数为1，所以； 因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型， 所以. 一、单选题 1．（25-26高一下·河南开封·期中）在边长为3的菱形ABCD中，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的运算性质、定义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为，， 菱形ABDC边长为3，， 所以， 故选：C 2．（2026届高三数学信息检测原创卷（二））已知平面向量，满足，且，则（    ） A．4 B．5 C． D．2 【答案】B 【分析】设，根据向量的模、向量垂直列方程，求得的坐标，进而求得. 【详解】设，因为，， 所以，即①． 又因为，所以， 即，即②． 联立①②可得或， 所以或，所以. 故选：B 3．（2026高三·全国·专题练习）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 ； 综上所述：或. 4．（25-26高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 5．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）已知平面向量，当最小时，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的模长公式计算得到关于的一元二次函数，根据二次函数的图象对称性可得时最小，代入，整理得即可得解. 【详解】设的夹角为，由， 由二次函数的图象可知，当且仅当时，取最小值，此时值最小， 将代入即得：，因，故. 故选：D. 6．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知向量，满足，且，的夹角为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，再求，进而可求，再求，即可求，利用，结合，即可求解. 【详解】设， ， ， ， 设向量与的夹角为， ， 因为， 所以， 所以与的夹角为. 故选：D 二、多选题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则与的夹角为钝角 D． 【答案】AD 【分析】运用向量的数量积定义，运算律,夹角概念逐个计算验证即可. 【详解】 A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × 表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等 C × 当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角 D √ 若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得． 又，所以或，即与共线，反之也成立． 综上， 故选：AD. 8．（2026·辽宁铁岭·一模）下列说法中错误的为（    ） A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为 【答案】AC 【分析】由向量的数量积即向量的夹角的知识可判断A的正误；由向量的基本定理可判断B的正误；由向量的定义可判断C的正误；由平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识可判断D的正误． 【详解】对于A，，，且与的夹角为锐角， ，且（时，与的夹角为），所以且，故A错误； 对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确； 对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误； 对于D，因为，两边平方得，，又， 则，， 故， 而向量的夹角范围为，所以和的夹角为，故D正确． 故选：AC． 三、填空题 9．（25-26高一下·北京海淀·期中）若向量满足，则______． 【答案】/0.5 【分析】将平方，把代入即可. 【详解】因为， 所以， 即， 即， 所以， 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海闵行·阶段检测）设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____. 【答案】 【分析】向量与向量夹角为钝角，则它们的数量积为负，去除方向相反的情形即可． 【详解】由题意， 与向量的夹角为钝角，则， 即，解得， 又由，得，∴所求的范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的夹角与数量积的关系，在用两向量数量积为负，表示向量夹角为钝角时，要注意去除两向量共线的情形． 四、解答题 11．（25-26高一下·全国·课后作业）已知平面向量，满足，.若对一切实数，恒成立，求与的夹角. 【答案】 【分析】设与的夹角为，由，可得，将不等式展开，可得到关于的一元二次不等式，进而可知，从而可求得，进而求出. 【详解】设与的夹角为，由，得， 整理得， 由，，可得对一切实数恒成立， 所以，即， 又因为，所以，即. 又，所以，即与的夹角为. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查二次函数的性质，考查平面向量的数量积，考查学生的计算能力与推理论证能力，属于中档题. 12．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，．其中且与相互垂直. (1)求实数的值． (2)，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据以及同角公式可得； （2）根据数量积的坐标表示以及两角差的余弦公式得，再根据同角公式得，然后再根据两角和的正切公式可得结果. 【详解】（1）因为向量，． 所以， ， 因为与相互垂直， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以. （2）由（1）知，，向量，． 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $